Контрольная работа Методика и практика технического эксперимента 2 курс магистратура Вариант 10. КР Кузьминова А.О., 522836 2 курс. Задание для контрольной работы
 Скачать 1.18 Mb.
|
|
ЗАДАНИЕ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Вариант № 10 Задача 1 С помощью тахометра получены следующие частоты вращения вала, об/мин (см. ниже). Необходимо выполнить статистическую обработку результатов измерений (𝑦̅, 𝑆 2 , 𝑆, 𝜐, 𝑚, 𝑃, 𝑦 𝑚𝑖𝑛 , 𝑦 𝑚ах ) и оценить случайную погрешность ( 𝑦̅ ± 𝛥𝑦̇), предположительно считая результаты измерений правильными и находящимися в пределах допуска при доверительной вероятности q = 0,05. Значение t-критерия Стьюдента выбирается из таблицы «Процентные точки распределения Стьюдента». Частоты вращения вала имеют следующие значения, об/мин: 37,56 37,83 37,04 37,16 37,19 37,66 37,35 37,89 37,13 37,27 Задача 2 Проверить гипотезу о нормальном распределении деформации металлических пластин при выборке n = 55. Деформации металлических пластин y имеют следующие значения, мм (см. ниже). Построить теоретическую и экспериментальную кривую нормального распределения деформации металлических пластин. Значение функции Лапласа выбирается из таблицы в приложении к методическим указаниям. Табличное значение 𝜒 табл 2 – критерия Пирсона при уровне значимости q = 0,05 выбирается из таблицы. Значение коэффициента h выбирается из таблицы. Деформации металлических пластин имеют следующие значения, мм: 49 38 22 39 28 45 54 61 62 42 53 15 68 16 73 14 76 39 43 89 76 84 27 34 43 29 43 50 53 26 89 25 51 11 63 34 39 84 74 69 49 75 35 83 44 15 49 51 60 73 63 32 54 54 69 Задача 3 Предположим, имеется нормально распределенная случайная величина y. Произведено N независимое наблюдение этой величины и получен следующий массив данных (см. ниже). Определить 90%-ные доверительные интервалы для истинного среднего значения 𝑌̅ и истинной дисперсии 𝑆 2 случайной величины у. Процентные точки распределения Стьюдента 𝑡 𝛼 (𝑛) и распределения 𝜒 2 (𝑛) выбираются из таблиц в приложении к методическим указаниям. Измеренные значения случайной величины: 35 36 32 31 36 38 40 44 29 34 28 36 30 36 31 33 42 40 35 ЛИСТ ДЛЯ ЗАМЕЧАНИЙ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 Статистическая обработка результатов измерений и определение случайной погрешности................................................................................................................... 5 2 Проверка нормальности распределения выходных величин, построение теоретической и экспериментальной кривой ............................................................... 8 3 Определение доверительных интервалов ............................................................... 12 Заключение .................................................................................................................. 14 Список использованных источников .......................................................................... 