Исследование математической модели _хищник-жертва_ с учетом внут. Все грани математики и механики апреля 2017 г. Сборник статей Под редакцией дра физмат наук, профессора А. В
 Скачать 0.59 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики апреля 2017 г.) Сборник статей Под редакцией д-ра физмат. наук, профессора А.В. Старченко Томск Издательский Дом Томского государственного университета Исследование математической модели «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции и ареала обитания Чу АР, Михайлов М. Д. Томский государственный университет, Томск e-mail: chu.antoniy@gmail.com Аннотация Существует многоразличных математических моделей, описывающих динамику численности популяций, взаимодействующих по принципу «хищник-жертва», в основе которых лежит классическая модель Лотки-Вольтерра. В [1] модель приводится к более простому виду, с меньшим количеством коэффициентов. В данной работе в изменённой модели учитываются условия внутривидовой конкуренции среди хищников и жертв и ареал обитания в одномерном приближении. Построенная пространственная модель реализуется с помощью неявного метода и сравнение результатов численного счёта с результатами из [2] показывает, что процессы, описываемые модифицированной моделью также являются устой- чивыми. Ключевые слова математическая модель, аппроксимация, устойчивость, узел, фокус, хищник-жертва, ареал обитания, внутривидовая конкуренция. Модель Базыкина [1], представляющая модификацию классической модели Лотки-Вольтерра, имеет следующий вид 𝑢 − 𝑢𝑣, 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = −𝛾𝑢 + с соответствующими начальными условиями) = 𝑢 0 , 𝑣(0) = 𝑣 0 138 С учётом внутривидовой конкуренции среди хищников и жертв система (1) приводится к следующему виду 𝑢 − 𝑢𝑣 − 𝑐 1 𝑢 2 , 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = −𝛾𝑣 + 𝑢𝑣 − 𝑐 2 𝑣 2 , 𝑢(0) = 𝑢 0 , 𝑣(0) = где 𝑐 1 , удельная скорость смертности жертв и хищников соответственно за счёт внутривидовой конкуренции, а 𝛾 - некоторый коэффициент, полученный в Исследование устойчивости системы (2), а также условия, обеспечивающие устойчивость процессов, описываемых системой (приведены в [2] (системы неравенств (10) и (11)) . Для определения параметров 𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝛾 фиксируется два параметра 𝑐 1 , 𝛾 и находится промежуток изменений для 𝑐 2 . Часть полученных результатов приведена в таблицах 1 и Таблица 1 — Случай устойчивого фокуса 0,01 0,31 0,61 0,91 0,01 0<𝑐 2 <1.58 0<𝑐 2 <1.49 0<𝑐 2 <1.40 0<𝑐 2 <1.33 0,91 0.18<𝑐 2 <1.91 0<𝑐 2 <1.57 0<𝑐 2 <1.21 0<𝑐 2 <0.74 1,81 0.54<𝑐 2 < 2.16 0.038<𝑐 2 <1.45 False False 2,71 0.88<𝑐 2 < 2.38 Таблица 2 — Случай устойчивого узла 0,01 0,31 0,61 0,91 0,01 𝑐 2 >1.58 𝑐 2 >1.49 𝑐 2 >1.40 𝑐 2 >1.33 0,91 0<𝑐 2 <0.18||𝑐 2 >1.91, 𝑐 2 >1.57 𝑐 2 >1.21 𝑐 2 >0.74 1,81 0<𝑐 2 <0.54||𝑐 2 >2.16, 0 < 𝑐 2 < 0.038|| False False ||𝑐 2 > 1.45 , 2,71 0<𝑐 2 <0.88||𝑐 2 >2.38 Рассматривается модификация модели Базыкина-Свирежева с учётом внутривидовой конкуренции и ареала обитания. Ищутся функции 𝑢(𝑥, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑡) ∈ 𝐶 2 1 (𝐺) ∩ 𝐶( ˜ 𝐺), ˜ 𝐺 = {(𝑥, 𝑡)|0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; 0 ≤ 139 𝑡 ≤ 𝑇 } , удовлетворяющие системе уравнений 𝐷 𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝑢 − 𝑢𝑣 − 𝑐 1 𝑢 2 , 𝜕𝑣 𝜕𝑡 = 𝐷 𝑣 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑥 2 − 𝛾𝑣 + 𝑢𝑣 − с соответствующими начальными, 0) = 𝜙 1 (𝑥), 𝑣(𝑥, 0) = и граничными условиями Начальные функции хи х) задаются аналогично [3] (см. рисунки 1 и Рис. 1. Плотность