Числа и векторы. Тема Действительные числа
![]()
|
Числа и векторы Тема 1. Действительные числа Развитие понятия числа Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа. ![]() Число — важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков. Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ... При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число и делить ее на доли не нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел. Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей. Обозначаются: ![]() ![]() ![]() ![]() Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби: ![]() ![]() Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа. Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической. Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа — введение действительных (вещественных) чисел — присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа — это бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре — при извлечении корней ![]() ![]() Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 2.1. Числа натуральные (1, 2, 3, ...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...), рациональные (представимые в виде m / n, где m и n ≠ 0 — целые числа) и иррациональные (не представимые в виде m / n) образуют множество действительных (вещественных) чисел. Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 24. Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось (числовая прямая): а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением; б) начало отсчета — точка 0; в) единица масштаба. ![]() Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 2.1. Свойства действительных чисел a + b = b + a. а + (b + с) = (а + b) + с. а + 0 = а. а + (–а) = 0. ab = b а. a (bc) = (ab) с. а · 0 = 0. а · 1 = a. ![]() a (b + c) = ab + ac . Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных и других алгебраических уравнений. Комплексным числомназывается выражение вида z = x + iy , где x и y — действительные числа, i - мнимая единица. Число x называется действительной частью, а y - мнимой частью числа z (обозначаются соответственно x = Re (z), y = Im (z)). Действительное число x является частным случаем комплексного числа z = x + iy при y = 0. Если y ≠ 0, то комплексные числа вида z = x + iy называются мнимыми, а при x = 0, y ≠ 0, т.е. числа вида z = iy , — чисто мнимыми. Числа z = x + iy и z = x – iy называются комплексно-сопряженными. Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 pавны, если x1 = x2, y1 = y2. Число z = 0, если x = 0, y = 0. Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует. Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 25. ![]() Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 46. Степенью ![]() ![]() ![]() где ![]() В частности, 1n = 1; 0n = 0 (n ≠ 0). По определению ![]() Правила действий со степенями (а ≥ 0, b > 0, с ≥ 0) (2.2). (abc)n = an bn cn; am × an = am + n; (am)n = amn; ![]() ![]() Основные алгебраические формулы: а2 – b2 = (а – b) (а + b); (а ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3а b2 ± b3; (а ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; a3 ± b3 = (а ± b) (a2 ± ab + b2); (2.3) (а + b + ... + k + l)2 = а2 + b2 + ... + k2 + l2 + 2 (ab + ... + ak + al + bc +...+ bk + bl + ... + kl); an – bn = (a – b)(an–1 + an–2 b + an–3 b2 + ... + a bn–2+ bn–1). (Например, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc); a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4). Корнем степени n из числа а называется число, n-я степень которого равна заданному числу ![]() ![]() где ![]() (Например, ![]() По определению ![]() Действие нахождения корня называется извлечением корня. Арифметическим корнем, или арифметическим значением корня, n-й степени называется неотрицательное число ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Выражения, содержащие знак корня (радикал), называются иррациональными. Правила действий с корнями (а ≥ 0, b > 0, с ≥ 0; n ≥ 2, p ≥ 2 (n, m ∈ N)): ![]() (Например, ![]() Указанные правила безоговорочно верны для арифметических корней. (Например, ![]() а не ![]() Для четного n = 2k. ![]() т.е. ![]() (например, ![]() так как ![]() ![]() так как ![]() По определению степень с рациональным (дробным) показателем ![]() где ![]() (Например, ![]() Для степеней с дробным показателем сохраняются те же правила действий со степенями (2.2), приведенные выше. Формула сложного радикала ![]() Пример 2.1. Упростить выражения: ![]() ![]() ![]() Решение, а) Учитывая формулы (2.2), (2.3), получаем: ![]() ![]() ![]() или по формуле (2.7′) ![]() Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 34–37. Запись n ∈ N означает, что n принадлежит множеству натуральных чисел. Z означает множество целых чисел. Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами. Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются скалярными (скалярами): t °, V , m , время, ... Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление: F , скорость, ускорение. ![]() Цит. по: Математика [Электронный ресурс]: учебный курс / Г.А. Питерцева. — Электронный курс. — М: МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу: http://e-college.ru. — П. 3.1. Вектором называется направленный отрезок ![]() ![]() Рис. 4.4 Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например ![]() ![]() Длиной (модулем, или нормой) ![]() ![]() Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называются компланарными. Если начало и конец вектора совпадают, например ![]() ![]() ![]() Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119. Произведением вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.5 Вектором, противоположным вектору ![]() ![]() ![]() Суммой двух векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.6 Очевидно, что вектор ![]() ![]() ![]() Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма трех векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.7 Если же векторы ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.8 Разностью двух векторов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Координатами вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4.9 ![]() Рис. 4.10 Вектор ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Длина вектора (см. рис. 4.9 и 4.10) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат: ![]() или ![]() Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 119–121. Направляющими косинусами вектора ![]() ![]() ![]() при этом ![]() Цит. по: Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121. ![]() Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 16. |