Задачам на перезарядку
 Скачать 142.83 Kb.
|
|
К В А Н T $ 1 9 9 9 / № 4 44 r ϕ r R E Задачи с проводящими сферами А . Ч Е Р Н О У Ц А Н П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А З АДАЧИ НА ЭЛЕКТРОСТАТИКУ, В которых присутствуют одна или несколько проводящих сфер, традици- онно оказываются трудными для мно- гих абитуриентов. В особенности это относится к задачам на «перезарядку», где требуется выяснить, какие измене- ния произошли в системе при соедине- нии отдельных проводников между собой. Большие трудности вызывают задачи на энергию системы проводни- ков. Непреодолимым препятствием может оказаться и присутствие в задаче внешних зарядов (например, точеч- ных), нарушающих сферическую сим- метрию системы. Многие такие задачи решаются обыч- ными школьными методами, в первую очередь – методом суперпозиции. Од- нако для успешного применения этих методов в задачах с проводящими сфе- рами нужно хорошо понимать основ- ные свойства проводников. А именно: 1) Проводник — это тело, в котором есть свободные заряды, способные пере- мещаться по объему проводника. В ме- таллах, в частности, роль свободных за- рядов играют электроны проводимости. 2) В электростатике рассматривается состояние равновесия системы, т.е. со- стояние, в котором отсутствует направ- ленное движение зарядов (отсутствуют токи). Это означает, что напряжен- ность электростатического поля в лю- бой точке проводника должна быть равна нулю; в противном случае в окре- стности этой точки немедленно начнет- ся направленное движение свободных зарядов. 3) Все точки проводника имеют один и тот же потенциал, который называют потенциалом данного проводника. По- верхность проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность. Силовые линии поля вне проводника перпендикулярны к его поверхности. 4) Объемная плотность заряда внут- ри проводника равна нулю. Все не- совпадает с напряженностью поля то- чечного заряда, потенциалы этих полей могут различаться только константой, но, поскольку оба потенциала равны нулю на бесконечности, эта константа равна нулю. Следовательно, ϕ πε = 1 4 0 q r при r R ≥ . (1) Из условия непрерывности потенциала делаем вывод, что потенциал внутри сферы (потенциал сферы) равен ϕ ϕ πε сф = = R q R b g 1 4 0 при r R ≤ . (2) Полученные результаты для напря- женности и потенциала изображены графически на рисунке 1. Отметим, что вычисление потенциала можно начи- нать не с внешней, а с внутренней области. Дело в том, что центр сферы находится на одном и том же расстоя- нии R от всех поверхностных зарядов, создающих поле, что позволяет легко вычислить потенциал в этой точке: ϕ πε ц = = ∑ 1 4 0 ∆ q R i = 1 4 1 4 0 0 πε πε ∆ q R q R i ∑ = . (3) В данном случае такой подход выгля- дит менее естественным, но иногда он оказывается удобным. Осталось вычислить энергию сферы: W q q R = = 1 2 8 2 0 ϕ πε сф Уместно лишний раз напомнить, что энергия сферы есть не что иное, как энергия электрического поля в про- странстве вокруг сферы. Задача 2. Проводящие сферы радиу- сами R 1 и R 2 находятся на большом скомпенсированные заряды проводни- ка находятся на его поверхности. 5) Если заданы заряды или потенци- алы всех проводников системы, то мож- но найти только одно распределение зарядов на проводниках (и единствен- ное распределение поля в пространстве между проводниками), соответствую- щее этим данным. Эта так называемая теорема единственности играет важ- ную роль в электростатике. 