Теория вероятности. Возможные варианты 1 и 2ой сдающие не выберут билеты 17 (событие В1)
 Скачать 44.69 Kb.
|
|
Задача 1. Братья Виталий и Владимир всю ночь готовились к устному экзамену по теории вероятностей. Из 11 тем они успели разобрать только 7 (оба разобрали одинаковые темы). Перед экзаменом они поспорили друг с другом о том, каким по счету нужно идти на экзамен, чтобы вероятность отвечать разобранную тему была больше: Виталий считает, что нужно идти первым, а Владимир считает, что нужно идти третьим. Помогите братьям разрешить их спор, если известно, что в группе всего 11 человек, студенты заходят на экзамен по очереди, а темы, которые уже ответили, повторно отвечать нельзя. Найдите вероятность того, что Виталию попадется тема, которую он знает, если он пойдет первым. А - Виталию попадется тема, которую он знает, если он пойдет первым. Р(А)=7/11=0,64 Найдите вероятность того, что Владимиру попадется тема, которую он знает, если он пойдет третьим. А - Владимиру попадется тема, которую он знает, если он пойдет третьим. Возможные варианты: 1 и 2ой сдающие не выберут билеты №1-7 (событие В1) Тогда условная вероятность Р(В1А)=Р(В1)*Р(А|В1)=2/11 * 7/9=0,14 1 и 2ой сдающие выберут билеты №1-7 (событие В2) Тогда условная вероятность Р(В2А)=Р(В2)*Р(А|В2)=2/11 * 6/9=0,12 1 и 2ой сдающие выберут один билет из №1-7 (событие В3) Тогда условная вероятность Р(В3А)=Р(В3)*Р(А|В3)=2/11 * 5/9=0,1 Р(А)= Р(В1А)+ Р(В2А)+ Р(В3А)=0,36 Оксана, подруга Виталия, очень хорошо знает теорию вероятностей, поэтому прекрасно понимает, чем окончится спор. Более того, она смогла решить задачу в общем случае и показала решение Виталию. 3. Повторите решение Оксаны, решите задачу в общем виде! Найдите вероятность того, что Виталию попадется тема, которую он знает, если он пойдет k-ым. При k  При k  Задача 2. Иван кидает 3 одинаковых симметричных шестигранных кубика. Событие A состоит в том, что сумма очков на трех кубиках является четным числом. Событие B состоит в том, что хотя бы на одном кубике выпало “4”.  Ас – дополнение множества А. Является суммой всех нечетных (либо выпадают кубики с 2 нечетными и 1 четным значением, либо все нечетные). Вс – дополнение множества В. Ни на одном кубике не выпадает «4».  – произведение множеств; на одном из кубиков всегда выпадает 4, в то время как на двух других выпадают нечетные числа (в том числе и одинаковые). – сумма множеств. Либо сумма выпавших значений является четным числом, либо на одном из трех кубиков при бросании выпадает «4». - Либо сумма выпавших значений является четным числом, либо ни на одном из трех кубиков при бросании не выпадает «4».Событие А – сумма выпавших значений является четным числом. Данное событие достигается при выпадении всех четных ИЛИ при выпадении 1 четного и 2ух нечетных. События независимые. А1 – выпадают все четные. Р(А1)= (3/6)3= (1/2)3 А2 – 1 четное и 2 нечетных. Р(1чет) = 3/6 Р(1нечет) = 3/6 Р(еще 1 нечет) = 3/6 Р(А2)= (1/2)3 Тогда Р(А)= Р(А1)* Р(А2)=2*(1/2)3=0,25 Событие В – хотя бы на одном выпадает «4». Равносильно разности единицы и случая, когда на всех кубиках выпадает «4». Событие  – выпало 1,2,3,5,6.Р(В)=1-Р(  * Р( =1-(5/6)3=0,42Задача 3 Злой колдун Гаргамель послал своего кота Азраэля и двух злобных троллей ловить смурфиков. Известно, что 20% всех смурфиков живут под листьями в траве, 50% — в грибах, а остальные — в дуплах деревьев. Азраэль гарантированно достает смурфика из-под листьев и не может достать смурфиков, сидящих в деревьях. Грибы он ломает с вероятностью 0.6. Если Азраэлю не удалось вытащить смурфика своими силами, он просит помощи у злобных троллей. Они могут поймать любого смурфика с вероятностью 0.1, независимо от типа его дома. Найдите вероятность того, что Азраэлю не удастся поймать случайного смурфика. А - Азраэлю не удастся поймать случайного смурфика. Гипотезы: В1 – смурфик, которого ловили, живет на листьях. В2 – смурфик с грибов, В3 – смурфик с дерева. Р(В1)=0 (из условия) Р(В2)=1-0,6=0,4 Р(В3)=1 Тогда условные вероятности: Р(А|В1)=0,2 (из условия) Р(A|В2)= 0,5 Р(A|В3)=0,3 Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности: Р(А)= Р(В1)* Р(А|В1)+ Р(В2)* Р(А|В2)+ Р(В3)* Р(А|В3)=0+0,4*0,5+1*0,3=0,5 Найдите вероятность того, что смурфик живет в грибе, если известно, что Азраэлю не удалось его достать. В данном пункте используем значения, полученные в пункте 1. Искомую вероятность находим по формуле Байеса:  Найдите вероятность того, что смурфик живет в дупле дерева, если известно, что злобным троллям удалось его поймать. А – тролли поймали смурфика. Гипотезы: В1 – смурфик, пойманный троллями, живет на листьях. В2 – смурфик с грибов, В3 – смурфик с дерева. Р(В1)= Р(В2)=Р(В3)=0,1 Тогда условные вероятности: Р(А|В1)=0,2 (из условия) Р(A|В2)= 0,5 Р(A|В3)=0,3 Аналогично п.2 найдем Р(А)= Р(В1)*Р(А|В1)+ Р(В2)* Р(А|В2)+ Р(В3)* Р(А|В3)=0,1*(0,2+0,5+0,3)=0,1 Тогда вероятность того, что смурфик, пойманный троллями живет в дупле дерева:  4. Азраэль решил попробовать самостоятельно достать смурфика во второй раз, если с первого раза не получится. Найдите вероятность того, что Азраэлю не удастся достать случайного смурфика даже со второй попытки. В – Азраэль не находит смурфика за первые две попытки. В последовательности из n=2 испытаний (процессов поимки смурфика) m=2 раза происходило событие А – смурфика Азраэль не достал. Возможно применение формулы Бернулли: Р(В)=  Тк n=m, Р(В)=  Вероятность р была найдена в пункте 1, тогда: Р(В)=0,52=0,25 |