Векторная алгебра. Векторная алгебра
 Скачать 0.77 Mb.
|
|
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторы. Основные понятия Скалярной величиной называется величина, которая полностью определяется своим численным значением. Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем продукции, цена и т. д. Векторной величиной называется величина, для которой помимо её модуля необходимо указывать направление её изменения. Например, скорость, сила или ускорение. Вектором называется направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и направление. Скалярные величины геометрически изображаются точками, а векторные величины геометрически изображаются векторами.Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается 𝐴𝐵 или 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , или 𝑎, или 𝑎 . Вектор, имеющий длину (модуль вектора), равную единице, называется ортом. Коллинеарными вектораминазываются векторы, принадлежащие одной прямой или параллельным прямым. Компланарными вектораминазываются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Линейные операции над векторами Произведением вектора 𝒂 ⃗⃗ на число k ≠ 𝟎называется вектор 𝑏, удовлетворяющий условиям: 1) 𝑏 коллинеарен 𝑎 и |𝑏 | = 𝑘 ∙ |𝑎̅| 2) при k > 0 вектор 𝑏 направлен одинаково (сонаправлен) с вектором 𝑎 ; 3) при k < 0 вектор 𝑏 направлен противоположно вектору 𝑎 . Построим, например, векторы 3𝑎 и − 1 2 𝑎 для заданного вектора 𝑎 (рис. 1). Рис. 1 Самостоятельно. Найти−5𝑎 и − 1 2 𝑎 для заданного вектора 𝑎 Суммойдвух векторов 𝑎 и 𝑏 называется вектор с , соединяющий начало вектора 𝑎 с концом вектора 𝑏⃗ и обозначается с = 𝑎 + 𝑏⃗ (рис.2). Рис. 2 Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы 𝑂𝐴 = 𝑎 ; 𝑂𝐵 = 𝑏 Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор 𝑂𝐶 – диагональ параллелограмма – является суммой векторов 𝑎 и 𝑏 (рис. 3). Рис. 3 Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 4). Рис. 4 Разностьюдвух векторов 𝑎 и 𝑏 называется такой вектор 𝑑 , который в сумме с вектором 𝑏 даёт вектор 𝑎 : 𝑑 = 𝑎 − 𝑏⃗ = 𝑎 + (−1) ∙ 𝑏⃗ . Если векторы 𝑎 и 𝑏 привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 5) Рис. 5 Таким образом, если на векторах 𝑎 и 𝑏, отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор 𝑂𝐶, совпадающий с одной диагональю, равен сумме 𝑎 + 𝑏⃗ , а вектор 𝐵𝐴, совпадающий с другой диагональю равен разности 𝑎 − 𝑏⃗ (рис. 6). Рис. 6 Проекция вектора на ось Пусть дан вектор 𝑎. Ортом вектора 𝑎 называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором 𝑎 и обозначается 𝑎 0 Углом между двумя ненулевыми векторами𝒂 ⃗⃗ и 𝒃 называется наименьший угол 𝜑 (0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7). Рис. 7 Рис. 8 Под углом между вектором 𝒂 и осью l понимают угол 𝜑 между вектором 𝑎 и ортом 𝑙 0 (рис. 8). Пусть l – некоторая ось, а 𝐴𝐵 – вектор, произвольно расположенный в пространстве. Обозначим A 1 и B 1 – проекции на ось l соответственно начала А и конца В этого вектора (рис.9). Вектор 𝐴 1 𝐵 1 называется составляющей вектора 𝐴𝐵 по оси l и обозначается Рис.9 Проекциейвектора 𝐴𝐵 на ось l (обозначается пр 𝑙 𝐴𝐵) называется длина его составляющей 𝐴 1 𝐵 1 по этой оси, взятая со знаком «плюс», если 𝐴 1 𝐵 1 и 𝑙 0 сонаправлены и со знаком «минус», если противонаправлены. Очевидно, что пр 𝑙 𝐴𝐵 > 0, если вектор 𝐴𝐵 образует острый угол с осью l и пр 𝑙 𝐴𝐵 < 0, если этот угол тупой; пр 𝑙 𝐴𝐵 = 0, если 𝐴𝐵 ⊥ 𝑙. Свойства проекций 1. Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось, 2. пр 𝑙 (𝑎 ± 𝑏) = пр 𝑙 𝑎 ± пр 𝑙 𝑏, 3. пр 𝑙 (𝑘𝑎) = 𝑘 ∙ пр 𝑙 𝑎, где k ∈ 𝑅, 4. пр 𝑙 𝑎 = |𝑎| ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑, где 𝜑 – угол между вектором 𝑎 и осью l Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением сост 𝑙 𝑎 = пр 𝑙 𝑎 ∙ 𝑙 0 . (1) Пример 1. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы 𝑎 и 𝑏, чтобы имело место соотношение |𝑎 + 𝑏| = |𝑎 − 𝑏|? Решение. Отнесем векторы 𝑎 и 𝑏 к общему началу О и построим на них параллелограмм (рис.6). Тогда – длина диагонали ОС этого параллелограмма, а – длина диагонали ВА. Диагонали параллелограмма равны, если этот параллелограмм – прямоугольник. Следовательно, , если Пример 2. Пусть 𝑎, 𝑏 и с – единичные векторы, составляющие с данной осью l соответственно углы , , . Найти проекцию на ось l вектора 4𝑎 − 2𝑏 + с. Решение. Согласно свойствам 2, 3, 4 проекций Учитывая, что , , , , получим Координаты вектора Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим 𝑖, 𝑗, 𝑘 – единичные векторы (орты), направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве. Пусть 𝑎 – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( ) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор 𝑎 является диагональю (рис. 10). Рис. 10 Тогда , где , , – составляющие вектора 𝑎 по осям Ox, Oy, Oz. Используя соотношение (1), получим , аналогично , Обозначая , , , получим . (2) Это равенство называется разложением вектора 𝑎 по базису , , , а числа , , называются координатами вектора в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут или . Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат. Зная координаты вектора, легко выразить его длину: (3) (квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений). Если вектор 𝐴𝐵 строится по то двум точкам, то длина его вычисляется как расстояние между точками 𝐴𝐵 = 𝑎 и обозначается |𝐴𝐵| = |𝑎 |. В 𝑅 3 для точек 𝐴(𝑥 𝐴 , 𝑦 𝐴 , 𝑧 𝐴 ), 𝐵(𝑥 𝐵 , 𝑦 𝐵 , 𝑧 𝐵 ) координаты вектора 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ; 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ; 𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴 ). Так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца. |𝐴𝐵| = √(𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ) 2 + (𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ) 2 + (𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴 ) 2 ; (4) Если 𝑎 = (𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎 ; 𝑧 𝑎 ), 𝑏⃗ = (𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏 ; 𝑧 𝑏 ), 𝜆 – число, то 1. 