Числа и векторы. Тема Действительные числа
![]()
|
Тема 4. Прямая и плоскость Пример 35* Найдите координаты точки Q, симметричной точке P (2; 1; –1) относительно плоскости, проходящей через точки M1 (1; 2; –3), M2 (2; 0; 1), M3 (–3; 1; 2). План решения 1. Составить уравнение плоскости α, проходящей через точки M1 (x1 ; y1 ; z 1), M 2 (x2 ; y2 ; z2), M3 (x3 ; y3 ; z3) по формуле ![]() 2. Найти точку R, проекцию точки P на плоскость ![]() 2.1. Составить уравнение перпендикуляра к плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() 2.2. Найти точку R, как пересечение прямой PR и плоскости ![]() 3. Найти точку Q, которая является вторым концом отрезка PQ, для которого серединой будет точка R — проекция точки P на плоскость ![]() ![]() x2 = 2x – x1 , y 2 = 2y – y1 , z2 = 2z – z1 , где (x1 ; y1 ; z1) — координаты точки P , (x ; y ; z) — координаты точки R . Решение Составим уравнение плоскости, проходящей через точки M1 , M2 , M3: ![]() ![]() ![]() ![]() Координаты нормального вектора плоскости: ![]() Составим уравнение перпендикуляра к плоскости ![]() ![]() Найдем точку R, пересечения перпендикуляра и плоскости: ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() ![]() Точка ![]() Найдем координаты точки Q по формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 37 Составить уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ![]() План решения 1. Взять точку M (x ; y ; z) с текущими координатами. 2. Записать координаты направляющего вектора ![]() ![]() 3. Найти координаты векторов ![]() 4. Составить уравнение плоскости по формуле ![]() Решение M (x ; y ; z), M1 (–2; 1; –3) , M2 (1; –2; 2) , ![]() ![]() Уравнение плоскости ![]() ![]() –21x – y + 12z –5 = 0 — уравнение плоскости. Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 17–19. Тема 5. Окружность Определение 9.9. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки О , называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью. ![]() Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю. ![]() Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 177–178. 2. Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точках C ( x0 , y0) и O (0, 0) соответственно имеют вид: (x – x 0 )2 + ( y – y0 )2 = R 2, (4.19) x 2 + y 2 = R 2. (4.20) 4.47. Составить уравнение окружности, проходящей через точки A (1; 5), B (–4; 0) и D (4; –4). Решение Уравнение окружности радиуса R с центром в точке C (x0 , y0) имеет вид (4.19): (x – x0)2 + ( y – y0 )2 = R 2 . Так как точки A, B, D лежат на окружности, то их координаты должны удовлетворять этому уравнению: ![]() Вычитая из первого уравнения системы второе, а затем третье, получим x0 = 1, y0 = 0, а далее и R = 5, т.е. уравнение окружности: ( x – 1)2 + y 2 = 25 (рис. 4.8). ![]() Рис. 4.8 4.48. Найти значение параметра a , при котором окружность x 2 + y 2 – 4x + a = 0 касается прямой ![]() Решение По условию окружность и прямая имеют одну общую точку, следовательно, система ![]() или уравнение ![]() должны иметь единственное решение. Это произойдет, если дискриминант полученного квадратного уравнения 4 x 2 – 4x + a = 0 будет равен нулю, т.е. D = (–4)2 – 4 × 4 a = 16 (1 – a ) = 0, откуда a = 1. Решая квадратное уравнение при a = 1, находим x = 0,5, т.е. точка касания ![]() Для определения радиуса окружности приведем ее уравнение к нормальному виду, группируя члены, содержащие x , и дополняя их до полного квадрата: (x 2 – 4x) + y 2 + 1 = 0, (x2 – 4x + 4) – 4 + y2 + 1 = 0, откуда ( x – 2)2 + y 2 = 3, т.е. центр окружности (2; 0) и радиус ![]() ![]() Рис. 4.9 Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 110, 112–113. Определение_9.5.'>Тема 6. Эллипс Определение 9.5. Геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом. ![]() Исследуем форму эллипса. 1. Найдем точки пересечения с осями. OX: y = 0, x = ± a ; OY: x = 0, y = ± b ; A (a ; 0); B (- a ; 0); C (0; b); D (0; - b). Определение 9.6.Точки A, B, C, D называются вершинами эллипса. 2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX и OY и начала координат. 3. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, кривая расположена в прямоугольнике со сторонами 2а и 2 b . Построим данную кривую (рис. 9.9). ![]() Рис. 9.9 Определение 9.7. Отношение фокусного расстояния к большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса. ![]() Определение 9.8. Параметр a называется большой полуосью эллипса, параметр b называется малой полуосью эллипса. Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 176–177. ![]() Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 23. 4.49. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 9 x 2 + 4 y 2 = 36. Решение Разделив на 36, приведем уравнение к виду ![]() Отсюда следует, что большая полуось эллипса a = 3, а малая полуось b = 2. При этом большая ось эллипса и ее фокусы расположены на оси Oy (рис. 4.10). ![]() Рис. 4.10 По формуле расстояние от фокуса эллипса до начала координат ![]() Эксцентриситет эллипса по формуле ![]() Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 113. Тема 7. Гипербола Определение 9.10. Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется гиперболой. ![]() — каноническое уравнение гиперболы. Исследуем форму гиперболы. 1. Найдем точки пересечения с осями. OX: y = 0, ![]() ![]() OY: x = 0, ![]() Определение 9.11. Точки A и B называются вершинами гиперболы. 2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX, OY и начала координат. 3. ![]() Следовательно, кривая расположена вне прямоугольника со сторонами ![]() Построим данную кривую (рис. 9.10). ![]() Рис. 9.10 Определение 9.12. Параметр ![]() Определение 9.13. Прямые ![]() При возрастании х гипербола неограниченно приближается к асимптотам. Определение 9.14. Отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси называется эксцентриситетом. ![]() Определение 9.15. Кривые эллипс, гипербола, окружность называются кривыми второго порядка с эксцентриситетом, причем для окружности ε = 0, для эллипса ε ∈ (0; 1) и для гиперболы ε ∈ (1; + ∞). При ε = 1 гипербола вырождается в две параллельные прямые. Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие / С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 178–179. ![]() Цит. по: Высшая математика в схемах и таблицах / Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ООО «Вектор-С», 2008. — С. 24. 4.50. Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы 9x 2 – 16 y 2 + 144 = 0. Решение Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе части уравнения на (–144): ![]() Следовательно, гипербола имеет фокусы на оси Oy , ее действительная полуось ![]() ![]() Рис. 9.11 Асимптоты гиперболы по формуле: ![]() ![]() ![]() 4.51. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями ![]() Решение Так как точка (10; -3√3) лежит на гиперболе (причем выше асимптоты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 9.12 Решив полученную систему двух уравнений, найдем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4.52. Дан эллипс ![]() Решение Полуоси эллипса ![]() По условию для гиперболы а г = сэ = 2, сг = аэ = 3. Следовательно, по формуле ![]() ![]() ![]() Рис. 9.13 Цит. по: Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — (Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 114–115. |