Ргр. РГР1 Задача 1. Задача 1 Расчет статически определимой многопролетной балки на неподвижную и подвижную нагрузки
 Скачать 0.88 Mb.
|
|
Задача 1 Расчет статически определимой многопролетной балки на неподвижную и подвижную нагрузки.
Условие задачи Выполнить кинематический анализ исходной расчетной схемы балки. Составить рабочую (поэтажную) схему балки. Поэлементным расчетом определить опорные реакции, изгибающие моменты и поперечные силы от заданной постоянной нагрузки. Выполнить статическую проверку полученных результатов. Построить эпюры M и Q. Статическим методом построить линии влияния реакции опоры A, изгибающего момента и поперечной силы в сечении 1. Загружением линий влияния вычислить VA, M1 и Q1 от постоянной нагрузки, сравнить с полученными в п. 2; определить максимальные и минимальные значения этих силовых факторов от подвижной системы сосредоточенных сил. Варианты исходных данных
F, q, M – компоненты постоянной нагрузки; F1 F2 F3 в ременная подвижная нагрузка a/2 a/4 q F 1 M A 1 q F M 2 q 1 A F M 3 q 1 A 4 5 6 F M 1 q A M F 1 q F M A q M F 1 7 1 A q F M 1 8 A a a a a a a a a a 9 q F M F F F F A q F 1 10 M 1 q A 11 M A q 1 F M 1 A 12 q M 1 13 q A M 1 14 A q M F 15 1 A q F M 16 1 q A 17 F M 1 q F A 18 M 1 q A F M 1 19 q A F M 1 20 21 22 q A F M 1 A q F M 1 A q F M 23 1 q F A 24 25 M 1 q F A M 1 A a a a a a a a a a Пример выполнения расчета многопролетной балки Р F1 F2 F3 асчетная схема и исходные данные F q F a/2 a/4 M 1 a a a a 2a a a A a/2 a/2 Рис. 2.9 a = 2 м; F = 15 кН; M = 16 кН∙м; q = 12 кН /м; F1 = 8 кН; F2 = 12 кН; F3 = 10 кН . Кинематический анализ расчетной схемы а D1 D2 D3 D4 H1 H2 H3 ) проверка выполнения необходимого условия геометрической неизменяемости системы– количественный анализ: K D «з е м л я» = 4, H = 3, С = 0, С 0 = 6, тогда W = 3D – 2H – C – C0 = 3∙4 – 2∙3 – 0 – 6 = 0 – условие выполнено, следовательно, система может быть геометрически неизменяемой; б) структурный анализ расчетной схемы: так как ни у одного диска нет трех связей с диском «земля», то рассматривать соединение двух дисков типовым способом невозможно; поэтому пытаемся применить прием соединения трех дисков – в схеме балки можно усмотреть соединение дисков D3 , D4 и «земля» с помощью трех пар связей первого – двух параллельных опорных связей между «землей» и D3 , двух в виде неподвижной шарнирной опоры диска D4 и двух в виде цилиндрического шарнира, связывающего диски D3 и D4 , причем три точки попарного пересечения осевых линий связей не располагаются на одной прямой ( первая – бесконечно удаленная по вертикали, а две остальных – на горизонтальной оси балки ), следовательно, связи наложены правильно, и, поскольку один из соединяемых дисков – это «земля», в результате получается геометрически неизменяемая система ГНС1 = DI = D3 + D4 + «земля», которая далее таким же способом соединяется с дисками D1 и D2 : DII = DI + D1 + D2 без дефектов в расположении связей; результат – геометрически неизменяемая система ( заданная балка ). Вывод: рассматриваемая балка геометрически неизменяема и статически определима ( W = 0 ). Рабочая(поэтажная) схема балки ВЧ1 ВЧ2 Как следует из структурного анализа, образование балки осуществляется в несколько действий ( шагов), приводящих к по-следовательному возникновению геометрически неизменяемых систем – т. е. балка является составной системой с главными и второстепенными частями. Но, как уже отмечалось