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑥 𝑎 = 𝑥 𝑏 , 𝑦 𝑎 = 𝑦 𝑏 , 𝑧 𝑎 = 𝑧 𝑏 – равные векторы имеют соответственно равные координаты; 2. 𝑎 ± 𝑏⃗ = с = (𝑥 𝑎 ± 𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑎 ± 𝑦 𝑏 ; 𝑧 𝑎 ± 𝑧 𝑏 ) – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются; 3. 𝜆 ∙ 𝑎 = ( 𝜆 𝑥 𝑎 ; 𝜆 𝑦 𝑎 ; 𝜆 𝑧 𝑎 ), | 𝜆 ∙ 𝑎 | = 𝜆 ∙ |𝑎| ⃗⃗⃗⃗⃗ . – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число; 4. 𝑎 ||𝑏⃗ ↔ 𝑎 = 𝜆 ∙ 𝑏⃗ ↔ при 𝑥 𝑏 ≠ 0, 𝑦 𝑏 ≠ 0, 𝑧 𝑏 ≠ 0: 𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑎 𝑧 𝑏 = 𝜆 – координаты коллинеарных векторов пропорциональны (условие коллинеарности двух векторов). Пример 3. Даны координаты вершин пирамиды 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 : 𝐴 1 (2; 1; 0), 𝐴 2 (3; 2; −1), 𝐴 3 (1; 2; 2) . Найти длину ребра 𝐴 1 𝐴 2 Решение. Длину ребра 𝐴 1 𝐴 2 найдем как длину вектора 𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ по формуле (4) 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 А А ) z z ( ) y y ( ) x x ( = √1 + 1 + (−1) 2 = √3 ≈ 1,73 (ед. дл. ). Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами α, β, γ, которые вектор образует с осями координат (рис. 11). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: Рис. 11 Из свойств проекций: , , . Следовательно, , , . (5) Легко доказать, что и координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: Деление отрезка в данном отношении Говорят, что точка делит отрезок в отношении , если , или (рис. 12) Рис. 12 Пусть координаты точек и известны: , Найдем координаты точки . Очевидно, что , где , . Приравнивая координаты векторов, найдем: , , .) В частности, если – середина отрезка , то , тогда , , Произведения векторов Скалярным произведением двух векторов 𝑎 и 𝑏⃗ называется число (скаляр), равное произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними: (𝒂 ⃗⃗ , 𝒃 ⃗⃗ ) = 𝒂 ⃗⃗ ∙ 𝒃 ⃗⃗ = |𝒂 ⃗⃗ ||𝒃 ⃗⃗ | 𝐜𝐨𝐬 𝝋 (6), где 𝜑 – угол между векторами 𝑎 и 𝑏. Учитывая, что и , получим . Отсюда Свойства скалярного произведения 1. 𝒂 ⃗⃗ ∙ 𝒃 ⃗⃗ = 𝒃⃗⃗ ∙ 𝒂 ⃗⃗ . 2. Два ненулевых вектора 𝑎 и 𝑏⃗ ортогональны тогда и только тогда, когда их cкалярное произведение равно нулю:𝑎 ∙ 𝑏⃗ = 0 <=> 𝒂 ⃗⃗ ⊥ 𝒃 ⃗⃗ .Таким образом𝒂 ⃗⃗ ∙ 𝒃 ⃗⃗ = 𝟎 – условие перпендикулярности двух векторов. 3. ( 𝑎 , 𝑎 ) = 𝑎 ∙ 𝑎 = |𝑎 | 2 = 𝑎 2 – скалярный квадрат вектора 𝑎 . 4. 𝑎 ∙ (𝑏⃗ + 𝑐 ) = 𝑎 ∙ 𝑏⃗ + 𝑎 ∙ 𝑐 . 5. 𝜆(𝑎 ∙ 𝑏) ⃗⃗⃗⃗ = (𝜆𝑎 ) ∙ 𝑏⃗ = 𝑎 ∙ ( 𝜆𝑏⃗ ), 𝜆 − число. Скалярные произведения базисных ортов {𝑖 , 𝑗 ⃗⃗ , 𝑘⃗ } в 𝑅 3 : 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘⃗ 2 = 1,𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑖 ∙ 𝑘⃗ = 𝑘⃗ ∙ 𝑗 = 0. Скалярное произведение векторов 𝑎 = (𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎 ; 𝑧 𝑎 )и 𝑏⃗ = (𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏 ; 𝑧 𝑏 ) 𝒂 ⃗⃗ ∙ 𝒃 ⃗⃗ = 𝒙 𝒂 𝒙 𝒃 + 𝒚 𝒂 𝒚 𝒃 + 𝒛 𝒂 𝒛 𝒃 . (7) Тогда угол между векторами 𝑎 и 𝑏⃗ определяется из соотношения 𝒄𝒐𝒔 𝝋 = 𝒂 ⃗⃗ ∙𝒃 ⃗⃗ | 𝒂 ⃗⃗ ||𝒃 ⃗⃗ | = 𝒙 𝒂 𝒙 𝒃 +𝒚 𝒂 𝒚 𝒃 +𝒛 𝒂 𝒛 𝒃 √𝒙 𝒂 𝟐 +𝒚 𝒂 𝟐 +𝒛 𝒂 𝟐 √𝒙 𝒃 𝟐 +𝒚 𝒃 𝟐 +𝒛 𝒃 𝟐 . (8) Из физики известно: если 𝑭– постоянная сила, действующая на материальную точку, а 𝑺 – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой 𝑭на участке 𝑺, равна . 