6) Энергия уединенного проводника (энергия поля вокруг проводника) рав- на W q = 1 2 ϕ , где q – заряд и ϕ — потенциал провод- ника. Энергия системы проводников равна W q i i i N = = ∑ 1 2 1 ϕ Теперь перейдем к рассмотрению кон- кретных задач. Начнем с задачи о поле уединенной заряженной сферы. Задача 1. На уединенную проводя- щую сферу радиусом R нанесен заряд q. Найдите напряженность и потен- циал электрического поля во всех точ- ках пространства. Вычислите потен- циал сферы и ее энергию. Из соображений симметрии очевид- но, что заряд по поверхности сферы распределен равномерно. Напряжен- ность поля внутри сферы равна нулю, а вне сферы напряженность такая же, как у поля точечного заряда q, поме- щенного в центр сферы: E = 0 при r R < , E r = 1 4 0 2 πε при r R > Что касается потенциала, то его удоб- нее найти сначала во внешней области. Так как напряженность поля сферы Рис. 1 П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 45 ′ q 1 ′ q 2 R 1 R 2 q q 2 расстоянии друг от друга. Первая сфера заряжена зарядом q, вторая не заряжена. Сферы соединяют длинной тонкой проволокой. Какие заряды ока- жутся на сферах после этого? Какое количество теплоты выделится в про- цессе перезарядки? Зарядом на прово- локе пренебречь. После соединения система двух сфер вместе с проволокой будет представ- лять собой единый проводник. Значит, в результате перезарядки потенциалы сфер сравняются: 1 4 1 4 0 1 1 0 2 2 πε πε ′ = ′ q R q R , где ′ q 1 и ′ q 2 — новые заряды сфер (рис.2). Полный заряд системы в ре- зультате перезарядки не меняется, т.е. q q q = ′ + ′ 1 2 Из этих уравнений можно вычислить заряды ′ q 1 и ′ q 2 : ′ = + q R R R q 1 1 1 2 , ′ = + q R R R q 2 2 1 2 Чтобы найти выделившееся количе- ство теплоты, запишем закон сохране- ния энергии: W нач W Q кон = + , подставим сюда выражения для на- чальной и конечной энергий: W нач q R = 2 0 1 8πε , W q R кон = ′ + 1 2 0 1 8πε + ′ = + q R q R R 2 2 0 2 2 0 1 2 8 8 πε πε c h и получим искомую величину: Q = W нач W − = кон q R R R R 2 0 1 2 2 1 8πε + c h В этой задаче при вычислении потен- циалов и энергий можно было рассмат- ривать каждую сферу как изолирован- ную. Другая ситуация возникает в слу- чае вложенных друг в друга концент- рических сфер. Задача 3. Две тонкие концентричес- кие проводящие сферы радиусами R 1 и R 2 ( R 1 < R 2 ) несут на себе заряды q 1 и q 2 соответственно. Вычислите по- тенциалы сфер и энергию системы. Какой заряд останется на внутрен- ней сфере, если ее заземлить 1 (рис.3)? Как изменится при этом энергия сис- темы? Потенциал любой точки простран- ства можно найти по принципу супер- позиции — как сумму потенциала ϕ 1 r b g , создаваемого зарядами первой сферы, и потенциала ϕ 2 r b g , создаваемого вто- рой сферой. Для каждой точки во внеш- ней области (r ≥ R 2 ) оба слагаемых надо вычислять по формуле (1) – полу- чится потенциал поля точечного заря- да. Значит, потенциал внешней сферы (r = R 2 ) равен ϕ πε R q q R 2 0 1 2 2 1 4 c h = + . (4) В пространстве между сферами ( R 1 < < r < R 2 ) вклад внутренней сферы надо вычислять по формуле (1), а вклад внешней сферы — по формуле (2): ϕ πε πε r q r q R b g = + 1 4 1 4 0 1 0 2 2 Положив в этой формуле r = R 2 , мы опять получим потенциал внешней сфе- ры, а положив r = R 1 , получим ответ для потенциала внутренней сферы: ϕ πε πε R q R q R 1 0 1 1 0 2 2 1 4 1 4 c h = + . (5) Такой