15 5 1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ С помощью тахометра получен ряд частот вращения вала, об/мин. Необходимо выполнить статистическую обработку результатов измерений (𝑦̅, 𝑆 2 , 𝑆, 𝜐, 𝑚, 𝑃, 𝑦 𝑚𝑖𝑛 , 𝑦 𝑚ах ) и оценить случайную погрешность (𝑦̅ ± 𝛥𝑦̇), предположительно считая результаты измерений правильными и находящимися в пределах допуска при доверительной вероятности q = 0,05. Значение t-критерия Стьюдента выбирается из таблицы «Процентные точки распределения Стьюдента». Решение: 1) Находим минимальное и максимальное значения выборки: 𝑦 𝑚𝑖𝑛 = 37,04 об/мин; 𝑦 𝑚𝑎𝑥 = 37,89 об/мин 2) Среднее арифметическое значение – это усредненный показатель всех имеющихся значений. Рассчитаем среднее значение выходной величины выборки 𝑦̅: 𝑦̅ = ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 где 𝑦 𝑖 – i-тое значение выборки, 𝑛 – число измерений. По условию задачи 𝑛 = 10. 𝑦̅ = 37,56 + 37,83 + 37,04 + 37,16 + 37,19 + 37,66 + 37,35 + 37,89 + 37,13 + 37,27 10 = 37,41 об/мин 3) Дисперсия случайной величины – это величина, которая отражает меру разброса данных вокруг среднего арифметического. Рассчитаем выборочную дисперсию 𝑆 2 при 𝑛 < 30: 𝑆 2 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦 ̅ ) 2 𝑛 − 1 𝑆 2 = (37,56 − 37,41) 2 + (37,83 − 37,41) 2 + (37,04 − 37,41) 2 + (37,16 − 37,41) 2 + (37,19 − 37,41) 2 + (37,66 − 37,41) 2 + (37,35 − 37,41) 2 + (37,89 − 37,41) 2 + (37,13 − 37,41) 2 + (37,27 − 37,41) 2 9 ≈ 0,09 (об/мин) 2 4) Среднее квадратичное отклонение – это наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её 6 математического ожидания, которое вычисляется, как квадратный корень из дисперсии. Рассчитаем среднее квадратичное отклонение 𝑆: 𝑆 = √ 𝑆 2 𝑆 = 0,3об/мин 5) Коэффициент вариации – это мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс. Измеряется в процентах. Рассчитаем коэффициент вариации 𝑣: 𝑣 = 𝑆 𝑦̅ ∙ 100 𝑣 = 0,3 37,41 ∙ 100 ≈ 0,8 6) Среднеквадратическая ошибка среднего значения – это величина отклонения выборочной средней величины от ее генерального параметра. Рассчитаем среднеквадратическую ошибку среднего значения 𝑚: 𝑚 = 𝑆 √𝑛 𝑚 = 0,3 √10 = 0,09 7) Относительная ошибка выборки – это величина, характеризующая погрешность, выраженную в процентном соотношении относительно выборочного наблюдения. Рассчитаем относительную ошибку выборки 𝑃: 𝑃 = 𝑚 𝑦̅ ∙ 100 𝑃 = 0,09 37,41 ∙ 100 = 0,24 Т.к. 𝑃 < 3% (требования для повышенной точности), результатам предположительно можно доверять. 8) Случайная погрешность отражает разброс результатов при многократном измерении одной и той же величины. Она обладает свойством предельного значения, т.е. значения случайных погрешностей при одинаковых 7 условиях не могут превышать предельного. Это предельное значение (предельная ошибка выборки) является граничным, отделяющим случайные погрешности от грубых. Рассчитаем абсолютную случайную погрешность 𝛥𝑦 при 𝑛 < 20 : 𝛥𝑦 = 𝑡 𝛼 ( 𝑛 ) ∙ 𝑚 где 𝑡 𝑞 (𝑛) – критерий Стьюдента, который выбирают по таблице исходя из уровня значимости 𝑞 и числа степеней свободы 𝑓. По условию задачи 𝑞 = 0,05, 𝑓 = 𝑛 – 1 = 9. Выбираем 𝑡 𝑞 (𝑛) = 2,26. 