РЯДЫ. Смех без причины признак Даламбера
 Скачать 184.98 Kb.
|
|
Смех без причины – признак Даламбера Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников,Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много. На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды. Понятие функционального ряда и степенного ряда Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:  Все члены ряда – это ЧИСЛА. Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:  В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и других подарков непременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:  Как видите, все члены функционального ряда – это функции. Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд. Определение: Степенной ряд – это ряд, в общий член которого входят целые положительные степени независимой переменной . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так: , где – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Простейший пример:  Посмотрим на это разложение и еще раз осмыслим определение: члены степенного ряда содержат «иксы» в целых положительных (натуральных) степенях. Очень часто степенной ряд можно встретить в следующих «модификациях»: или , где – константа. Например:  Строго говоря, упрощенные записи степенного ряда , или не совсем корректны. В показателе степени вместо одинокой буквы «эн» может располагаться более сложное выражение, например:  Или такой степенной ряд:  Лишь бы показатели степеней при «иксАх» были натуральными. Сходимость степенного ряда. Интервал сходимости, радиус сходимости и область сходимости Не нужно пугаться такого обилия терминов, они идут «рядом друг с другом» и не представляют особых сложностей для понимания. Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться. Прошу любить и жаловать степенной ряд . Переменная может принимать любое действительное значение от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Подставим в общий член ряда несколько произвольных значений «икс»: Если , то Если , то Если , то Если , то  И так далее. Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд будетсходиться. Такое множество и называется областью сходимости ряда. Для любого степенного ряда (временно отвлекаемся от конкретного примера) возможны три случая: 1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами, если мы выбираем любое значение «икс» из интервала и подставляем его в общий член степенного ряда, то у нас получается абсолютно сходящийся числовой ряд. Такой интервал и называется интервалом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: Геометрически ситуация выглядит так:  В данном случае, интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: Широко распространен тривиальный случай, когда интервал сходимости симметричен относительно нуля:  >Здесь интервал сходимости ряда: , радиус сходимости ряда: А что будет происходить на концах интервала ? В точках , степенной рядможет, как сходиться, так и расходится, и для выяснения этого необходимо проводить дополнительное исследование. После такого исследования речь идёт уже об области сходимости ряда: – Если установлено, что степенной ряд расходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости: – Если установлено, что степенной ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом, то область сходимости ряда представляет собой полуинтервал: или . – Если установлено, что степенной ряд сходится на обоих концах интервала, то область сходимости ряда представляет собой отрезок: Термины очень похожи, область сходимости ряда – это чуть более детализированныйинтервал сходимости ряда. С двумя оставшимися случаями всё короче и проще: 2) Степенной ряд сходится абсолютно при любом значении . То есть, какое бы значение «икс» мы не подставили в общий член степенного ряда – в любом случае у нас получитсяабсолютно сходящийся числовой ряд. Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают: . Радиус сходимости: . Рисунок приводить не буду, думаю, нет необходимости. 3) Степенной ряд сходится в единственной точке. Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке . В этом случае интервал сходимости и область сходимости ряда тоже совпадают и равны единственному числу – нулю: . Если ряд имеет вид , то он будет сходиться в единственной точке , если ряд имеет вид , то, понятно, – в точке «минус а». Радиус сходимости ряда во всех случаях, естественно, нулевой: . Других вариантов нет. Область сходимости степенного ряда – это всегда либо единственная точка, либо любое «икс», либо интервал (возможно полуинтервал, отрезок). Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной. Исследование степенного ряда на сходимость После небольшой порции теоретического материала переходим к рассмотрению типового задания, которое практически всегда встречается на зачетах и экзаменах по высшей математике. Пример 1 Найти область сходимости степенного ряда Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала. Алгоритм решения довольно прозрачен и трафаретен. На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо использовать признак Даламбера и находить предел . Технология применения признака Даламбера точно такая же, как и для числовых рядов, с ней можно ознакомиться на урокеПризнак Даламбера. Признаки Коши. Единственное отличие – все дела у нас происходят под знаком модуля. Итак, решаем наш предел:  (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему. (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. (3) В числителе по правилу действий со степенями «отщипываем» один «икс». В знаменателе возводим двучлен в квадрат. (4) Выносим оставшийся «икс» за знак предела, причем, выносим его вместе со знаком модуля. Почему со знаком модуля? Дело в том, что наш предел и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Поэтому модуль относится именно к нему. Кстати, почему можно вообще вынести за знак предела? Потому-что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно. (5) Устраняем неопределенность стандартным способом. После того, как предел найден, нужно проанализировать, что у нас получилось. Если в пределе получается ноль, то алгоритм решения заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Область сходимости степенного ряда: » (любое действительное число – случай №2 предыдущего параграфа). То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при » (значок в математике обозначает принадлежность). Если в пределе получается бесконечность, то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа. Если в пределе получается не ноль и не бесконечность, то у нас самый распространенный на практике случае №1 – ряд сходится на некотором интервале. В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство: В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела, а в правой части неравенства – строго единица. Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции, но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Половина пути позади. На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала. Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд : При Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача). Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: – сходится (случай обобщенного гармонического ряда). Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно. Далее рассматриваем правый конец интервала , подставляем это значение в наш степенной ряд : При  – сходится.Таким образом, степенной ряд сходится на обоих концах найденного интервала. Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере . Пример 2 Найти область сходимости степенного ряда Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3: И раскрываем неравенство с модулем по правилу : – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала. 1) При  Обратите внимание, что при подстановке значения в степенной ряд у нас сократилась степень . Это верный признак того, что мы правильно нашли интервал сходимости ряда. Исследуем полученный числовой ряд на сходимость. Используем признак Лейбница. – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: Ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Сравним данный ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:  Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом . Таким образом, ряд сходится только условно. 2) При  – расходится (по доказанному).Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится только условно. В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно (см. предыдущий параграф), а в точке , как выяснилось – сходится только условно. Пример 3 Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала Это пример для самостоятельного решения. Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются. Пример 4 Найти область сходимости ряда: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  (1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему. (2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. (3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно. (4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс». В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ: Ответ: Ряд сходится при А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается! Пример 5 Найти область сходимости ряда Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны ;-) Полное решение ответ в конце урока. Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов. Пример 6 Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала  Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы». Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Составляем стандартное неравенство: Ряд сходится при Слева нам нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 5: Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом: В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: 1) Подставляем значение в наш степенной ряд  : Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда. Еще раз заметьте, что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль. Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение. Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на .  Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. 2) Исследуем второй конец интервала сходимости. При  Используем признак Лейбница: – Ряд является знакочередующимся. – – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится Рассматриваемый числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку – расходится (по доказанному). Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда, при ряд сходится только условно. Пример 7 Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала Это пример для самостоятельного решения. Кто утомился, может сходить покурить, а мы рассмотрим еще два примера. Пример 8 Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Предел  по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статьеПризнак Даламбера. Признаки Коши.Итак, ряд сходится при Умножаем обе части неравенства на 9: Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол : Раскрываем модуль: И прибавляем ко всем частям единицу: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала: 1) Если , то получается следующий числовой ряд:  Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» . И в третий раз обращаю внимание на то, что в результате подстановки сократились степени , а значит, интервал сходимости найден правильно. По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения. Какой ряд подобрать для сравнения? Об этой методике я уже рассказывал на уроке Ряды для чайников. Повторим. Определяем старшую степень знаменателя, для этого мысленно или на черновике отбрасываем под корнем всё, кроме самого старшего слагаемого: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна . Старшая степень числителя, очевидно, равна 1. Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: . Таким образом, наш ряд нужно сравнить со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:  Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд сходится вместе с рядом . 2) Что происходит на другом конце интервала? При  – сходится.А вот и вознаграждение за мучения в предыдущем пункте! Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали. Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: Чуть менее сложный пример для самостоятельного решения: Пример 9 Найти область сходимости ряда Достаточно для начала =) В заключение остановлюсь на одном моменте. Во всех примерах мы использовали признак Даламбера и составляли предел . Всегда ли при решении заданий такого типа нужно применять признак Даламбера? Почти всегда. Однако в редких случаях невероятно выгодно использовать радикальный признак Коши и составлять предел , при этом техника и алгоритм решения задачи остаются точно такими же! Что это за случаи? Это те случаи, когда из общего члена степенного ряда «хорошо» (полностью) извлекается корень «энной» степени. Следующий урок по теме – Разложение функций в степенные ряды. Примеры решений. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 3: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, поэтому умножаем обе части неравенства на 7 – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При Используем признак Лейбница. – Ряд является знакочередующимся.  – члены ряда не убывают по модулю.Вывод: Ряд расходится 2) При Ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ответ: – область сходимости исследуемого степенного ряда Пример 5: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Ответ: Ряд сходится при Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему. Пример 7: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Ряд сходится при Слева нужно оставить только модуль, умножаем обе части неравенства на : В середине нужно оставить только «икс», вычитаем из каждой части неравенства 3: – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: 1) При  Степень сократилась, значит, мы на верном пути. Используем признак Лейбница. Ряд является знакочередующимся. – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно. Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость:  Используем интегральный признак. Подынтегральная функция непрерывна на .  Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. Ряд сходится только условно. 2) При  – расходится (по доказанному).Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: , при ряд сходится только условно. Область сходимости окончательно можно записать так:, или даже так: . Примечание: Ряд можно было исследовать на сходимость с помощью предельного признака сравнения. Пример 9: Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера:  Ряд сходится при – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала. 1) При  Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения.  Получено конечное число, отличное от нуля, значит, полученный числовой ряд расходится вместе с гармоническим рядом. 2) При  – расходится (по доказанному).Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда: |