же потенциал будет у всех точек при r < R 1 Энергия этой системы зарядов равна W q R q R = + = 1 2 1 2 1 1 2 2 ϕ ϕ c h c h = 1 8 2 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 πε q R q q R q R + + F H GG I K JJ Первый и третий члены представляют собой собственные энергии сфер, а вто- рой член — энергию их взаимодей- ствия. После заземления внутренней сферы ее потенциал станет равным нулю. Применяя формулу (5), получим урав- нение для нового заряда этой сферы: 0 1 4 1 4 0 1 1 0 2 2 = ′ + πε πε q R q R , откуда найдем ′ = − q q R R 1 2 1 2 С помощью формулы (4) найдем те- перь новый потенциал внешней сферы: ′ = ′ + = ϕ πε R q q R 2 0 1 2 2 1 4 c h = 1 4 0 2 2 1 2 2 πε q R R R − c h Поскольку потенциал внутренней сфе- ры теперь равен нулю, энергия системы в конечном состоянии равна ′ = ′ = − W q R q R R R 1 2 1 8 2 2 0 2 2 2 1 2 2 ϕ πε c h c h Видно, что конечная энергия системы меньше начальной. Это и понятно. Уменьшение электростатической энер- гии системы равно тому количеству теплоты, которое выделилось при пере- зарядке. Задача 4. Три концентрические про- водящие сферы имеют радиусы R, 2R и 3R. Внутренняя и внешняя сферы не заряжены, заряд средней сферы равен q. В некоторый момент внутреннюю и внешнюю сферы соединяют проволо- кой (рис. 4). Какой заряд пройдет по этой проволоке, и какое при этом выделится количество теплоты? Обозначим конечный заряд внешней сферы ′ q , тогда заряд внутренней сфе- ры будет − ′ q . Применяя метод супер- позиции аналогично тому, как мы это делали в задаче 3, вычислим конечные потенциалы внутренней и внешней сфер и приравняем их друг другу. Потенци- ал внутренней сферы равен ′ = − ′ + + ′ F HG I KJ ϕ πε R q R q R q R b g 1 4 2 3 0 (для вклада от всех трех сфер можно Рис. 2 1 Заземляющая проволока проходит че- рез маленькое отверстие во внешней сфере без контакта с ней. Рис. 3 R 1 R 2 2 R R q 3 R Рис. 4 К В А Н T $ 1 9 9 9 / № 4 46 применять формулу (2) или найти по- тенциал центра – аналогично задаче 1). Потенциал внешней сферы равен ′ = ϕ 3R b g 1 4 3 3 3 0 πε − ′ + + ′ F HG I KJ = q R q R q R = 1 4 3 0 πε q R Приравнивая потенциалы, находим ′ = q q 4 Именно такой заряд и пройдет по про- волоке с внутренней сферы на вне- шнюю. Для ответа на второй вопрос вос- пользуемся законом сохранения энер- гии. Начальная энергия системы равна просто энергии средней сферы, т.е. W q R q R = = 1 2 2 1 8 2 0 2 ϕ πε b g Конечная энергия системы равна ′ = − ′ ′ + ′ + W q R q R 1 2 1 2 2 ϕ ϕ b g b g + 1 2 3 1 2 2 ′ ′ = ′ q R q R ϕ ϕ b g b g (мы учли, что потенциалы внешней и внутренней сфер равны друг другу). Для конечного потенциала средней сферы запишем ′ = ϕ 2R b g = 1 4 2 2 3 0 πε − ′ + + ′ F HG I KJ = q R q R q R 1 4 11 24 0 πε q R (для вклада внутренней сферы приме- няем формулу (1), а для вклада внеш- ней — формулу (2)). Окончательно, выделившееся количество теплоты бу- дет равно Q W W = − ′ = = 1 8 2 11 24 1 192 0 2 2 0 2 πε πε q R q R q R − F H GG I K JJ = В следующей задаче выясним, как изменяется потенциал проводящей сфе- ры в присутствии точечного заряда. Задача 5. Проводящая сфера радиу- сом R заряжена зарядом Q. Каким станет потенциал сферы, если на рас- стоянии l от ее центра поместить точечный заряд q? Разобрать случаи l > R и l < R. На первый взгляд, эта задача гораздо труднее предыдущей, поскольку при- сутствие точечного заряда нарушает сферическую симметрию, и распреде- ление заряда по поверхности сферы становится неравномерным. Действи- тельно, получить полное описание, т.