ранее, ни у одного из элементов балки нет трех связей с «землей», поэтому безусловно главных частей нет. Тем не менее, диски D1 и D3 – условно главные части ( каждая из них соединена с «землей» двумя вертикальными связями и может воспринимать любую вертикальную нагрузку даже при отсутствии всех других частей). Диски D2 и D4 – независимые друг от друга второстепенные части ( они разделены условно главной частью ). Изображая глав- ные и втор УГЧ2 УГЧ1 остепенные ча- с ти на разн ых уровнях , получаем рабочую (поэтажную) схему балки. Расчет балки на действие постоянной нагрузки Показываем на рабочей схеме балки заданную постоянную нагрузку, компоненты которой – q , M и две одинаковых силы F; освобождаем балочные части системы ( главные и второстепенные ) от внешних ( с «землей» ) и внутренних ( между стержнями ) связей, взамен которых прикладываем их реакции, следя за тем, чтобы одноименные реакции, действующие на соединявшиеся в шарнире части, были изображены противоположно направленными. Силу F, показанную на исходной схеме приложенной к шарниру с, следует сместить на dx влево, вследствие чего она оказывается на УГЧ1. Смещать точку приложения сосредоточенногомоментаM нельзя – в решаемой задаче она оказывается на левом конце ВЧ2 . q = 12 кН /м F= 15 кН M = 16 кН∙м y 1 K c d e УГЧ2 УГЧ1 ВЧ1 ВЧ2 F A B P 2 м 2 2 1 2 2 1 4 2 F= 15 кН c d q = 12 кН /м M = 16 кН∙м ВЧ1 K e ВЧ2 VK Ve Vd Vc 2 2 4 2 Vc = Vd = 7,5 кН VK = 50 кН, Ve = 22 кН 24 16 MeK Mcd 24 22 7,5 15 MeK Qcd 11/6 м 26 7,5 УГЧ1 Vc = 7,5 кН Vd = 7,5 кН Ve = 22 кН MP УГЧ2 c d e A B F= 15 кН P VP VB VA 2 1 4 1 VB = 25,625 кН, VA = 3,875 кН 45 Mde 22 MPc 7,5 MP = = – 45 кН∙м, VP = 22,5 кН 22,5 22 QPc Qde 7,5 3,625 24 22 45 26 16 7,5 M ( кН∙м ) 14,75 24 0 0 0 0 е) 22 7,5 15 22,5 Q ( кН ) 0 3,625 0 ж) 7,5 Расчет составной системы следует начинать с самой второстепенной части, но в данной балке части ВЧ1 и ВЧ2 – равносильные, поэтому определять реакции их связей можно в любом порядке. В части cd ( ВЧ1 ) силовые факторы находятся как в типовой балке. Для ВЧ2 два основных уравнения равновесия позволяют вычислить Ve и VK : Третье уравнение дает He = HK ( на схеме не показаны, так как они заведомо равны нулю. Найденные реакции связей второстепенных частей используются, во-первых, для определения внутренних усилий (моментов M и поперечных сил Q в этих частях по правилам сопротивления материалов, а во-вторых, в качестве уже известных давлений второстепенных частей на менее второстепенные или, как в заданной балке, на главные. Главные части рассчитываются в последнюю очередь, с вычислением реакций и внутренних силовых факторов. Полученные поэлементно эпюры объединяются. В заключение следует выполнить статическую проверку результатов расчета. Качественно – оцениваем очертание эпюр M и Q на разных грузовых участках ( прямые или криволинейные ) и соответствие их особенностей ( изломов и разрывов ) внешним сосредоточенным воздействиям (нагрузкам в виде сил F и момента M, а также реакциям внешних связей – MP, VP, VA , VB , VK ). Количественно– проверяем равновесие балки в целом: F MP= = – 45 кН∙м q = 12 кН /м F= 15 кН M = 16 кН∙м P VK = 50 кН VP= 22,5 кН VB = 25,625 кН, VA = 3,875 кН 2 2 3 4 2 1 4 Построение линий влияния VA, M1 и Q1; их загружение Опора А и сечение 1 находятся на главной части ( УГЧ2 ), следовательно, искомыеVA, M1 и Q1 будут отличными от 0 при расположении единичного подвижного груза F = 1 как на самóй УГЧ2 , так и на обеих соседних с ней второстепенных частях ВЧ1 и ВЧ2 – в пределах этих трех частей и строятся все три линии влияния. Когда груз F = 1 переходит на главную часть УГЧ1, никаких усилий в УГЧ2 не возникает – на всех линиях влияния в пределах УГЧ1 получаются участки с нулевыми ординатами. В пределах части, которой принадлежит опора А и сечение 1, независимо от того, главная это часть или второстепенная, линии влияния строятся как типовые. Вправо каждая Л.