𝑨 = 𝑭 ∙ 𝑺 Задача 1. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы и (см. рис. 6). Тогда , , , следовательно, – угол между диагоналями равен Пример 4. Даны координаты вершин пирамиды 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 : 𝐴 1 (2; 1; 0), 𝐴 2 (3; 2; −1), 𝐴 3 (1; 2; 2), 𝐴 4 (2; −1; −2). Найти угол между ребрами 𝐴 1 𝐴 2 и 𝐴 1 𝐴 4 Решение. Угол между рёбрами 𝐴 1 𝐴 2 и 𝐴 1 𝐴 4 найдем как угол 𝜑 между векторами 𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1; −1) и𝐴 1 𝐴 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; −2; −2) с модулями 2 1 А А √1 + 1 + (−1) 2 = √3 и | 𝐴 1 𝐴 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√0 + (−2) 2 + (−2) 2 = √8 из соотношения (8) 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 4 1 2 1 4 1 2 1 A A A A A A A A 0 6 2 0 8 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( 1 0 1 Следовательно, искомый угол 𝜑 = 90 ° = 𝜋 2 Пример 5. Дано: , , , . Вычислить – длину вектора . Решение. Из свойства 3 скалярного произведения ; но , , , следовательно, Векторное произведение векторов Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными). Так, на рис. 13 тройка 𝑎 , 𝑏, ⃗⃗⃗ с – правая, а тройка 𝑎 , с, ⃗⃗ 𝑏⃗ – левая (из конца вектора 𝑏⃗ кратчайший поворот от 𝑎 к 𝑐 виден по часовой стрелке). Рис.13 Векторным произведением двух неколлинеарных векторов 𝑎 и 𝑏 называется такой вектор b а с , = 𝑎 × 𝑏⃗ , который 1) перпендикулярен векторам 𝑎 и 𝑏, т.е. с ⊥ 𝑎 и с ⊥ 𝑏⃗ ; 2) длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними∶ |с | = |𝑎 | ∙ |𝑏⃗ | ∙ sin 𝜑, где φ – угол между векторами 𝑎 и 𝑏⃗ ; 3) если векторы 𝑎, ⃗⃗⃗ 𝑏⃗ , 𝑐 образуют правую тройку. Из условия (2) следует, что модуль вектора с ⃗⃗ = 𝑎 × 𝑏⃗ численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах 𝑎 и 𝑏 как на сторонах, что составляет две площади треугольника, построенного на этих же векторах 𝑎 и 𝑏 (рис 14). S пар. = |𝑎 × 𝑏⃗ |; S ∆ = 1 2 |𝑎 × 𝑏⃗ | . (9) Рис. 14 Понятие векторного произведения имеет смысл только в пространстве 𝑅 3 Свойства векторного произведения 1. 𝑎 × 𝑏⃗ = – 𝑏⃗ × 𝑎 . 2. Два ненулевых вектора 𝑎 и 𝑏 коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору: 𝑎 × 𝑏⃗ =0⃗ . 3. 𝑎 × 𝑎 = 0 ⃗ . 4. (𝑎 + 𝑏⃗ ) × с = 𝑎 × с + 𝑏⃗ × с. ⃗⃗ 5. 𝜆(𝑎 ⃗⃗⃗⃗ × 𝑏) ⃗⃗⃗⃗ = (𝜆𝑎 ) × 𝑏⃗ = 𝑎 × (𝜆𝑏⃗ ), где 𝜆 − число. Заметим, что из определения и свойств следует, что если известны декартовы координаты векторов 𝑎 = (𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎 ; 𝑧 𝑎 ), 𝑏⃗ = (𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏 ; 𝑧 𝑏 ) , то легко можно определить декартовы координаты векторного произведения 𝑐 с помощью символического определителя: 𝒄 ⃗ = 𝒂 ⃗⃗ × 𝒃 ⃗⃗ = | 𝒊 𝒋 𝒌 ⃗⃗ 𝒙 𝒂 𝒚 𝒂 𝒛 𝒂 𝒙 𝒃 𝒚 𝒃 𝒛 𝒃 | = 𝒊 | 𝒚 𝒂 𝒛 𝒂 𝒚 𝒃 𝒛 𝒃 | − 𝒋 | 𝒙 𝒂 𝒛 𝒂 𝒙 𝒃 𝒛 𝒃 | + 𝒌 ⃗⃗ | 𝒙 𝒂 𝒚 𝒂 𝒙 𝒃 𝒚 𝒃 |. (10) Из физики известно: если 𝐹 – сила, приложенная к точке М, то момент 𝑚 𝐴 𝐹 этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов 𝐴𝑀 и 𝐹, т.