Домашняя работа №2 по теории вероятностей.. Задача 2 Условие Проводятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p

Название	Задача 2 Условие Проводятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p
Анкор	Домашняя работа №2 по теории вероятностей
Дата	12.09.2022
Размер	30.85 Kb.
Формат файла
Имя файла	terver (2).docx
Тип	Задача #673269

Задача №2

Условие: Проводятся испытания по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p.

Найти вероятность того, что в n испытаниях число успехов будет не меньше k₁ и не больше k₂
Найти вероятность того, что в n испытаниях относительная частота успеха будет отличаться от его вероятности не больше чем на E
Сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью 0,95 относительная частота успеха отличалась от его вероятности не больше, чем на E.

p=0, 75; n=8000; k₁=5950; k₂=6050; E=0, 05.

Решение

1) Применяем формулу интегральную теорему Муавра-Лапласа:

2) Применим формулу

3) Применим формулу

Здесь

Задача №3

Условие: В урне

белых шаров,

–черных и

–синих. Наудачу извлекается m шаров. Обозначим через E число вынутых белых шаров, а через µ– черных. Найдите совместное распределение случайных величин E и µ и значение совместной функции распределения F_E_µ(x,y) в точках (a₁, a₂), (b₁, b₂), (c₁, c₂) и (d₁, d₂), если выборка производится: А) с возвращением, Б) без возвращения.

В случае Б) найдите законы распределения компонент E и µ, их математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции.

m = 5

(a₁, a₂)=(6,2)

(b₁, b₂)=(5,3)

(c₁, c₂)=(4,1)

(d₁, d₂)=(2,2)

Решение

Всего вынимается 5 шаров. Среди них могут быть белые, черные и синие. Рассмотрим все возможные варианты комбинаций шаров

белые	черные	синие
5	0	0
4	1	0
4	0	1
3	2	0
3	1	1
3	0	2
2	3	0
2	2	1
2	1	2
2	0	3
1	4	0
1	3	1
1	2	2
1	1	3
1	0	4
0	5	0
0	4	1
0	3	2
0	2	3
0	1	4
0	0	5

Так как синих шаров всего 4, последнюю комбинацию не рассматриваем.

Таким образом, получаем следующие возможные значения пар (E, µ):

(0,1), (0,2),(0,3), (0,4) (0,5), (1,0), (1,1), (1,2) (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (5,0).

В зависимости от типа выборки составим таблицу совместного распределения, учитывая количество возможных вариантов порядка появления шаров

Всего шаров 7 + 5 + 4 = 16

– белых

– черных

– синих

а) выборка с возвращением

µ Е	0	1	2	3	4	5
0	0
1						0
2					0	0
3				0	0	0
4			0	0	0	0
5		0	0	0	0	0

µ Е	0	1	2	3	4	5
0	0	0,0061	0,0153	0,0191	0,0119	0,0030
1	0,0085	0,0427	0,0801	0,0668	0,0209	0
2	0,0299	0,1122	0,1402	0,0584	0	0
3	0,0523	0,1308	0,0818	0	0	0
4	0,0458	0,0572	0	0	0	0
5	0,0160	0	0	0	0	0

F(6,2) = P(E<6,µ<2) = P(1,0)+Р(2,0)+Р(3,0) +Р(4,0) +Р(5,0) +Р(0,1) + P(1,1)+Р(2,1) +Р(3,1) +Р(4,1) = 0,5017

F(5,3) = P(E<5,µ<3) = P(1,0)+Р(2,0)+Р(3,0) +Р(4,0) +Р(0,1) + P(1,1)+Р(2,1) +Р(3,1) +Р(4,1)+ Р(0,2) + P(1,2)+Р(2,2) +Р(3,2) +Р(4,2) = 0,8030

F (4,1) = P(E<4,µ<1) = P(1,0)+Р(2,0)+Р(3,0) = 0,0908

F(2,2) = P(E<2,µ<2) = P(1,0)+Р(0,1)+Р(1,1) = 0,0574

б) выборка с возвращением

µ Е	0	1	2	3	4	5
0	0	0,0011	0,0092	0,0137	0,0046	0,0002
1	0,0016	0,0321	0,0962	0,0641	0,0080	0
2	0,0192	0,1442	0,1922	0,0481	0	0
3	0,0481	0,1603	0,0801	0	0	0
4	0,0321	0,0401	0	0	0	0
5	0,0048	0	0	0	0	0

F(6,2) = P(E<6,µ<2) = P(1,0)+Р(2,0)+Р(3,0) +Р(4,0) +Р(5,0) +Р(0,1) + P(1,1)+Р(2,1) +Р(3,1) +Р(4,1) = 0,4836

F(5,3) = P(E<5,µ<3) = P(1,0)+Р(2,0)+Р(3,0) +Р(4,0) +Р(0,1) + P(1,1)+Р(2,1) +Р(3,1) +Р(4,1)+ Р(0,2) + P(1,2)+Р(2,2) +Р(3,2) +Р(4,2) = 0,8565

F (4,1) = P(E<4,µ<1) = P(1,0)+Р(2,0)+Р(3,0) = 0,0689

F(2,2) = P(E<2,µ<2) = P(1,0)+Р(0,1)+Р(1,1) = 0,0348

Законы распределения компонент E и µ, их математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляции