мат моделирвоание. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ. Вестник Самгу естественнонаучная серия. 2008. 82(67) 263
 Скачать 397.04 Kb.
|
|
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №8/2(67) 263 УДК 519.86 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ОТДЕЛЬНЫЕ АКТИВЫ © 2008 Е.Н. Климова, 1 В.Л. Шур, О.В. Москалец 2 Проведены исследования математического моделирования опти- мального портфеля ценных бумаг и разработан алгоритм решения задачи по формированию оптимального портфеля ценных бумаг с учётом ограничений на размеры инвестиций в отдельные активы. В ходе алгоритма в зависимости от ожидаемой доходности портфеля получены задачи двух типов: портфель с безрисковым активом То- бина–Шарпа–Линтнера и классический портфель Марковица, состоя- щий из рискованных активов. Произведены расчеты реальных пока- зателей рынка акций для двадцати компаний. Они сопровождаются экономическими выводами. Приведена графическая иллюстрация. На основе анализа даны практические рекомендации по формированию портфелей ценных бумаг. Ключевые слова и фразы: оптимизация портфеля, ожидаемая доход- ность, квадратичное программирование, целевая функция, ограничения. Переход экономики РФ к рыночным отношениям привел к развитию рынка ценных бумаг. Как следствие, вырос интерес юридических и фи- зических лиц к вложениям финансовых средств в акции и облигации ве- дущих российских эмитентов и их производные инструменты. Российская Федерация относится к категории стран с развивающейся рыночной эконо- микой. Рынки ценных бумаг в таких условиях характеризуются как высо- кой доходностью, так и значительными рисками в сравнении с рынками развитых экономик. Одним из основных способов уменьшения риска инве- стиций в финансовые инструменты является диверсификация активов, что приводит к формированию портфелей ценных бумаг. Вопрос ограничений на вложения в отдельные активы для физических лиц регулируется ин- дивидуальными предпочтениями инвестора. Для юридических лиц, кроме 1 Климова Елена Николаевна (elenaklimova25@gmail.com), кафедра алгебры и геомет- рии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1. 2 Шур Валерий Леонидович (shur1964@mail.ru), Москалец Ольга Вячеславовна (omoskalez@mail.ru), кафедра высшей математики Самарского государственного уни- верситета путей сообщения, 443066, Россия, г. Самара, 1-й Безымянный пер., 18. 264 Е.Н. Климова, В.Л. Шур, О.В. Москалец того, существуют и законодательные ограничения. В соответствии с ”Поло- жением о составе и структуре активов акционерных инвестиционных фон- дов и активов паевых инвестиционных фондов”, утвержденным приказом ФСФР от 20 мая 2008 г. N 08-19/пз-н оценочная стоимость ценных бумаг одного эмитента может составлять не более 15 процентов стоимости акти- вов открытых и интервальных паевых инвестиционных фондов и не более 35 процентов стоимости активов акционерных инвестиционных фондов и закрытых паевых инвестиционных фондов . Таким образом, проблема мо- делирования оптимального портфеля ценных бумаг с учетом ограничений инвестиций в отдельные активы на российском финансовом рынке приоб- ретает особую актуальность. В основуформирования портфеля ценных бу маг положим [1] концеп- цию Марковица. Задача оптимизации инвестиционного портфеля из n раз- личных активов состоит в обеспечении заданного уровня доходности m p при минимальном уровне риска: D p = σ 2 p = Ω T 1 /0 Σ Ω → min Ω ∈ Γ ⊂ R n , (1) Ω T M = m p , (2) n i = 1 ω i = 1 − ω 0 , (3) 0 ω i k i , (4) где D p , σ p — дисперсия и среднеквадратичное отклонение; Ω — вектор-стол- бец весов ω i активов в портфеле; ω 0 — остаток свободных денежных средств; 1 /0 Σ — ковариационная матрица доходностей портфеля, рассчитан- ная в момент инвестирования t 0 и до конца инвестиционного периода t 1 предполагаемая неизменной (статическая модель); M — вектор-столбец ожи- даемых доходностей m i активов; k i — ограничение сверхуна вложения в со- ответствующий актив; Γ — многогранник в пространстве R n , определяемый ограничениями (2)–(4). Предположим также, что инвестор не использует заемных средств и не открывает коротких позиций 0 ω 0 1, (5) k i 0. (6) Задача (1)–(4) представляет собой [2] задачуквадратичного программи- рования. Нужно определить оптимальный вектор долей активов Ω на вы- пуклом множестве всех планов Γ, обеспечивающий минимальное значение целевой функции волатильности (среднеквадратичного отклонения) порт- феля при заданном уровне доходности портфеля m p . В рассматриваемой за- даче, в зависимости от значения m p можно выделить два случая: портфель Математическое моделирование оптимального портфеля ценныхбумаг . . . 265 с безрисковым активом Тобина–Шарпа–Линтнера (неравенство (5) неактив- но) и классический портфель Марковица, состоящий только из рискован- ных активов ( ω 0 = 0). Перейдем от системы ограничений-неравенств (4), к системе ограниче- ний-равенств и введением дополнительные переменные ω i − k 1i + µ 1i = 0, (7) k 2i − ω i + µ 2i = 0. (8) Для решения задачи минимизации квадратичной функции (1) при усло- виях (2)–(8) составим функцию Лагранжа: L ω i , ω 0 , λ 1 , λ 2 , µ i , ν i = Ω T 1 /0 ΣΩ + λ 1 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ n i =1 m i ω i − m 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ + +λ 2 ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ n i =1 ω i − 1 + ω 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ + n i =1 ν i ω i − k i + µ i (9) Условие минимума риска при заданной доходности имеет вид: grad L ω i , ω 0 , λ 1 , λ 2 , µ i , ν i = 0. Найдем частные производные функции Лагранжа по всем 3n + 2 пере- менным и приравняем их к нулю. При дифференцировании воспользуемся формулами: d d Ω Ω T 1 /0 Σ Ω = 2 1 /0 Σ Ω, (10) d d Ω Ω T M = M, (11) где d d Ω = ∂ ∂ ω 1 , · · · , ∂ ∂ ω n T Дифференцируя (9) по ω 0 , µ i получаем: λ 2 = ν i = 0. (12) Производные по ω i , с учетом (12), дают следующие n уравнений: 2 1 /0 Σ Ω + λ 1 M = 0. (13) Дифференцируя по λ 2 , ν i , получаем систему ограничений (2), (3), (7), (8). В результате использование функции Лагранжа приводит решение за- дачи квадратичного программирования (1)–(4) к решению системы n + 1 уравнений c n + 1 неизвестными и условий отрицательности дополнитель- ных переменных µ 1i , µ 2i и неотрицательности остатка денежных средств µ i 0, (14) ω 0 0. (15) 266 Е.Н. Климова, В.Л. Шур, О.В. Москалец Система уравнений (13) и уравнение (2), представленная в матричном виде, есть если условие (3) неактивно, то A · Ω = B, где A = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎝ p 11 p 12 · · · p 1n m 1 p 21 p 21 · · · p 2n m 2 · · · · · · · · · · · · · · · p n1 p n2 · · · p nn m n m 1 m 2 · · · m n 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎠ , Ω = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ ω 1 ω 2 ω n λ 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠ , B = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ 0 0 0 m p ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠ , (16) если условие (3) активно, то A · Ω = B, где A = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎝ p 11 p 12 · · · p 1n m 1 1 p 21 p 22 · · · p 2n m 2 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · p n1 p n2 · · · p n1 m n 1 m 1 m 2 · · · m n 0 0 1 1 1 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎠ , Ω = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ ω 1 ω 2 ω n λ 1 λ 2 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠ , B = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ 0 0 0 m p 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠ (17) Коэффициенты