е. 𝑚 𝐴 𝐹 = 𝐴𝑀 × 𝐹 Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов 𝑎 , 𝑏⃗ и 𝑐 называется число 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 , равное скалярному произведению вектора 𝑎 × 𝑏⃗ , на вектор 𝑐 , т. е. 𝒂 ⃗⃗ 𝒃 ⃗⃗ 𝒄⃗ =(𝒂 ⃗⃗ × 𝒃) ⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝒄⃗ . Пусть известны координаты векторов 𝑎 = (𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎 ; 𝑧 𝑎 ), 𝑏⃗ = (𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏 ; 𝑧 𝑏 ) и 𝑐 = ( 𝑥 𝑐 ; 𝑦 𝑐 ; 𝑧 𝑐 ) . Тогда векторное произведение 𝑎 и 𝑏⃗ – это вектор с координатами (𝑦 𝑎 ∙ 𝑧 𝑏 − 𝑦 𝑏 ∙ 𝑧 𝑎 ; −(𝑥 𝑎 ∙ 𝑧 𝑏 − 𝑥 𝑏 ∙ 𝑧 𝑎 ); 𝑥 𝑎 ∙ 𝑦 𝑏 − 𝑥 𝑏 ∙ 𝑦 𝑎 ) и скалярное произведение вектора 𝑎 × 𝑏⃗ на вектор 𝑐 примет вид: (𝒂 ⃗⃗ × 𝒃) ⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝒄⃗ = (𝑦 𝑎 ∙ 𝑧 𝑏 − 𝑦 𝑏 ∙ 𝑧 𝑎 ) ∙ 𝑥 𝑐 − (𝑥 𝑎 ∙ 𝑧 𝑏 − 𝑥 𝑏 ∙ 𝑧 𝑎 ) ∙ 𝑦 𝑐 + +(𝑥 𝑎 ∙ 𝑦 𝑏 − 𝑥 𝑏 ∙ 𝑦 𝑎 ) ∙ 𝑧 𝑐 = | 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 𝑥 𝑐 𝑦 𝑐 𝑧 𝑐 |. То есть смешанное произведение трех векторов 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 = | 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 𝑥 𝑐 𝑦 𝑐 𝑧 𝑐 |. (11) Отложим данные некомпланарные векторы 𝑎 , 𝑏⃗ и 𝑐 от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 15). Рис.15 По определению скалярного произведения 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 = (𝑎 × 𝑏) ⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑐 = |𝑎 × 𝑏⃗ | ∙ |𝑐 | ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑, где 𝜑 – угол между векторами 𝑎 × 𝑏⃗ и 𝑐 . Но – площадь параллелограмма, построенного на векторах 𝑎 и 𝑏, а , где h – высота параллелепипеда. Таким образом, объём параллелепипеда, построенного на трёх некомпланарных векторах 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 , равен 𝑉 = |𝑎 𝑏⃗ 𝑐 |. (11) Объём тетраэдра, построенного на трёх некомпланарных векторах 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 , равен (рис. ). 𝑉 = 1 6 |𝑎 𝑏⃗ 𝑐 |. (12) Заметим, что если векторы 𝑎 , 𝑏⃗ и 𝑐 образуют правую тройку, то 𝜑 < 𝜋 2 и 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 > 0, а если левую, то 𝜑 > 𝜋 2 и 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 < 0. Рис. 16 Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 : 𝐴 1 (2; 1; 0), 𝐴 2 (3; 2; −1), 𝐴 3 (1; 2; 2), 𝐴 4 (2; −1; −2). Найти площадь грани 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 и объём пирамиды 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 𝐴 4 Решение. 1.