В. достраивается как прямая, соединяющая конец ординаты под шарниром e и 0 под опорой K, так как при расположении единичной силы F = 1 над этой опорой все усилия в балке, в том числе M1 и Q1 , и реакции опор, кроме VK , равны 0, т. е. и VA = 0 – поэтому на всех Л.В. под опорой K получается 0. Влево от типовой части ( от шарнира d ) – также прямая c 0 под концом главной части УГЧ1 . Используем линии влияния для вычисления VA, M1 и Q1 : 1) определение силовых факторов от постоянной нагрузки загружением Л.В. : VA = 15 кН ∙ 0,625 + (–16 кН ∙ м ) ∙ 0,25/(4 м) + + 12 кН/м ∙ 0,5(–0,25+0,125) ∙ 6 м = 3,875 кН; M1 = 15 кН ∙ (–0,25 м ) + (–16 кН ∙ м ) ∙ 0,5 м/(4 м) + + 12 кН/м ∙ 0,5(–0,5+0,25) м ∙ 6 м = –14,75 кН ∙ м; Q1 = 15 кН ∙ 0,125 + (–16 кН ∙ м ) • 0,25/(4 м) + + 12 кН/м ∙ 0,5(–0,25+0,125) ∙ 6 м = –3,625 кН. F= 1 Значения факторов, найденные с помощью линий влияния, точно совпадают с полученными из эпюр. 1 K c d e УГЧ2 УГЧ1 ВЧ1 ВЧ2 A B P F= 15 кН 2 2 2 1 a = 2 м 1 4 2 b= 2 м l=a+ b = 4 м 1 1,25 0,625 Л.В. VA 0,125 0 0,25 0 0 ab/l = 1 м Л.В. M1 (м) 0,25 0 0 0 0 Л.В. Q1 0,125 0,5 0,25 0,5 0,5 0,125 0,25 0,25 0 0 0 0 q = 12 кН /м 0,5 F M = 16 кН•м 3) определение экстремальных значений VA, M1 и Q1 от под-вижной системы сосредоточенных сил: в случае линии влияния с треугольными участками для отыскания критического груза, характеризующего опасное положение нагрузки, применяем аналитический критерий и его графический аналог. Ниже показаны опасные загружения для VA. При выявлении первого критического груза используем характеристики системы сил и положительной треугольной части Л.В. VA: Fl = 8 кН < ( a/l )+ F = (4/9) ∙ 30 = 13,33 кН , Fl + Fcr = 20 кН > ( a/l ) + F = (4/9) ∙ 30 = 13,33 кН. Для второго критического груза используем характеристики системы сил и отрицательной треугольной части Л.В. VA: Fl = 0 кН > ( a/l )– F = (1/5) ∙ 30 = 6 кН . Fl + Fcr = 8 кН > ( a/l )– F = (1/5) ∙ 30 = 6 кН . Загружение на VA, max Загружение на VA, min F1 F3 Fcr=F2 F3 F2 Fcr=F1 F1= 8 кН F2= 12 кН F3= 10 кН 8 < 13,33 8 + 12 > 13,33 0 < 6 0 + 8 > 6 а 1,25 0,9375 1,125 0,5 1 ) Л.В. VA 0 0 б 0,25 0 0,15625 F1 F2 F3 ) 0,1875 Fcr // 1 4 5 4 м На рисунке дан также графический прием обнаружения критического груза. Размеры Л.В. и векторы сил нужно изображать с соблюдением пропорций. Вычислив необходимые дополнительные ординаты Л.В., находим: = – 5,8125 кН. Определяем экстремальные значения изгибающего момента M1. Из-за наличия двух отрицательных частей Л.В. M1 с одинаковыми ординатами вершин приходится вычислять два локальных минимума, из которых затем выбираем больший по абсолютной величине: Загружение на M1, max Загружение 2 на M1, min Загружение 1 на M1, min F3 F2 F3 Fcr=F2 F3 F2 Fcr=F1 F1 F1 20 < 24 20 + 12 > 24 0 < 6 0 + 8 > 6 1 Л.В. M1 (м) 0,5 0,75 ( a/l )– F = = (4/5) ∙ 30 = 24 кН 0 0 0 0 F1 F3 1 4 4 м 0,3125 0,3125 0,5 0,5 F2 Fcr // 0,375 0,4375 ( a/l )– F = = (1/5) ∙ 30 = 6 кН 2 2 |