Лекция 1. Основные понятия и определения. Лекция 3. Теоремы сложения и умножения. Задача в урне 30 шаров 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение
 Скачать 5.44 Mb.
|
|
Теоремы сложения и умножения Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. – появление цветного шара Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие ) . Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Вероятность появления синего шара (событие ) . События и несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Искомая вероятность равна Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Искомая вероятность равна Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Искомая вероятность равна . Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Искомая вероятность равна . Задача 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Искомая вероятность равна . Ответ: . Теорема 2 . Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице: . Задача 2. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов , и . Вероятность получения пакета из города равна 0,7, из города - 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города . Решение. События «пакет получен из города », «пакет получен из города », «пакет получен из города » образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: Задача 2. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов , и . Вероятность получения пакета из города равна 0,7, из города - 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города . Решение. События «пакет получен из города », «пакет получен из города », «пакет получен из города » образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: Ответ: . Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через , то другое принято обозначать . Теорема 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: . Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через , то вероятность другого события обозначают через . Таким образом, в силу предыдущей теоремы . При решении задач на отыскание вероятности события , часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле . Условной вероятностью называют вероятность события, вычисленную в предположении, что событие уже наступило. Теорема 4. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: . Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: где , - вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д. Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны а) синий, желтый, зеленый и еще один зеленый шары; б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить шары в заданной последовательности Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны а) синий, желтый, зеленый и еще один зеленый шары; б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить шары в заданной последовательности Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны а) синий, желтый, зеленый и еще один зеленый шары; б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить шары в заданной последовательности Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны а) синий, желтый, зеленый и еще один зеленый шары; б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить шары в заданной последовательности Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны а) синий, желтый, зеленый и еще один зеленый шары; б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить шары в заданной последовательности Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны а) синий, желтый, зеленый и еще один зеленый шары; б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить шары в заданной последовательности Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Задача 3. В урне лежат 12 зеленых, 5 синих и 3 желтых шара. Какова вероятность, что мы вытащим из урны б) 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара? Решение. – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара – вытащить 1 синий, 1 желтый и 2 зеленных шара Альтернативное решение:Альтернативное решение:Альтернативное решение:Альтернативное решение:Альтернативное решение:Пусть вероятность события не зависит от появления события . Событие называют независимым от события , если появление события не изменяет вероятности события , т. е. если условная вероятность события равна его безусловной вероятности: . Тогда , т. е. условная вероятность события в предположении, что наступило событие , равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие не зависит от события . Для независимых событий теорема умножения имеет вид , т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Последнее равенство принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности. Теорема 5. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий : . Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – не сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – не сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – не сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – не сдаст сессию Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст только один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст только один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст только один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст только один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст только один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст только один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст два экзамена Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст два экзамена Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст два экзамена Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст два экзамена Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст хотя бы один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст хотя бы один экзамен Задача 4. Вероятность того, что студент сдаст на сессии первый экзамен равна 0,4, второй – 0,7 и третий – 0,2. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст сессию; б) не сдаст сессию; в) сдаст только один экзамен; г) сдаст два экзамена; д) сдаст хотя бы один экзамен. Решение. , , – сдаст хотя бы один экзамен Теорема 6. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: . Для независимых событий , для зависимых событий . |