Вопросы. Вопросы и задачи по теме "Теория погрешностей и машинная арифметика"
 Скачать 139 Kb.
|
ВОПРОСЫ К ЗАЩИТАМ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТВопросы и задачи по теме: “Теория погрешностей и машинная арифметика”Источники и классификация погрешностей. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности. Верные и значащие цифры. Способы округления. Представление чисел в ЭВМ. Машинный нуль, машинная бесконечность, машинное эпсилон. Алгоритмы вычисления. Погрешности арифметических операций над приближенными числами. Погрешность вычисления функций одной и нескольких переменных. Погрешность вычисления неявной функции. Числа  заданы приближенно:  ,  ,   ,  , ,  . Записать эти числа со всеми верными знаками. Приближенное число a содержит 5 верных цифр. Что можно сказать об относительной погрешности числа a? С какой относительной погрешностью нужно найти приближенное значение числа a, чтобы верными оказались 5 значащих цифр? Для приближенных чисел a и b (a>b>0) известно, что  (a)= (b)= . Оценить погрешности:а) (a+b), b) (a-b), c) (a*b), d) (a/b).Числа  заданы приближенно:  ,  ,  . Оценить погрешности:a) разности  , b) произведения  . Записать ответ с учетом верных цифр. Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций a)  , b)  , c)  .Функция  вычисляется при значениях  ,  , . Найти значения  . Записать результат со всеми верными цифрами.Коэффициенты вычисляются с относительной погрешностью (a)= (b)= (ñ)= . Найти максимальную погрешность, с которой могут вычисляться корни уравнений:a)  , b)  .Функция  вычисляется при значениях  . Определить при каких значениях  ответ будет содержать 3 верные цифры.Корни уравнения  нужно получить с четырьмя верными цифрами. С каким числом верных цифр нужно взять свободный член уравнения?Вопросы и задачи по теме: “Решение нелинейных уравнений”Постановка задачи нахождения приближенного решения уравнения. Итерационное уточнение корней: порядок сходимости метода, априорные и апостериорные оценки погрешности. Метод бисекции: описание метода, скорость сходимости, критерий окончания. Метод простой итерации решения нелинейного уравнения: описание метода, условие и скорость сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация, приведение к виду, удобному для итераций. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения: описание метода, теорема о сходимости, критерий окончания, геометрическая иллюстрация. Недостатки метода Ньютона. Модификации метода Ньютона. Модификация метода Ньютона для поиска кратных корней. Интервал неопределенности корня. Определить количество корней уравнения и для каждого корня найти отрезки локализации: a)  , b)  .Найти вещественный корень уравнения  методом бисекции с точностью  .Определить порядок p и знаменатель q скорости сходимости метода бисекции. Выписать итерационную формулу и указать начальное приближение для решения уравнения  .Уравнение  имеет 2 корня:  ,  . Для уточнения корней применяется метод простой итерации:  . К какому корню сойдется процесс? Предложить итерационный процесс для уточнения второго корня.Решается уравнение  . Определить, какой из итерационных процессов сходится к корню  : , , .Пусть уравнение f(x)=0 имеет на отрезке [a,b] единственный корень x и для его вычисления используется метод простой итерации  . Показать, что если  - непрерывная функция на [a,b] и  на этом отрезке, то для любого начального приближения из отрезка локализации итерационная последовательность сходится к корню. Построить итерационный процесс Ньютона для вычисления числа  , a>0, где p – натуральное число.Построить итерационный процесс Ньютона для вычисления числа  , a>0. Определить, при каких начальных приближениях он сходится.Вопросы и задачи по теме: “Решение систем линейных алгебраическихуравнений прямыми методами”Нормы векторов и матриц. Абсолютная и относительная погрешности вектора. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений. Оценка погрешности решения по погрешностям входных данных:  .3. Метод Гаусса (схема единственного деления):описание метода, трудоемкость метода. 4. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора): описание метода, его вычислительная устойчивость. 5. Применение метода Гаусса для решения других задач вычислительной алгебры. 6. Метод прогонки с трехдиагональной матрицей: описание метода, условия его применимости и его достоинства. Трудоемкость метода прогонки. 