РЕШЕНИЯ_ДЗ-1_Фаи_л-1_ОТА__7zat. Составитель Онлайн Марафон
 Скачать 115.9 Kb.
|
|
РЕШЕНИЯ ДЗ-1 Файл-1 ОТА Составитель: Онлайн Марафон Дата: 2021-09-23 20:39:47 Файл сгенерирован: 2021-09-23 20:40:16 Количество заданий: 7 Задание 1 Разложите число 2016 на простые множители. Решение Будем делить число 2016 на 2 до тех пор, пока не получится нечетное число: 2016 ? 1008 ? 504 ? 252 ? 126 ? 63. Затем будем делить на 3: 63 ? 21 ? 7. Итак, 2016 = 2 5 · 3 2 · 7. Степени мы определили посчитав то, сколько раз мы делили на то или иное число (на 2, на 3, на 7). Задание 2 Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 10000. Найдите сумму этих чисел. Решение Так как 10000 = 2 4 · 5 4 , то каждое из чисел может содержать в своем разложении на простые множители только 2 и 5. Заметим, что если число одновременно содержит и двойку и пятерку в своем разложении, то оно делится на 10, что противоречит условию. Поэтому одно число содержит только двойки и значит оно равно 2 4 = 16 , а второе число содержит только пятерки и значит оно равно 5 4 = 625 . Тогда сумма этих чисел равна 16 + 625 = 641. Задание 3 Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 594? Решение Разложим число 594 на простые множители: 594 = 2 · 3 3 · 11. Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложе- нии на простые множители число 11 (цифры это: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). Следовательно, такого числа не существует. 1 Задание 4 Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1330? Решение Разложим число 1330 на простые множители: 1330 = 2 · 5 · 7 · 19. Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложе- нии на простые множители число 19 (цифры это: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). Следовательно, такого числа не существует. Задание 5 Может ли у натурального числа быть ровно 3 различных натуральных делителя? Решение У числа N всегда есть натуральные делители 1 и N. При N 6= 1 эти делители различны. Также понятно, что N = 1 не подходит. Если у числа N есть делитель a, то у него есть и делитель b = N : a. Чтобы количество делителей у N было нечјтным, необходимо, чтобы для некоторого делителя a было выполнено N : a = a, то есть должно быть выполнено N = a 2 Для делимости N только на 1, N и a необходимо и достаточно, чтобы a было простым, то есть разложение N на простые множители должно иметь вид N = a 2 . Таким образом, например, подходит число N = 3 2 = 9 Задание 6 Является ли число 2017! полным квадратом? Решение Пусть N = M 2 , M ? N, при этом пусть N делится на простое число p, тогда M 2 делится на p. Если бы при этом M не делилось на p, то M имело бы разложение на простые множители вида M = p 1 a 1 · ... · p k a k , где при любом i ? {1, ..., k} p i 6= p , но тогда M 2 = p 1 2a 1 · ... · p k 2a k тоже не делилось бы на p. Таким образом, M делится на p, но тогда M 2 делится на p 2 , то есть если квадрат натурального числа делится на данное простое число, то он делится и на квадрат данного простого числа. Число 2017! не может быть полным квадратом, так как оно делится на простое число 2017, но не делится на 2017 2 (в произведении 1 · 2 · ... · 2017 есть только один множитель, который делится на 2017, и равен он 2017). 2 Задание 7 При каких натуральных n число 4n 2 ? 9 является степенью простого числа (первой, второй, третьей и т.д.)? Решение 4n 2 ? 9 = (2n ? 3)(2n + 3) Так как 4n 2 ? 9 = p m для некоторого простого p, то все отличные от 1 делители этого числа тоже должны быть степенями p. Тогда либо 1) 2n ? 3 = 1 , либо 2) ? ? ? 2n ? 3 = p k 2n + 3 = p k+l В случае 1) имеем: n = 2, тогда 4n 2 ? 9 = 7 = 7 1 подходит по условию. В случае 2) имеем: p k+l ? p k = 6 ? p k (p l ? 1) = 6 , то есть 6 = 2 · 3 должно делиться на p k степень простого числа, что возможно только в случае, когда p k = 2 или p k = 3 При p k = 2 имеем: p = 2, k = 1, n = 2, 5 не подходит. При p k = 3 имеем: p = 3, k = 1, n = 3, тогда 4n 2 ? 9 = 27 = 3 3 подходит по условию. Итого: ответ n = 2, n = 3. 3 Ответы Задача ќ1: 2 5 · 3 2 · 7 Задача ќ2: 641 Задача ќ3: Нет Задача ќ4: Нет Задача ќ5: Да Задача ќ6: Нет Задача ќ7: 2, 3 4 |