Площадь грани 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 вычислим с помощью векторного произведения векторов 𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1;1;–1) и 𝐴 1 𝐴 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(–1;1;2). Найдём площадь треугольника 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 как половину площади параллелограмма по формуле (9): 𝑆 ∆ = 1 2 |𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴 1 𝐴 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. Применяя символический определитель (10), найдём векторное произведение: 𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴 1 𝐴 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 1 1 −1 −1 1 2 | = 𝑖 | 1 −1 1 2 | − 𝑗 | 1 −1 −1 2 | + 𝑘⃗ | 1 1 −1 1 | = 3𝑖 − 𝑗 + 2 ⇒ . ) ( A A A A 14 2 1 3 2 2 2 3 1 2 1 Тогда площадь треугольника равна 𝑆 ∆ = 1 2 √14 ≈ 1,87 (ед. пл. ). 2. Объём пирамиды 𝐴 1 𝐴 2 𝐴 3 вычислим как одну шестую объёма параллелепипеда с помощью смешанного произведения векторов 𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1; −1), 𝐴 1 𝐴 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 1; 2) и𝐴 1 𝐴 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; −2; −2), на которых построена пирамида (рис. 17), по формулам (10) и (11): (𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝐴 1 𝐴 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝐴 1 𝐴 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = | 1 1 −1 −1 1 2 0 −2 −2 | == −2 + 0 − 2 + 0 − 2 + 4 = −2 ⇒ 𝑉 пир = 1 6 ∙ |[𝐴 1 𝐴 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴 1 𝐴 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ∙ 𝐴 1 𝐴 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1 6 ∙ |(−2)| = 1 3 . ( ед. объёма ) Рис. 17 Теорема. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю (условие компланарности трех векторов), т.е. 𝒂 ⃗⃗ 𝒃 ⃗⃗ 𝒄⃗ = 𝟎 Доказательство. Необходимость. Пусть векторы 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор 𝑎 × 𝑏⃗ перпендикулярен этой плоскости, следовательно, (𝑎 ⃗⃗⃗⃗ × 𝑏) ⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑐 , а их скалярное произведение равно нулю (𝑎 ⃗⃗⃗⃗ × 𝑏) ⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑐 = 0. Достаточность. Пусть 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 = 0. Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда должен существовать параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого 𝑉 = 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 ≠ 0, а это противоречит условию 𝑎 𝑏⃗ 𝑐 = 0. Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны. Задача 3. Доказать, что точки , , и лежат в одной плоскости. Решение. Достаточно показать, что векторы , и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. Находим векторы , , . Тогда Следовательно, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Задача 4. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , , . Правой или левой является тройка векторов 𝑎 , 𝑏⃗ , 𝑐 . Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов: , значит, векторы образуют левую тройку и |