𝛥𝑦 = 2,26 ∙ 0,09 ≈ 0,2 9) Таким образом, интервал, в рамках которого может изменяться измеряемая величина: 𝑦̅ − 𝛥𝑦 < 𝑦 < 𝑦̅ + 𝛥𝑦 37,41 − 0,2 < 𝑦 < 37,41 + 0,2 37,21 < 𝑦 < 37,61 8 2 ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫХОДНЫХ ВЕЛИЧИН, ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ КРИВОЙ Проверить гипотезу о нормальном распределении деформации металлических пластин при выборке n = 55. Деформации металлических пластин y имеют ряд значений, мм. Построить теоретическую и экспериментальную кривую нормального распределения деформации металлических пластин. Значение функции Лапласа выбирается из таблицы в приложении к методическим указаниям. Табличное значение 𝜒 табл 2 – критерия Пирсона при уровне значимости q = 0,05 выбирается из таблицы. Значение коэффициента h выбирается из таблицы. Решение: 1) Рассчитаем среднее значение выходной величины выборки 𝑦̅: 𝑦̅ = ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 где 𝑦 𝑖 – i-тое значение выборки, 𝑛 – число измерений. По условию задачи 𝑛 = 55. Используем функцию СРЗНАЧ в Microsoft Excel: 𝑦̅ = 49,75 мм 2) Рассчитаем выборочную дисперсию 𝑆 2 при 𝑛 > 30: 𝑆 2 = ∑(𝑦 𝑖 − 𝑦̅) 2 𝑛 Используем функцию ДИСП в Microsoft Excel: 𝑆 2 = 436,53 мм 2 3) Рассчитаем среднее квадратичное отклонение 𝑆: 𝑆 = √ 𝑆 2 Используем функцию СТАНДОТКЛОН в Microsoft Excel: 𝑆 = 20,89 мм 4) Данные выборки разбиваем на 8 интервалов: (10…20), (20…30), …, (80…90). Для каждого интервала вычисляем 𝑧 1 и 𝑧 2 по формулам: 𝑧 1 = (𝑦 𝑖 н − 𝑦̅) 𝑆 𝑧 2 = (𝑦 𝑖 в − 𝑦̅) 𝑆 9 где 𝑦 𝑖 н и 𝑦 𝑖 в – соответственно нижняя и верхняя границы 𝑖-того интервала Для примера рассчитаем 𝑧 1 и 𝑧 2 для интервала (10…20): 𝑧 1 = 10 − 49,75 20,89 = −1,90 𝑧 2 = 20 − 49,75 20,89 = −1,42 5) Используя таблицу функций Лапласа, определяем функции Ф (𝑧 1 ) и Ф (𝑧 2 ) для каждого интервала: Ф (𝑧) = 1 √2𝜋 ∫ 𝑒 −𝑥 2 2 𝑑𝑥 𝑧 0 Для примера определим Ф (𝑧 1 ) и Ф (𝑧 2 ) для интервала (10…20) при 𝑧 1 = -1,9 и 𝑧 2 = -1,42: Ф (𝑧 1 ) = −0,4713 Ф (𝑧 2 ) = −0,4222 6) Вычисляем теоретические вероятности попадания случайной величины 𝑦 в каждый 𝑖-тый интервал: 𝑝 𝑖 = Ф (𝑧 2 ) − Ф (𝑧 1 ) Для примера рассчитаем 𝑝 𝑖 для интервала (10…20): 𝑝 𝑖 = −0,4222 − (−0,4713) = 0,049 7) Для каждого интервала вычисляем (𝑚 𝑖 −𝑝 𝑖 𝑛) 2 𝑝 𝑖 𝑛 Для примера рассчитаем для интервала (10…20): (𝑚 1 − 𝑝 1 𝑛) 2 𝑝 1 𝑛 = (5 − 0,049 ∙ 55) 2 0,049 ∙ 55 = 1,958 8) Заполняем таблицу: Таблица 1 – Таблица данных по интервалам № интервала 𝑦 𝑖 н 𝑦 𝑖 в 𝑚 𝑖 𝑧 1 𝑧 2 Ф (𝑧 1 ) Ф (𝑧 2 ) 𝑝 𝑖 𝑝 𝑖 𝑛 (𝑚 𝑖 − 𝑝 𝑖 𝑛) 2 (𝑚 𝑖 − 𝑝 𝑖 𝑛) 2 𝑝 𝑖 𝑛 1 10 20 5 -1,90 -1,42 -0,4713 -0,4222 0,049 2,701 5,288 1,958 2 20 30 6 -1,42 -0,95 -0,4222 -0,3289 0,093 5,132 0,754 0,147 3 30 40 8 -0,95 -0,47 -0,3289 -0,1808 0,148 8,146 0,021 0,003 4 40 50 10 -0,47 0,01 -0,1808 0,04 0,221 12,144 4,597 0,379 5 50 60 8 0,01 0,49 0,04 0,1879 0,148 8,135 0,018 0,002 6 60 70 7 0,49 0,97 0,1879 0,334 0,146 8,036 1,072 0,133 7 70 80 6 0,97 1,45 0,334 0,4265 0,093 5,088 0,833 0,164 8 80 90 5 1,45 1,93 0,4265 0,4732 0,047 2,569 5,912 2,302 10 9) Определим расчётное значение 𝑋 2 критерия Пирсона: 𝑋 расч 2 = ∑ (𝑚 𝑖 − 𝑝 𝑖 𝑛) 2 𝑝 𝑖 𝑛 𝑒 𝑙=1 Используем функцию СУММ в Microsoft Excel: 𝑋 расч 2 = 5,087 10) По выбранному уровню значимости q = 0,05 и числу степеней свободы k = l – 3 = 5 определим табличное значение Х табл 2 Пирсона: 𝑋 табл 2 = 11,1 Так как Х расч 2 < Х табл 2 , принимается, что распределение деформации металлических пластин подчиняется законам нормального распределения. 