p i j = 2σ i j , где σ i j — коэффициенты ковариационной матри- цы. Решение системы уравнений (13) и уравнения (2) в большинстве случа- ев приводит к невыполнению условий (14) и (15). Это означает, что опти- мальное с точки зрения минимизации волатильности портфеля соотноше- ние акций, не соответствует системе ограничений на вложения в отдельные активы. Предлагаемая методика основана на рассмотрении величины предпола- гаемой доходности m p как параметра. Известно, что при решении класси- ческой задачи без ограничений ω i линейно зависят от m p . В рассматри- ваемой задаче данное условие выполняется только во внутренней области множества планов. Достижение одной из функций соответствующей грани предполагает переход к следующему этапу решения задачи. На первом этапе задача решается при произвольном значении m p . Для удобства программирования акции рекомендуется перенумеровать в поряд- ке убывания ω i . Акции с наибольшим по модулю отрицательным значением ω i присваивается значение 0 и задача решается снова. Если в решении сно- ва имеются отрицательные значения, то процесс повторяется до тех пор, пока в решении не останутся только положительные значения ω i . Далее определяем, какая прямая первой достигнет своего верхнего значения. Ана- лог системы уравнений (16) в этом случае для верхней границы принимает Математическое моделирование оптимального портфеля ценныхбумаг . . . 267 вид: A 1 · Ω 1 = B 1 , где A 1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎝ p 22 p 23 · · · p 2n m 2 p 32 p 33 · · · p 3n m 3 · · · · · · · · · · · · · · · p n2 p n3 · · · p nn m n m 2 m 3 · · · m n 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎠ , Ω 1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ ω 2 ω 3 ω n λ 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠ , B 1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝ −2p 12 k 11 −2p 13 k 11 −2p 1n k 11 m p ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠ (18) В случае нижней границы цены, в матрице (16) удаляется не первая, а n-ая строка, а в векторе B 1 индекс 1 изменяется на n. Отметим также, что кроме непосредственного нахождения ковариаци- онной матрицы, например, с помощью программы ”Excel”, можно восполь- зоваться следующей формулой: 1 /0 Σ = H 1 /0 P H , (19) где H, 1 /0 P — диагональная матрица среднеквадратичных отклонений отно- сительных доходностей акций и корреляционная матрица. Предложенную методику рассмотрим для случая портфеля из 3 акций и остатка денежных средств. Пример из трех активов позволяет проиллю- стрировать методикурасчета наглядно с помощью трехмерных рису нков. Целевая функция (1) и ограничения (2)-(4) примут вид: D = D 1 ω 2 1 + D 2 ω 2 2 + D 3 ω 2 3 + + 2σ 12 ω 1 ω 2 + 2σ 13 ω 1 ω 3 + 2σ 23 ω 2 ω 3 → min, (20) m 1 ω 1 + m 2 ω 2 + m 3 ω 3 = m p , (21) ω 1 + ω 2 + ω 3 = 1 − ω 0 , (22) 0 ω i k. (23) Предполагается отсутствие заемных средств ω 0 0 и коротких позиций. Вложения в один актив не могут превышать k. Целевая функция (20) за- дает семейство эллипсоидов. Система неравенств (23) задает куб со сторо- ной k, уравнение (21) — плоскость, пересекающую оси координат в точках ω i = m p m i . Таким образом, множество планов представляет собой куб со сре- зом плоскостью (20). Кроме того, при больших значениях m p , при отсут- ствии денежного остатка в портфеле, многогранник пересекает плоскость ω 1 + ω 2 + ω 3 = 1. В качестве примера составим оптимальный портфель из акций трех эми- тентов: ”Газпрома” и привилегированных акций ”Сбербанка” и ”Сургутнеф- тегаза” по итогам торгов за 2007 год. Ковариационная матрица и вектор относительных ожидаемых доходностей (%) выглядят так: 268 Е.Н. Климова, В.Л. Шур, О.В. Москалец 1 /0 Σ = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 19 .1 14.3 17.0 14 .3 20.1 21.6 17 .0 21.6 38.1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠, M = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 10 .3 8 .6 10 .0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. (24) Вложения в один актив не должны превышать 40 % от общей суммы ин- вестиций, привлечение заемных средств и открытие коротких позиций не предусмотрены 0 ω i 0.4, ω 0 0. (25) Отметим также, что задаваемые ограничения накладывают ограничение на максимальное значение ожидаемой доходности портфеля m max p = 0.4 m 1 + 0.4 m 3 + 0.2 m 2 = 9.84 (%) . (26) Рассмотрим подробно алгоритм решения этой задачи. 1. Решаем задачубез ограничений при произвольном значении парамет- ра, например, m p = 5. A 0 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 38 , 2 28, 6 34, 0 10, 3 28 , 6 40, 2 43, 2 8, 6 34 , 0 43, 2 76, 2 10, 0 10 , 3 8, 6 10, 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠ , B 0 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 0 0 5 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠ Получаем вектор Ω 0 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 , 417 0 , 084 −0, 00094 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. Видно, что в решении есть отрицательный элемент. Поэтомувозьмем значе- ние ω 3 = 0. Следовательно, в матрице A 0 убираем третью строчку и третий столбец и решаем соответствующую систему уравнений. Получаем: Ω 1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 , 417 0 , 083 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. По двум точкам (0; 0) и (0 , 417; 5) находим прямую ω 1 = 0, 0834 m p . Ана- логично находим ω 2 = 0, 017 m p Ω 1 = m p ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 , 0834 0 , 0166 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. Учитывая, что ω 1 0, 4, находим правую границу первого интервала m 1 p = 0 , 4 0 , 0834 = = 4, 796. 2. На втором интервале фиксируем ω 1 ≡ 0, 4 и при значении m p = m 1 p и произвольном значении m p решаем следующую систему уравнений: Математическое моделирование оптимального портфеля ценныхбумаг . . . 269 A 1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ p 22 p 23 m 2 p 23 p 33 m 3 m 2 m 3 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠, B 1 = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ − 0, 4 p 21 − 0, 4 p 31 m p − 0, 4 m 1 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. (27) Получаем Ω 2 m 1 p = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 , 4 0 , 08 −0, 00093 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. Т.к. значение ω 3 0, то на этом интервале ω 3 = 0. Следовательно, рост ожидаемой доходности на этом интервале происходит только за счет увеличения доли второй акции: Ω 2 = m p − m 1 p ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 0 , 116 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠ + ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 , 4 0 , 0773 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. Правая граница второго интервала находится либо в точке, в которой вто- рая акция достигает своего максимального значения 0 , 4, либо в точке вы- хода в положительную область доли третьей акции. Для определения вто- рой величины найдем решение системы (27) при произвольном значении m p : ω 3 (5) = 0, 00192. Тогда ω 3 m p = 0, 014 m p − 0, 068. Тогда правая граница второго интервала находится из условия ω 3 = 0, т.е. m 2 p = 4, 86. Рис. 1. Геометрическая интерпретация решения 3. На третьем интервале в оптимальный портфель входят все три ак- ции. Решая систему(27) находим: Ω 3 = m p − m 2 p ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 0 , 114 0 , 014 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠ + ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝ 0 , 4 0 , 085 0 ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠. 270 Е.Н. Климова, В.Л. Шур, О.В. Москалец Очевидно, что правая граница этого интервала в точке достижения долей второй акции максимального значения 0,4: m 3 p = 7, 62. 4. На четвертом интервале доли первой и второй акции принимают мак- симальные значения ω 1 = ω 2 = 0, 4. Доля третьей акции определяется из уравнения (21): ω 3 = m p − m 1 ω 1 − m 2 ω 2 7 m 3 = 0, 1 m p − m 3 p + 0, 039. Данный интервал ограничен условием: ω 3 1 − ω 2 − ω 3 = 0, 2, ω 4 p = 9, 23. 5. На этом интервале происходит постепенная смена приоритетов. Уве- личение доходности на предыдущих интервалах происходило за счет умень- шения доли свободных денежных средств. При этом пропорции долей ак- ций сохранялись и определялись только их коэффициентом Шарпа. При отсутствии свободных средств увеличение доходности происходит за счет увеличения доли акций с более высокой доходностью, но и более волатиль- ных. В данном примере первая акция обладает наибольшей потенциальной доходностью и коэффициентом Шарпа. Поэтомуее доля по-прежнемуопре- деляется максимальным значением: ω 1 = 0, 4. Коэффициент Шарпа вто- рой акции выше третьей, но ожидаемая доходность унее меньше. Поэтому увеличение ожидаемой доходности портфеля достигается увеличением до- ли третьей акции за счет доли второй. Количественно доли этих акций определяются уравнениями: ω 2 + ω 3 = 1 − ω 1 , m 2 ω 2 + m 3 ω 3 = m p − m 1 ω 1 , ω 2 = 0, 4 − 0, 328 m p − m 4 p , ω 3 = 0, 2 + 0, 328 m p − m 4 p , m 5 p = 9, 84. Рис. 2. Зависимость долей активов и остатка денежных средств от заданной до- ходности Теперь приведем пример конкретной реализации для 20 акций россий- ских компаний. Вложения в один актив не должны превышать 15 % от общей суммы инвестиций, портфель состоит только из рискованных активов: 0 ω i 0.15, ω 0 = 0. (28) Математическое моделирование оптимального портфеля ценныхбумаг . . . 271 Максимальное значение ожидаемой доходности портфеля: m max p = 0.15 m 19 + 0.15 m 1 + 0.15 m 14 + 0.15m 20 + + 0.15m 9 + 0.15m 11 + 0.1m 10 = 21.98 (%) . (29) Нам понадобятся исторические и фундаментальные показатели доход- ностей акций. Мы включаем актив в портфель по показателю фундамен- тальной доходности, который содержит информацию о финансовом состо- янии эмитента, сроках окупаемости и прибыли. Затем мы рассчитываем историческую доходность и строим ковариационную матрицу. Показатели доходностей могут существенно отличаться друг от друга. Как мы можем увидеть из таблицы 1, не всегда акция, которая по прогнозам имеет хо- роший потенциал для роста, показывает увеличение своей рыночной стои- мости. Составляя портфель, инвестор обычно включает акции с большей фундаментальной доходностью, рассчитывая на их рост. Рассчитав показатели относительных доходностей за определенные пе- риоды, мы можем прогнозировать наиболее удачный срок вложения для акций. Наибольшую доходность показывает вложение акций сроком на год. В нашем случае мы составили оптимальные портфели с различной сред- ней доходностью, на основе полугодовых показателей. В таблице 2 пред- ставлены результаты оптимального соотношения весов акций компаний для заданного уровня доходности. Интересно отметить, что с увеличением средней доходности по порт- фелю, уменьшается количество акций, попавших в него. Акции, которые вошли во все портфели: Ростелеком, Газпром и Газпром нефть. Акции, ко- торые не вошли ни в один портфель: Ростелеком пр., Сбербанк пр., Вол- гателеком об. и Волгателеком пр. Приведем пример показателей полугодовой относительной доходности для 5 акций российских эмитентов за период с 01.2006 г. по 03.2008 г. Мы проанализировали так называемые ”голубые фишки” — акции наиболее надежных и прибыльных компаний. Акции Сбербанка хорошо коррелируют друг с другом, коэффициент корреляции составляет 0,92. При этом привилегированные показывают большую волатильность и меньшую доходность. Отрицательную коррели- рованность, то есть курсы акций определяются разными внешними фак- торами, показывают Сбербанк обыкновенные и Лукойл (-0,209), Лукойл и ГМК Норильский Никель (-0,195) и Сбербанк привилегированные и Лу- койл (-0,08). Следуя теории Марковица, мы можем формировать портфель с минимальным риском, включив в него отрицательно коррелированные бу- маги. 272 Е.