е. найти распределение зарядов на сфере и поле вокруг нее, совсем не просто, хотя и возможно. Это можно сделать, например, с помощью метода электро- статических изображений, неоднократ- но описанного на страницах «Кванта» (последний раз — в №1 за 1996 г.). Однако ответить на поставленный в задаче вопрос можно довольно просто, опираясь на симметрию сферы и теоре- му единственности. Начнем со случая l > R (рис. 5). В этом случае потенциалы всех точек сферы одинаковые, и достаточно най- ти потенциал какой-нибудь одной точ- ки. Ясно, что мы выберем центр сфе- ры. Вклад зарядов, распределенных по поверхности сферы, вычисляется так же, как в задаче 1 (см. формулу (3)), и составляет 1 4 0 πε ∆ Q R i ∑ = = 1 4 0 πε ∆ Q R i ∑ = 1 4 0 πε Q R (поскольку в этом вычислении никак не использу- ется равномерность распределения за- ряда — ответ зависит только от пол- ного заряда сферы). Остается учесть вклад точечного заряда и записать ϕ ϕ R b g b g = = 0 1 4 1 4 0 0 πε πε Q R q l + . (6) Видно, что потенциал сферы при поме- щении рядом с ней точечного заряда изменился на величину потенциала, создаваемого этим зарядом в центре сферы. Во избежание недоразумений отметим, что существует единственное распределение зарядов по поверхности сферы, при котором потенциал всех внутренних точек сферы равен полу- ченному значению. Перейдем к случаю l < R (рис. 6). Так как теперь заряд находится внутри сферы, напряженность поля внутри сферы не равна нулю и потенциалы различных точек не равны друг другу. Однако и в этом случае несложно опре- делить потенциал сферы, только надо обратить внимание не на внутреннюю часть сферы, а на окружающее ее внеш- нее пространство. Оказывается, поле во внешнем пространстве не зависит от положения заряда q внутри сферы, т.е. при перемещении заряда по внутрен- ней области поле во внешней области не меняется. Это утверждение верно для полого проводника любой формы, и следует оно из теоремы единственности. Поле во внешнем пустом пространстве од- нозначно определяется следующими условиями: 1) потенциал на бесконеч- ности равен нулю; 2) потенциал на поверхности проводника принимает не- которое постоянное значение; 3) пол- ный заряд внутри этой поверхности известен, т.е. известно полное число силовых линий, начинающихся на по- верхности проводника. Существует единственное поле, удовлетворяющее этим условиям. Для сферического проводника поле во внешней области совпадает с полем точечного заряда Q + q. При этом заряд на сфере распределится следующим образом: на внутренней поверхности сферы будет находиться заряд –q, по- скольку здесь заканчиваются все сило- вые линии, начинающиеся на заряде q, а на внешней поверхности сферы рав- номерно распределится заряд Q + q. Следовательно, потенциал сферы в этом случае равен ϕ πε πε R Q R q R b g = + 1 4 1 4 0 0 (7) и не зависит от расстояния l. А теперь попробуем ответить на та- кой вопрос: чему будет равен потен- циал проводящей сферы, несущей за- ряд Q, в присутствии двух точечных зарядов q 1 и q 2 , расположенных на расстояниях l 1 и l 2 от центра сферы ( l 1 < R < l 2 )? Может показаться, что здесь нельзя применить ни одно из рассуждений, использованных в слу- чае только одного заряда. Действи- тельно, для первой части задачи было важно, что напряженность поля внутри сферы равна нулю, а