Главная страница

Задача К3 на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей,


Скачать 165.27 Kb.
НазваниеЗадача К3 на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей,
Дата16.06.2019
Размер165.27 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файла23.docx
ТипЗадача
#81864

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис.К3.0 – К3.7) или стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стержней равны соответственно ℓ1=0,4 м, ℓ2=1,2 м, ℓ3=1,4 м, ℓ4=0,6 м. Положение механизма определяется углами http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image543.png Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image545.png - величины постоянные. Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image547.png на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image549.png ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png и ускорение http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image553.png - от точки В к b (на рис. 5-9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определение ускорений точек механизма исходить из векторного равенства

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image555.png

где А – точка, ускорение http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image557.png которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image559.png ); В – точка, ускорение http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.pngкоторой нужно определить (в случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, также следует представить http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image559.png см. примечание в конце рассмотренного ниже примера К3).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)




http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image597.jpg




http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image599.jpghttp://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image601.jpgПример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2шарнирами.

Дано: http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image603.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image605.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image607.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image609.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image611.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image613.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image615.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image617.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image619.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image621.png , http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image623.png (направления http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image625.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image627.png - против хода часовой стрелки).

Определить: http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image629.png

Решение.1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image631.png . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image631.png , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png . По данным задачи, учитывая направление http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image625.png , можем определить http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image636.png ; численно

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image638.png (1)

Направление http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image636.png и направление http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image643.png (2)

3. Определяем http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image645.png . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image645.png , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image636.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка Р3, лежащая на пересечении перпендикуляров к http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image636.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png , восстановленных из точек А и В (к http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image636.png перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image636.png определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС Р3. Вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image654.png перпендикулярен отрезку DР3, соединяющему точки D и Р3, и направлен в сторону поворота. Величину http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image656.png найдем из пропорции

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image658.png (3)

Чтобы вычислить C3D и C3B, заметим, что треугольник АС3В – прямоугольный, так как острые углы в нем равны http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image660.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image662.png , и что

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image664.png

Тогда треугольник BР3D является равносторонним и Р3В=Р3D. В результате равенство (3) дает

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image666.png (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг О2, то http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image668.png . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image645.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image654.png , построим МЦС Р2 стержня DE. По направлению вектора http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image654.png определяем направление поворота стержня DE вокруг центра Р2. Вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image645.png направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image674.png , откуда http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image676.png . Составив теперь пропорцию, найдем, что

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image678.png (5)

4. Определяем http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image680.png . Так как МЦС стержня 2 известен (точка Р2) и

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image682.png

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image684.png (6)

5. Определяем http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png (рис. К3в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image559.png , где численно

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image689.png

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image691.png (7)

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image692.jpg

Вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image694.png направлен вдоль АО1, а http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image696.png - перпендикулярно АО1; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К3в).Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image551.png .

Для определения воспользуемся равенством

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image701.png (8)

Изображаем на чертеже векторы http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image703.png (вдоль ВА от В к А) и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image705.png (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image707.png Найдя http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image709.png с помощью построенного МЦС Р3 стержня 3, получим

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image711.png (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image713.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image715.png ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image713.png , спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось x), перпендикулярное неизвестному вектору http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image705.png . Тогда получим

-




http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image719.png (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image721.png (11)

Так как получилось http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image723.png , то, следовательно, вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png направлен как показано на рис. К3в.

6. Определяем http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image726.png . Чтобы найти http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image726.png , сначала определим http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image715.png . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось y). Тогда получим

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image730.png (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из 
(11) и (7), найдем, что http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image732.png Знак указывает, что направление http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image705.png противоположно показанному на рис. К3в.

Теперь из равенства http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image735.png получим

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image737.png

Ответ: http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image739.png http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image741.png http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image743.png http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image745.png http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image747.png

Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К3.0-К3.4, где В движется по окружности радиуса О2В), то направление http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png заранее неизвестно.

В этом случае http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image561.png также следует представить двумя составляющими ( http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image751.png ) и исходное уравнение (8) примет вид

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image753.png (13)

При это вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image755.png (см., например, рис. К3.0) будет направлен вдоль ВО2, а вектор http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image705.png - перпендикулярно ВО2 в любую сторону. Числовые значения http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image758.png определяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиям задачи может быть http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image760.png или http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image762.png , если точка А движется прямолинейно).

Значение http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image764.png также вычисляется по формуле

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image766.png

где ℓ – радиус окружности О2В, а http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image631.png определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестные только значения http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image769.png и http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image715.png и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image769.png , можем вычислить искомое ускорение

http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image773.png

Величина http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image715.png служит для нахождения http://ok-t.ru/studopediaru/baza6/1113724074732.files/image776.png (как в рассмотренном примере).


написать администратору сайта