11) Построим теоретическую и экспериментальную кривую нормального распределения. Экспериментальная кривая распределения – это полигон частот. На оси абсцисс откладывается значение изучаемого свойства – усреднённые значения 𝑦 𝑖 по интервалам – 5, 15, 25, …, 95. На оси ординат – значения частот 𝑚. 12) Для построения теоретической кривой необходимы значения выборочной средней 𝑦̅ = 49,75 мм и среднего квадратического отклонения 𝑆 = 20,89 мм, которые были найдены ранее. 13) Теоретическую кривую нормального распределения строим на основе уравнения: 𝜑(𝑢) = 1 √2𝜋 𝑒 − 𝑡 2 2 где𝜑(𝑢 𝑖 ) – значение функции Лапласа, берётся из таблицы. 14) График будет характеризоваться вершиной, значение абсцисс в которой равно 𝑦̅, а значение ординат будет в точке 𝑀 𝑦 . Наибольшую высоту, соответствующую среднему значению 𝑦̅ измеряемой величины, в точке 𝑀 𝑦 , определяем по формуле: 𝑦 𝑚𝑎𝑥 = 0,4 ∙ ℎ ∙ 𝑛 𝑆 где ℎ – размер интервала. 𝑦 𝑚𝑎𝑥 = 0,4 ∙ 10 ∙ 55 20,89 = 10,53 11 15) Влево и вправо от точки 𝑀 𝑦 ординаты нормальной кривой будут симметрично уменьшаться, их вычисляем по формуле: y = ℎ ∙ 𝑦 𝑚𝑎𝑥 где 𝑘 – числовой коэффициент, который берём по таблице. 16) Каждая из ветвей симметрична кривой нормального распределения, должна строится не менее, чем по четырем точкам. Исходные данные для построения кривой нормального распределения представлены в таблице 2. Таблица 2 – Данные для построения кривой нормального распределения 𝑑 в долях 𝑆 0 0,5 1,0 1,5 2,0 ℎ 1 0,883 0,607 0,325 0,135 𝑦̅ 49,75 𝑑 ∙ 𝑆, отклонение от 𝑦̅ в мм 0 10,45 20,89 31,34 41,79 Абсцисса влево от 𝑦̅ 49,75 39,3 28,85 18,41 7,96 Абсцисса вправо от 𝑦̅ 49,75 60,19 70,64 81,09 91,53 Ордината 𝑚 10,53 9,298 6,392 3,422 1,422 Согласно правилу «трёх сигм», в диапазоне [-3S; S] лежит 99,73 % всех данных; в диапазоне [-2S; 2S] – 95,45 %; в диапазоне [-S; S] – 68,27 %. Теоретическая и экспериментальная кривые нормального распределения приведены на рисунке 1. Рисунок 1 – Теоретическая (зелёным цветом) и экспериментальная (синим цветом) кривые нормального распределения деформации металлических пластин 12 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ Предположим, имеется нормально распределенная случайная величина y. Произведено N независимое наблюдение этой величины и получен массив данных. Определить 90%-ные доверительные интервалы для истинного среднего значения 𝑌̅ и истинной дисперсии 𝑆 2 случайной величины у. Процентные точки распределения Стьюдента 𝑡 𝛼 (𝑛) и распределения 𝜒 2 (𝑛) выбираются из таблиц в приложении к методическим указаниям. Решение: 1) Рассчитаем среднее значение выходной величины выборки 𝑦̅: 𝑦̅ = ∑ 𝑦 𝑖 𝑁 где 𝑦 𝑖 – i-тое значение выборки, 𝑁 – число измерений. По условию задачи 𝑁 = 19. Используем функцию СРЗНАЧ в Microsoft Excel: 𝑦̅ = 35,05 2) Рассчитаем выборочную дисперсию 𝑆 2 при 𝑁 < 30: 𝑆 2 = ∑(𝑦 𝑖 − 𝑦̅) 2 𝑁 − 1 Используем функцию ДИСП в Microsoft Excel: 𝑆 2 = 19,39 3) Рассчитаем среднее квадратичное отклонение 𝑆: 𝑆 = √ 𝑆 2 Используем функцию СТАНДОТКЛОН в Microsoft