8. Матричная форма записи метода метода Гаусса. LU-разложение матрицы. Теорема о возможности применения LU- разложения (без доказательства). Применение метода LU- разложения для решения задач вычислительной алгебры. Стратегии выбора ведущего элемента в методе Гаусса. Метод Гаусса с частичным выбором в матричной форме. Метод Холецкого. Условия применимости метода Холецкого. 14. Вычислить нормы векторов a)  , a=(-3, 0, 4, -5) b)  , a=(2, 6, 0) c)  , a=(-13 , 7, -4, 8)15. Вычислить нормы матриц a)  , где A= , b) , где A= , c)  , где A= .Проверить справедливость свойств числа обусловленности: a)  , b)  , c)   .Оценить количество верных значащих цифр в решении системы линейных алгебраических уравнений, если матрица системы  задана точно, элементы вектора правых частей заданы с тремя верными значащими цифрами, а  .Вопросы и задачи по теме: “Решение систем линейных алгебраическихуравнений итерационными методами”Метод простой итерации (Якоби) для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость, оценки погрешности, критерий окончания итераций. Метод Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений. Сходимость, оценки погрешности, критерий окончания итераций. Геометрическая иллюстрация. Метод релаксации. Выбор параметра релаксации. 4. Привести систему к виду, удобному для итераций по методу простой итерации и определить число итераций, требуемых для достижения точности  a)  b)  5. Дана система уравнений  Привести систему уравнений к виду, удобному для итераций по методу Зейделя. Проверить условие сходимости. 6. Решается система уравнений  по методу Зейделя с начальным приближением  . Какова относительная погрешность решения после двух шагов метода Зейделя? Каноническая форма записи расчетных формул итерационных методов. Запись методов Якоби, Зейделя, релаксации в каноническом виде. Достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов для систем с положительно определенными матрицами. Рассмотреть систему уравнений  Изобразить геометрически поведение приближений по методу Зейделя. Рассмотреть систему уравнений  Изобразить геометрически поведение приближений по методу Зейделя.Рассмотреть систему уравнений  Изобразить геометрически поведение приближений по методу Зейделя. При каких значениях  и  метод простой итерации, примененный для решения системы с  и некоторым вектором  , сходится?Вопросы и задачи по теме: “Приближение функций”Постановка задач приближения функций. Метод наименьших квадратов. Вывод нормальной системы метода наименьших квадратов. Обусловленность нормальной системы. Выбор оптимальной степени аппроксимирующего многочлена. Полиномиальная интерполяция. Многочлен в форме Лагранжа. Многочлен в форме Ньютона. Погрешность интерполяции. Глобальная интерполяция. Кусочно-полиномиальная интерполяция. Выбор узлов интерполяции. Интерполяция с кратными узлами. Минимизация оценки погрешности интерполяции.. Интерполяция сплайнами. Определение сплайна. Линейный сплайн. Построение кубического сплайна. Виды граничных условий при построении сплайнов. Построение параболического сплайна. Интерполяция функции двух переменных. Вывести нормальную систему метода наименьших квадратов для определения коэффициентов  функции:a)  ; b)  .Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать на отрезке  функцию  многочленом первой степени. Вычислить величину среднеквадратичного уклонения.Построить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа и в форме Ньютона для функции  , заданной таблицей значений.
Вычислить  , зная значения  и  .Построить кусочно-линейную интерполяцию функции  по узлам –1, 0, 1.Функция  приближается на отрезке  интерполяционным многочленом по значениям в точках  . Оценить погрешность интерполяции на этом отрезке.С каким постоянным шагом h нужно составлять таблицу функции на отрезке  , чтобы погрешность линейной интерполяции не превосходила  ?Для таблично заданных функций
построить линейный и параболический сплайны. Литература Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. “Вычислительные методы для инженеров”. М.: Высшая школа, 1994. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. “Численные методы в задачах и упражнениях”. М.: Высшая школа, 2000. Казёнкин К.О. Указания к решению задач по вычислительной математике. Теория погрешностей. Нелинейные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений. М:Издательский дом МЭИ, 2009. Казёнкин К.О. Указания к решению задач по вычислительной математике .Приближение функций. Численное интегрирование. Численное дифференцирование. М:Издательский дом МЭИ, 2012. Амосова О.А., Вестфальский А.Е., Крупин Г.В. Упражнения по основам численных методов. М:Издательство МЭИ, 2016. |