популяции жертв в начальный момнет времени Рис. 2. Плотность популяции хищников в начальный момнет времени Чтобы решить поставленную задачу (3)-(5), будем использовать соответствующий разностный метод. Для этого покроем область ˜ 𝐺 некоторой равномерной сеткой ˜𝜔 ℎ𝜏 = ˜ 𝜔 ℎ × 𝜔 𝜏 ; ˜ 𝜔 ℎ = {𝑥 𝑗 |𝑥 𝑗 = 𝑗ℎ, 𝑗 = 0, ..., 𝑁 }; 𝜔 𝜏 = {𝑡 𝑘 |𝑡 𝑘 = 𝑘𝜏, 𝑘 = 0, ..., 𝑀 } , и аппроксимируем дифференциальную задачу (3)-(5) соответствующей разностной. В результате получим 𝑢 𝑛 𝑗 𝜏 = 𝐷 𝑢 𝑢 𝑛+1 𝑗+1 − 2𝑢 𝑛+1 𝑗 + 𝑢 𝑛+1 𝑗−1 ℎ 2 + 𝑢 𝑛+1 𝑗 (1 − 𝑣 𝑛 𝑗 − 𝑐 1 𝑢 𝑛 𝑗 ), 𝑣 𝑛+1 𝑗 − 𝑣 𝑛 𝑗 𝜏 = 𝐷 𝑣 𝑣 𝑛+1 𝑗+1 − 2𝑣 𝑛+1 𝑗 + 𝑣 𝑛+1 𝑗−1 ℎ 2 + 𝑣 𝑛+1 𝑗 (−𝛾 + 𝑢 𝑛 𝑗 − со следующими начальными 𝜙 1 (𝑥 𝑗 ), 𝑗 = 0, ..., 𝑁, 𝑣 0 𝑗 = 𝜙 2 (𝑥 𝑗 ), 𝑗 = 0, ..., и граничными условиями 0 = 𝑢 𝑛+1 1 , 𝑢 𝑛+1 𝑁 = 𝑢 𝑛+1 𝑁 −1 , 𝑛 = 0, ..., 𝑀 − 1, 𝑣 𝑛+1 0 = 𝑣 𝑛+1 1 , 𝑣 𝑛+1 𝑁 = 𝑣 𝑛+1 𝑁 −1 , 𝑛 = 0, ..., 𝑀 − Исследовались вопросы аппроксимации, устойчивости исходи- мости соответствующего численного метода (6)-(8). Показано, что разностная задача аппроксимирует дифференциальную (3)-(5) с первым порядком пои и абсолютно устойчива. Следовательно, по теореме Лакса [4] решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи. Для реализации численного метода использовались следующие значения параметров переменных, взятые из таблиц 1 и для устойчивого фокуса = 0.01, 𝑐 1 = 0.01, 𝑐 2 = 0.3, 𝑢(𝑥, 0) = 𝜙 1 (𝑥), 𝑣(𝑥, 0) = для устойчивого узла = 0.21, 𝑐 1 = 1.21, 𝑐 2 = 0.05, 𝑢(𝑥, 0) = 𝜙 1 (𝑥), 𝑣(𝑥, 0) = Результаты численных расчётов представляются в виде графиков (рис. 3 и 4), описывающих динамику изменения плотности популяции жертв (𝑢) и хищников (𝑣) в ом узле пространственной сетки стечением времени Рис. 3. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников стечением времени, полученные при значении параметров приведённых в (Рис. 4. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников стечением времени, полученные при значении параметров приведённых в (На рисунках 5 и 6 приведены графики динамики плотности популяции жертв и хищников стечением времени в фазовой плоскости, Рис. 5. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников повременив фазовой плоскости, полученные при значении параметров при- ведённых в (Рис. 6. Изменение плотнолсти популяции жертв и хищников повременив фазовой плоскости, полученные при значении параметров при- ведённых в (10) 142 Сравнение результатов, представленных на рисунках 3 - 6 с результатами из [2], показывает их совпадение. Это говорит о том, что модификация системы «хищник-жертва» с учётом ареала обитания описывает устойчивые процессы. В заключении следует отметить, что методика определения оптимальных значений параметров системы «хищник-жертва» может использоваться в задачах такого рода с учётом дополнительных факторов таких, как изменение формы ареала обитания, учёт половой структуры, учёт возрастных данных итак далее. Литература 1. Базыкин АД. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. C. 225-238. 2. Чу АР, Михайлов М. Д. Исследование математической модели "хищник-жертва"с учётом внутривидовой конкуренции Всероссийская молодежная научная конференция Все грани математики и механики : сборник статей / под редакцией А.В. Стар- ченко. Томск : Издательский Дом Томского государственного университета. С. 118-124. 3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование Идеи. Методы. Примеры //ФИЗМАТЛИТ, е издание. 2005. C. 73-75. 4. Меркулова Н.Н., Михайлов М.Д. Методы приближённых вычислений под редакцией А.В. Старченко. Томск : Издательский Дом Томского государственного университета, 2014. 762 с |