Excel: 𝑆 = 4,40 4) Доверительный интервал – это числовая характеристика погрешности, в которой с заданной доверительной вероятностью (𝑃) находится погрешность измерения (0 < 𝑃 < 1). Например, при доверительной вероятности 𝑃 = 0,95 статистический вывод будет справедлив в 95 случаях из 100. Рассчитаем доверительный интервал для 𝑌̅ по известным выборочным величинам 𝑦̅ и S (среднее квадратичное отклонение): (𝑦̅ − 𝑆𝑡 𝛼 2 (𝑛) √𝑁 ) ≤ 𝑌̅ ≤ (𝑦̅ + 𝑆𝑡 𝛼 2 (𝑛) √𝑁 ) 13 где 𝑛 = 𝑁 − 1; 𝑡 𝛼 2 (𝑛) – критерий распределения Стьюдента, описывающего закон распределения ошибки (погрешности между генеральным и выборочным средним), берётся из таблицы «Процентные точки распределения Стьюдента». n = 19 – 1 = 18; 𝛼 = 100% – 90% = 10%, следовательно 𝛼 = 0,1. Выбираем значение 𝑡 𝛼 2 (𝑛) = 𝑡 0,05 (18) = 1,734. Таким образом: (35,05 − 4,4 ∙ 1,734 √19 ) ≤ 𝑌̅ ≤ (35,05 + 4,4 ∙ 1,734 √19 ) 33,3 ≤ 𝑌̅ ≤ 36,8 5) Рассчитаем доверительный интервал для дисперсии 𝑆 2 , соответствующий доверительной вероятности 1 − 𝛼: 𝑛𝑆 2 𝜒 𝛼 2 2 (𝑛) ≤ 𝑆 𝑦 2 ≤ 𝑛𝑆 2 𝜒 1− 𝛼 2 2 (𝑛) где критерий распределения 𝜒 2 (𝑛) берётся из таблицы. 𝜒 𝛼 2 2 (𝑛) = 𝜒 0,05 2 (18) = 28,87 𝜒 1− 𝛼 2 2 (𝑛) = 𝜒 1−0,05 2 (18) = 𝜒 0,95 2 (18) = 9,39 Таким образом: 18 ∙ 19,39 28,87 ≤ 𝑆 𝑦 2 ≤ 18 ∙ 19,39 9,39 12,09 ≤ 𝑆 𝑦 2 ≤ 37,17 14 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Целью данной контрольной работы являлось ознакомление с процессом обработки результатов многократных измерений и графического представления полученных данных, изучение законов распределения результатов измерения и их характеристики. В контрольной работе были решены три задачи на тему обработки результатов измерений. В первой задаче были найдены требуемые характеристики погрешности измерений (дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, среднеквадратическая ошибка среднего значения, относительная ошибка выборки) и оценена случайная погрешность измерений. Во второй задаче была доказана принадлежность результатов измерений нормальному распределению и построены теоретическая и экспериментальная кривые распределения вариационного ряда. В третьей задаче были определены доверительные интервалы, используемые для нахождения диапазона значений оцениваемой величины с заданной вероятностью. При выполнении данной контрольной работы были усвоены и применены математические методы расчёта и анализа данных, закреплены теоретические знания по дисциплине «Методика и практика технического эксперимента». Таким образом, задачи контрольной работы выполнены и цель достигнута. 15 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Куклин М.В. Методика и практика технического эксперимента. Методические указания и контрольные задания для магистров ОЗФО. – Северодвинск: САФУ (Севмашвтуз), 2019. – 11 с. 2. Горохов В.А. Основы экспериментальных исследований и методик их проведения. – Минск: Новое издание; М.: ИНФРА-М, 2015. – 665 с. 3. Леонтьев Н.Л. Техника статистических вычислений. – М.: Лесная промышленность, 1966. – 250 с. 4. Прокофьев Г.Ф., Микловцик Н.Ю. Основы прикладных научных исследований при создании новой техники. – Архангельск: ИД САФУ, 2014. – 171 с. |