для второй — что вне сферы нет зарядов. Но теорема единственности позволяет ответить на поставленный вопрос с помощью су- перпозиции рассмотренных выше двух случаев расположения заряда относи- тельно сферы. Рис. 5 q Q R l Рис. 6 q R Q + q l П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 47 q 1 q 1 q 2 q 2 Q Q 1 Q 2 + = l 1 l 2 Разобьем задачу на две части. Сна- чала рассмотрим заряд q 1 на расстоя- нии l 1 от сферы с зарядом Q 1 , а затем – заряд q 2 на расстоянии l 2 от сферы с зарядом Q 2 , при этом Q 1 + Q 2 = Q (рис.7). Потенциал сферы в первом случае определяется формулой (7), а во втором случае — формулой (6). А теперь наложим первую систему на вторую. Так как потенциалы всех то- чек сферы были постоянными в каж- дом из случаев, при наложении сис- тем они тоже будут постоянными, а заряд сферы будет равен Q. Следова- тельно, полученное при наложении распределение зарядов по поверхнос- ти сферы и будет правильным (теоре- ма единственности). Для потенциала сферы получим ϕ πε R Q R b g = + 1 4 0 1 4 1 4 0 2 2 0 1 πε πε q l q R + Этот результат естественным обра- зом обобщается на любое количество точечных зарядов. Интересно отметить, что отсюда следует своеобразная экви- валентность точечных за- рядов и заряженных сфер в задаче, где требуется оп- ределить потенциал про- водящей сферы. Посколь- ку вклад от точечного за- ряда в потенциал сферы зависит только от расстоя- ния l между этим зарядом и центром сферы, потен- циал сферы не изменится, если мы «размажем» этот заряд по поверхности воображаемой сферы радиусом l. Срав- ните, например, формулу (5) с форму- лой (6), а формулу (4) с формулой (7). Задача 6. Имеются две концентри- ческие проводящие сферы радиусами R 1 и R 2 ( R 1 < R 2 ). Между сферами на расстоянии r от центра находится точечный заряд q. Какие заряды по- явятся на сферах, если их заземлить? Выразим потенциалы сфер и прирав- няем их к нулю. Потенциал внутренней сферы равен потенциалу центра, т.е. ϕ πε R q R 1 0 1 1 1 4 c h = + 1 4 1 4 0 0 2 2 πε πε q r q R + , где q 1 и q 2 — заряды сфер (после заземления). Поле во внешнем про- странстве совпадает с полем точечного заряда q 1 + q + q 2 , поэтому потенциал внешней сферы равен ϕ πε R q q q R 2 0 1 2 2 1 4 c h = + + Теперь приравняем потенциалы обеих сфер к нулю, решим полученные урав- нения и найдем искомые заряды: q q R r R R 1 2 2 1 1 1 = − − − , q q R r R R 2 1 1 2 1 1 = − − − Упражнения 1. Имеются две концентрические прово- дящие сферы радиусами R 1 и R 2 ( R 1 < R 2 ). Внутренняя сфера заряжена зарядом q, внешняя сфера не заряжена. Каким станет потенциал внутренней сферы, если вне- шнюю сферу заземлить? Как изменится при этом энергия системы? 2. Имеются три концентрические прово- дящие сферы радиусами R 1 , R и R 2 ( R 1 < < R < R 2 ). Среднюю сферу заряжают заря- дом q, а внутреннюю и внешнюю сферы заземляют. Какие заряды появятся на этих сферах? 3. На расстоянии l от центра заземленной проводящей сферы радиусом R помещают точечный заряд q. Какой заряд появится на сфере? 4. Проводящую сферу радиусом R зазем- ляют, а на расстояниях l 1 < R и l 2 > R от ее центра помещают точечные заряды q 1 и q 2 . Какой заряд появится на сфере? 5. Имеются две концентрические прово- дящие сферы радиусами R и 3R. Между сферами на расстоянии 2R от их центра находится точечный заряд q. Какие заряды окажутся на сферах, если их соединить тонкой проволокой? Рис. 7 |