Задача с треугольной пирамидой. Задача с треугольной пирамидой
 Скачать 252.54 Kb.
|
|
Задача с треугольной пирамидой После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки:  У треугольной пирамиды есть: – четыре вершины; – шесть рёбер (сторон); – четыре грани. Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр. Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите. Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани». Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =) Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами. Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так: Треугольная пирамида задана координатами своих вершин Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =) Пусть это будут вершины  .Требуется: Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий. Поздравляю, вы сорвали Джекпот! 1) найти длину ребра  ;2) составить уравнения стороны ;3) найти угол между рёбрами  ;4) найти площадь грани  ;5) найти угол между ребром  и плоскостью ;6) составить уравнение грани ;7) составить уравнения высоты  , опущенной из вершины  на грань ;8) вычислить длину высоты ;9) найти основание высоты  ;10) вычислить объем пирамиды; 11) составить уравнения медианы  грани  ;12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину  ;13) найти угол между плоскостями и  ;14) выполнить чертёж пирамиды  в прямоугольной декартовой системе координат;15) перекреститься левой пяткой. Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие... …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, …. Начнём-с бренчать монетами по карманам. Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами  . Выполним схематический чертёж: Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка , обычно из неё строится перпендикуляр к плоскости .А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например,  . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань  , а «особенной» точкой – вершина  . В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен.Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике. С чего начать решение задачи? Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки  . Решим элементарную задачу урока Векторы для чайников:  Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу. Как найти длину ребра пирамиды? 1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора  : Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака. Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер  или . Если же вам предложено найти длину какой-нибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам: Это всё простейшие задачи первого урока про векторы. Как составить уравнения стороны пирамиды? 2) Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой.Уравнения ребра составим по точке  (можно взять  ) и направляющему вектору  : В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям. Как найти угол между рёбрами пирамиды? 3) Найдём угол между сторонами  : Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол  между векторами. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов: Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что  (см. пункт 1).С помощью обратной функции находим сам угол:  Как найти площадь грани пирамиды? 4) Найдём площадь грани  : Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу  .Сначала найдём векторное произведение:  И вычислим его длину:  Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде. Площадь грани : Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях. Как найти угол между ребром и гранью? 5) Найдём угол  между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере № 3 п. «д» урока Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину: Используем формулу:  И с помощью арксинуса рассчитываем угол:  Как найти уравнение грани? 6) Составим уравнение плоскости . Первая мысль – использовать точки  , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали  плоскости . Поэтому уравнение грани составим по точке (можно взять либо ) и вектору нормали  : Для проверки можно подставить координаты точек  в полученное уравнение, все три точки должны «подходить».Как составить уравнения высоты пирамиды? 7) Звучит грозно, решается просто.  Уравнения высоты , опущенной из вершины на грань , составим по точке  и направляющему вектору : – по умолчанию записываем канонические уравнения.Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение. Как найти длину высоты пирамиды? 8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты найдём как расстояние от точки  до плоскости  : Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе. Как найти основание высоты пирамиды? 9) Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме: Неизвестным координатам точки  соответствует вполне конкретное значение параметра  : , или:  .Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение :  Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике. Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки:  Сурово, но идеально точно. Я проверил. Как найти объем треугольной пирамиды? 10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов:  Таким образом:  В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле  , где  – площадь грани,  – длина высоты, опущенной к этой грани.Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани  , и длину соответствующей высоты   Как составить уравнения медианы грани пирамиды? 11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника: По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины  , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки  :  Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой:  За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей:  Уравнения медианы составим по точке и направляющему вектору  : Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные.Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек  в полученные канонические уравнения.Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро? 12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую и вершину : А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость. К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости , и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам.В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина  . Один из нужных векторов уже известен:  , но, конечно же, удобнее выбрать его брата-мажора . В качестве второго вектора подходит  либо  (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти:  Уравнение плоскости составим по точке  и двум неколлинеарным векторам  : Очевидно, что координаты точек  должны «подходить» в полученное уравнение плоскости.Как найти угол между гранью и плоскостью? 13) Найдём угол между плоскостями и . Очередной типовик, рассмотренный в Примере № 13 урока Уравнение плоскости. Данные плоскости пересекаются, и косинус угла  между ними выражается формулой:  , где  – вектор нормали плоскости . Напоминаю, что вектор нормали и его длина  уже известны.Осталось снять вектор нормали:  и аккуратно провести вычисления: Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол:  От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа:  Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат? 14) Выполним точный чертёж пирамиды прямоугольной системе координат. Это проще, чем кажется.С чего начать? Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему. Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси  и 3 единицы в отрицательном направлении оси  . В плоскости  прочерчиваем пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение дорожек я пометил небольшим ромбиком: Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве.Для точки  отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве.Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина лежит в самой плоскости .В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом. Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – .Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле нашего зрения: Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства! Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра  , а вот сторона спряталась за пирамидой: К слову, невидимое нам ребро лежит в нижнем полупространстве и проходит под осями  .Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом:  То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра:  Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В похожей ситуации приходится жирно прочерчивать накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записывать дополнительные комментарии о расположении пирамиды. Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней). Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике. Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат. 15) Это пример для самостоятельного решения. В конце решения желательно Автор: Емелин Александр   Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора? |