Главная страница

Задача Параболы y x


Скачать 111.51 Kb.
НазваниеЗадача Параболы y x
Дата21.09.2021
Размер111.51 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаtasks-math-11-sch-msk-19-20 (1).pdf
ТипЗадача
#235134

Всероссийская олимпиада школьников по математике
2019–2020 уч. г.
Школьный этап
11 класс
Задача 1. Параболы y = x
2
+ ax + b и y = x
2
+ cx + d пересекают ось Ox в точке (2019; 0). Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью
Ox расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью Oy расположены симметрично относительно начала коор- динат.
Задача 2. Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и си- ний цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов?
Задача 3. На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Най- дите сторону данного квадрата.
Задача 4. У Малыша и Карлсона есть длинная шоколадка 15 × 100. Они по очереди выедают из неё квадратные куски любого размера (куски можно вы- едать только по линиям сетки). Начинает Карлсон. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 5. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Точка P — середина ребра AA
1
, точ- ка Q — середина ребра CD, точка R — середина ребра B
1
C
1
. Докажите, что
∠P B
1
Q < ∠P RQ.
Задача 6. Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство
1 + bc a
+
1 + ca b
+
1 + ab c
>
p a
2
+ 2 +
p b
2
+ 2 +
p c
2
+ 2.
Продолжительность олимпиады — 120 минут.
За полное решение каждой задачи даётся 4 балла.
Всероссийская олимпиада школьников по математике
2019–2020 уч. г.
Школьный этап
11 класс
Задача 1. Параболы y = x
2
+ ax + b и y = x
2
+ cx + d пересекают ось Ox в точке (2019; 0). Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью
Ox расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью Oy расположены симметрично относительно начала коор- динат.
Задача 2. Можно ли так раскрасить все натуральные числа в красный и си- ний цвета, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, были разных цветов, и любые два числа, отличающиеся в два раза, были разных цветов?
Задача 3. На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Най- дите сторону данного квадрата.
Задача 4. У Малыша и Карлсона есть длинная шоколадка 15 × 100. Они по очереди выедают из неё квадратные куски любого размера (куски можно вы- едать только по линиям сетки). Начинает Карлсон. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Задача 5. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Точка P — середина ребра AA
1
, точ- ка Q — середина ребра CD, точка R — середина ребра B
1
C
1
. Докажите, что
∠P B
1
Q < ∠P RQ.
Задача 6. Для положительных чисел a, b и c докажите неравенство
1 + bc a
+
1 + ca b
+
1 + ab c
>
p a
2
+ 2 +
p b
2
+ 2 +
p c
2
+ 2.
Продолжительность олимпиады — 120 минут.
За полное решение каждой задачи даётся 4 балла.


написать администратору сайта