Пример. Задача Найти частные производные второго порядка функции и показать, что она удовлетворяет уравнению. Решение

• Название: Задача Найти частные производные второго порядка функции и показать, что она удовлетворяет уравнению. Решение
• Дата: 11.04.2022
• Размер: 158.14 Kb.
• Имя файла: Пример.docx
• Тип: Задача; #463165

Пример решения типового расчета
Задача 1. Найти частные производные второго порядка функции и показать, что она удовлетворяет уравнению .

Решение.

Найдем частные производные первого порядка:



Теперь найдем частные производные второго порядка:

.

Подставим найденные производные в данное уравнение, получим

− тождество.

Ответ:

.

Задача 2. Дана функция и точки . Вычислить:

1. 
   точное значение функции в точке ;
   
2. 
   приближенное значение функции в точке , используя дифференциал;
   
3. 
   оценить в процентах относительную погрешность;
   
4. 
   написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .
   

Решение.

1. Вычисляем точное значение данной функции в точке :



2. Чтобы вычислить приближенное значение данной функции в точке , за исходную возьмем точку .

Тогда

Находим частные производные данной функции и их значения в точке :



Вычисляем значение данной функции в точке :



Находим дифференциал и его значение в точке :

.

Тогда приближенное значение функции в точке будет равно:

.

3. Абсолютная погрешность приближенного вычисления равна



Относительная погрешность т.е. 0,1%.

4. 
   Поверхность задана явно. Будем использовать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в виде:
   

Имеем: −координаты точки , т.е. .

. .

Подставляя, получим:

1. 
   уравнение касательной плоскости: или
   

;

2. 
   уравнение нормали к поверхности: .
   

Ответ:

1.

4. − уравнение касательной плоскости;

− уравнение нормали к поверхности.

Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области .

: .



Решение: 1 А

Сделаем чертеж области :

Область представляет собою ●М

внутреннюю часть треугольника О 0 1 В

.

Найдем частные производные, приравняем их нулю и найдем стационарные точки:

.

Единственная стационарная точка находится внутри области . Вычисляем значение функции в этой точке:

.

Исследуем границу области.

1. 
   Отрезок .
   

Тогда при .

Стационарная точка .

Находим значения функции на концах отрезка :

.

2. 
   Отрезок .
   

Тогда при .

Стационарная точка .

Находим значения функции на концах отрезка :

.

3. 
   Отрезок .
   

Тогда при ;

.

Стационарная точка .

Значения функции на концах отрезка уже найдены.

Выбираем из найденных наибольшее и наименьшее значения функции:

.

Ответ: .

Задача 4. Найти экстремум функции при условии .

Решение.

Составим функцию Лагранжа: .

Имеем:



Найдем

.

Значит, ничего сказать о наличии или отсутствии условного экстремум экстремума в точке пока нельзя!

Вычислим :

Значит, в точке (2,1) функция имеет условный максимум, .

Ответ: .

Задача 5.

Найти градиент скалярного поля в точке

Решение.

Найдем частные производные функции



Вычислим значения этих частных производных в точке

Получим:

Значит,

Ответ:

Задача 6. Найти

1. 
   производную скалярного поля в точке в направлении единичного вектора ;
   
2. 
   наибольшее значение производной функции в точке .
   

Решение.

1. 
   Найдем сначала градиент скалярного поля в точке .
   

Имеем:



Производная в направлении единичного вектора равна:



Заметим, что , следовательно, функция возрастает в направлении вектора , т.е. вдоль оси .

2. Наибольшее значение производной функции в точке равно модулю градиента:



Ответ: 1. ; 2.