Н. Климова, В.Л. Шур, О.В. Москалец Таблица 1 № Акция Тикер Годовая истор. доходность (%) Полугод. истор. доходность (%) Истор. дох-ть по месяцам (%) Фундамен- тальная доходность ∗ (%) 1 Ростелеком RTKM 74,37 30,98 4,99 -70,6 2 Ростелеком пр RTKMP 1,91 −1, 06 −0, 67 80,81 3 Сургутнефт. об SNGS −20, 03 −10, 45 −1, 53 58,8 4 Сургутнефт.пр SNGSP −35, 06 −19, 21 −2, 89 125,98 5 Татнефть TATN 9,62 4,78 1,27 13,8 6 Газпром нефть SIBN 13,97 5,99 0,68 1,8 7 Газпром GAZP 8,8 5,55 0,78 76,4 8 Лукойл LKOH −3, 4 −0, 15 0,08 48 9 Сбер об SBER 46,24 17,45 1,57 39,9 10 Сбер пр SBERP 28,89 10,52 0,31 100 11 МТС MTSI 34,36 12,58 1,24 37,4 12 Северсталь CHMF 36,46 −12, 57 1,49 45,3 13 Банк Москвы MMBM 53,16 22,39 2,63 41,58 14 Волгателеком NNSI 8,67 1,88 −0, 76 65,8 15 Волгатеком пр NNSIP −6, 37 −6, 18 −2, 07 70 16 Дальсвязь DLSV 22,99 6,19 0,14 69,1 17 Дальсвязь пр DLSVP 10,31 1,21 −0, 23 196,08 18 КАМАЗ KMAZ 106,44 36,17 4,67 71,38 19 Мосэнерго MSNG 0,51 −2, 98 −0, 95 65,5 20 ГМК НорНикель GMKN 50,03 19,96 2,89 31,7 ∗ Примечание. Источники: http://www.smoney.ru/img/issue/2008/07/21/5944_a_pic02.gif и http://www.quote.ru Выводы 1. На рис. 1. представлена геометрическая интерпретация предложенно- го метода решения. Каждый участок решения представляет собой переход с одной грани куба на другую. При этом размерность грани может, как снижаться, так и увеличиваться. Параметром изменения координат линии является ожидаемая доходность портфеля. В связи с этим предлагаемый метод можно считать разновидностью метода перебора граней. 2. На рис. 2 представлен график зависимости долей акций в портфеле Математическое моделирование оптимального портфеля ценныхбумаг . . . 273 Таблица 2 Процентное соотношение акций в портфеле № Акция Тикер Ожидаемая доходность портфеля 3 5 7 9 12 15 20 1 Ростелеком RTKM 9,46 13,59 15 15 15 15 15 2 Ростелеком пр RTKMP 0 0 0 0 0 0 0 3 Сургутнефт. об SNGS 15 13,67 9,64 10,33 4,38 0 0 4 Сургутнефт. пр SNGSP 15 15 11,54 3,44 0 0 0 5 Татнефть TATN 2,73 3,44 8,79 14,33 15 13,09 0 6 Газпром нефть SIBN 15 15 15 15 15 15 15 7 Газпром GAZP 15 15 15 15 15 15 1,62 8 Лукойл LKOH 15 15 15 15 15 13,33 0 9 Сбер об SBER 0 0 0,97 3,22 6,89 4,78 15 10 Сбер пр SBERP 0 0 0 0 0 0 0 11 МТС MTSI 0 0 0 0 0 0 4,44 12 Северсталь CHMF 0 0 0 0 3,33 0 15 13 Банк Москвы MMBM 0 0 0 0 0 0 3,94 14 Волгателеком NNSI 0 0 0 0 0 0 0 15 Волгатеком пр NNSIP 0 0 0 0 0 0 0 16 Дальсвязь DLSV 0,62 0,46 0 0 0 0 0 17 Дальсвязь пр DLSVP 2,41 0 0 0 0 0 0 18 КАМАЗ KMAZ 7,42 8,84 9,07 8,67 10,4 15 15 19 Мосэнерго MSNG 2,36 0 0 0 0 0 0 20 ГМК Никель GMKN 0 0 0 0 0 8,8 15 и остатка денежных средств на счету. На нем отчетливо видны две зоны, отличающиеся наличием и отсутствием остатка денежных средств на ин- вестиционном счету. Принципиальное отличие в поведении графиков объ- ясняется сменой приоритетов при оптимизации. При наличии денежного остатка наибольшим весом обладают акции с более высоким коэффициен- том Шарпа. Увеличение доходности при этом происходит за счет привле- чения дополнительных средств и доли акций пропорционально возрастают. При отсутствии свободных средств для увеличения доходности приходится увеличивать долю более потенциально доходных, но и более рискованных активов. На этом участке увеличивается доля третьей акции за счет вто- рой. 3. На рис. 4 показаны зависимости доходностей отдельных активов и оптимального портфеля. В данном наборе активов наиболее интересна пер- вая акция. У инвестора может возникнуть искушение вложить все средства 274 Е.Н. Климова, В.Л. Шур, О.В. Москалец Рис. 3. Полугодовые относительные доходности акций 5 компаний в первый актив. Тем не менее, необходимо учитывать, что теория Мар- ковица опирается на нормальный закон распределения цены актива и не рассматривает ”хвостовые” риски, т.е. не учитывает обстоятельства резко меняющие оценкуакций. Например, акции ”Юкоса”, показывавшие впечат- ляющий рост в 2001–2003 годах, после предъявления налоговых претензий в 2004 годуу пали более чем в 10 раз. Таким образом, диверсификация портфеля, а, следовательно, и ограничения на вложения в один актив, ка- ким бы привлекательным он не казался, являются обязательным условием успешных инвестиций. Рис. 4. Кривые Марковица для портфеля ценных бумаг и отдельных активов 4. Используя данный метод, мы можем составить оптимальный порт- фель для большего количества акций. В таблице 1 приведены показатели исторических и фундаментальных доходностей ценных бумаг, сравнив ко- торые, мы можем выбрать желаемое количество для анализа. В таблице 2 представлены векторы весов акций, составляющих оптимальный портфель Математическое моделирование оптимального портфеля ценныхбумаг . . . 275 для заданного уровня доходности. Отметим, что максимальная доходность для заданного набора активов составляет 21,98 %. Более высокая доход- ность сделает задачунекорректной. На рис. 3 показан график полу годо- вых относительных доходностей для 5 акций. Включив в портфель отри- цательно коррелированные пары активов, инвестор снижает общий риск по портфелю. Кроме того, минимизируя целевую функцию с учетом за- конодательных ограничений на вложение в отдельные активы, потенциаль- ные инвесторы +минимум, что особенно актуально в современных условиях нестабильности. Литература [1] Касимов, Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бу- маг / Ю.Ф. Касимов. – М.: Анкил, 2005. – С. 144. [2] Даугавет, В.А. Численные методы квадратичного программирования: Учебное пособие / В.А. Даугавет. – СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун- та, 2004. – 128 с. Поступила в редакцию 17/ XI/2008; Paper received 17/ XI/2008. в окончательном варианте — 17/ XI/2008. Paper accepted 17/ XI/2008. MATHEMATICAL MODELLING OF AN OPTIMUM PORTFOLIO OF SECURITIES WITH RESTRICTIONS ON SEPARATE ACTIVES © 2008 Y.N. Klimova, 3 V.L. Shur, O.V. Moskalets 4 Researches of mathematical modelling of an optimum portfolio of se- curities are conducted and the algorithm of the decision of a problem on formation of an optimum portfolio of securities with the account of restrictions on the sizes of investments into separate actives is developed. During algorithm depending on expected return of a portfolio problems of two types are received: a portfolio with active out of risk of To- bin-Sharp-Lintner and the classical portfolio of Markowitz, which consist of risky actives. Calculations of real indicators of the share market are made for twenty companies. These calculations are accompanied by eco- nomic conclusions. The graphic illustration is resulted. On the basis of the analysis practical recommendations about formation of portfolios of securities are made. Keywords and phrases: portfolio optimization, expected return, quadratic programming, criterion function, restrictions. 3 Klimova Yelena Nikolaevna (elenaklimova25@gmail.com), Dept. of Algebra and Geom- etry, Samara State University, Samara, 443011, Russia. 4 Shur Valerij Leonidovich (shur1964@mail.ru), Moskalets Olga Vjacheslavovna (omoskalez@mail.ru), Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Transport, 443066, Russia. |