Сам работа. Занятие в 5 классе Понятие факториала Учитель математики Т. В. Плотникова 2010 год
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Факультативное занятие в 5 классе Понятие факториала Учитель математики Т.В.Плотникова 2010 год Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи? Решение: Бабушка Папа Мама Дочь Сын 5 4 3 2 1 5*4*3*2*1=120 способов Задача №1: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: Определение: n! = 1 × 2 × 3 × … ×(n – 1)×n. Таблица факториалов
n! 1 2 6 24 120 720 5040 Пользуясь таблицей факториалов, вычислите: 4!-2 = 6! : 60 = 3! ∙ 5 = 5! : 3! = 5! +125 = 6! – 120 = 40 – 4! = 7! – 5000 = 6! + 2! = 4! : 2! +56 = Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?Задача №2: Пусть воры разбегаются поочередно. У первого – 4 варианта выбора У второго – 3 варианта выбора У третьего – 2 варианта выбора У четвертого – 1 вариант выбора По правилу умножения: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! = 24 Ответ: 24 способа. Решение: В среду пятом классе пять уроков: математика, история, русский язык, природоведение и физкультура. Сколько различных вариантов расписания на среду можно составить? Задача №3: Для математики – 5 вариантов расположения в расписании, для истории – 4 варианта, для русского языка – 3 варианта, для природоведение – 2 варианта, для физкультуры – 1 вариант. По правилу умножения получаем: Решение: 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5! = 120 Задача №4: Для удобства будем считать , что семья будет рассаживаться поочередно. У бабушки – 6 вариантов выбора стульев. У дедушки – 5 вариантов выбора стульев. У мамы – 4 варианта выбора стульев. У папы – 3 варианта выбора стульев. У дочери – 2 варианта выбора стульев. У сына – 1 вариант выбора стульев. По правилу умножения: 6×5×4×3×2×1 = 720 (дней). Решение: Ребята Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели. На ней было 6 сидений. Одно изображало льва, другое – тигра, третье – слона, четвёртое – оленя, пятое – медведя, шестое – жирафа. Ребята заспорили, кому на какого зверя садиться. Поэтому они решили перепробовать все способы. Сколько раз пришлось им покататься на карусели? Задача № 5: Решение: Пусть первым выбирает место Андрей. Он мог сесть на любого из шести зверей, поэтому у него было 6 возможностей выбора. Но когда он занял своё место, Боре оставались лишь 5 возможностей. Точно так же Вите остались 4 варианта выбора, Грише – 3, Диме – 2, а когда садился на карусель Женя, ему оставалось только одно свободное место. Значит, ребята могли сесть на карусель 6! способами. Ответ: 6!= 720. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5,7,8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге. Задача № 6: Решение: Три последние цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из 3!=6 возможных порядков, из которых только один верный. Оля может сразу набрать верный вариант, может набрать его третьим, и т.д. Наибольшее число вариантов ей придётся набрать, если правильный вариант окажется последним, т.е. шестым. В гостинице семь одноместных номеров, и семеро гостей желают в них разместиться. Найдите число возможных комбинаций: а) если гости заранее не бронировали места; б) если трое гостей зарезервировали конкретные номера. Задача № 7: Решение: а) Номеров – 7 и гостей – 7, значит, число возможных комбинаций равно 7!= 5040. б) Три гостя, зарезервировавших номера, займут свои номера. Четвёртый гость может выбрать любой из 4 свободных мест, пятый – из 3, шестой – из 2, седьмой займёт 1 оставшийся номер. Общее число способов расселения равно 4∙3∙2∙1=4!=24 Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если: а) Олег должен находиться в конце ряда; б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – к конце ряда. Задача № 8: Решение: а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но Олег должен находиться в конце ряда. Значит, число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом, т.е. 6!=720. б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце, значит, число комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, т.е. 5!=120. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым становится капитан, вторым – вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения? Задача № 9: Решение: После капитана и вратаря третий игрок может выбрать любое из оставшихся 9 мест, следующий – из 8, и т.д. Общее число способов построения равно 9!=362880 Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по следующим видам спорта: фехтование, плавание, стрельба и бег. а)Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования? б) Сколько существует вариантов прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег? в) Сколько существует вариантов прохождения видов соревнования, если известно, что первым видом должен быть бег, а последним - стрельба? Задача № 10: Решение: а) 4!=24 б) 3!=6 в) 2!=2 Задача №11: «Вороне Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов выбирать; б) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на первый вопрос? Решение: а) Если есть кусочки по очереди это значит выбирать только порядок их следования, т.е. 5!=120 б) Если бросить Лисе кусочек, то останутся 4 кусочка, которые можно съесть одним из 4!=24 способами. Но Лисе можно бросить любой из 5 кусочков, поэтому общее число вариантов рано 5*4!=120. До новых встреч с занимательными задачами |