Е. Ю. Бутырский фильтрацияобнаружение пространственновременнХ
 Скачать 0.73 Mb.
|
|
r — поле, создаваемое на приемной антенне внешними помехами (шумы моря и его поверхности, реверберация, шумы обтекания и т. д.); , n t r — пространственно-временнóй бе- лый шум, описывающий внутренние шумы тракта обнаружения сигналов; Ф(.), V(.) — детермини- рованные функции; , t a r —вектор параметров сигналов. Для того чтобы вынести решение в пользу той или иной гипотезы, выбирается алгоритм обработ- ки поля , u t r , т. е. функционал F(u) от , u t r , значения которого, сравниваются с некоторым поро- гом П. Если F u , то принимается решение о наличии сигнала, в противном случае F u — о его отсутствии. Введем случайный параметр , принимающий значение, равное нулю при гипотезе 0 H и единице при гипотезе 1 H . Тогда выражения (1) и (2) можно объединить в одно, записав: , , , u t s N V N V N n t r r . (3) Из выражения ( 3 ) следует, что задачу обнаруже- ния сигнала , ; , s t t r a r на фоне помехи , V N n t r можно рассматривать как задачу оценивания случайной величины . Как правило, в задачах измерения случайных параметров в ка- честве оценки параметра используется байесов- ская оценка с квадратичной функцией потерь [3, 4, 6, 12–15]. Тогда оптимальный алгоритм обнару- жения сигнала , ; , s t t r a r — это функционал 0 F u ,минимизирующий среднеквадратическую ошибку измерения параметра 2 F M F u , (4) где M — символ математического ожидания. Таким образом, переформулировав задачу оп- тимального обнаружения в задачу оптимального оценивания случайного параметра, можно к синте- зу оптимальных алгоритмов обнаружения приме- нить результаты теории оптимальной фильтрации случайных процессов и полей [1, 9, 10]. При нали- чии полной априорной информации о помехосиг- нальной обстановке такой подход позволяет найти также структуру функционала отношения правдо- подобия. Детальное изложение теории фильтрации слу- чайных процессов можно найти в монографиях [4, 12–16]. Однако необходимо отметить, что не- посредственное использование результатов этой теории к оценке случайного параметра невоз- можно, поскольку здесь необходимо решать зада- чу фильтрации не случайных процессов, а случай- ных пространственно-временнх полей. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ Случайные поля, как и случайные процессы, описываются функциями распределения или соот- ветствующими плотностями вероятности, мо- ментными функциями и спектральными характе- ристиками. Но при этом необходимо отметить, что для случайных полей понятие плотности вероят- ности теряет обычный смысл и его следует рас- сматривать как некоторый функционал [1, 8–11]. Полное статистическое описание поля дает харак- теристический функционал. Через его вариацион- ные производные выражают и моментные функ- ции поля. Для описания моделируемого поля не- обходимо также располагать математической мо- делью его реализаций. В принципе, в основу такой модели может быть положено описание реального физического механизма формирования поля, но из-за его сложности наибольшее распространение при моделировании случайных сигналов и полей получил феноменологический подход, позволяю- щий избежать учета второстепенных факторов ре- ального механизма формирования поля и постро- ить более простые и в тоже время более общие модели [10]. Весьма плодотворным является подход, осно- ванный на методе формирующих фильтров (ФФ), который для случайного поля представляет собой некоторую гипотетическую систему с распреде- ленными параметрами, позволяющую получить поле с требуемыми характеристиками из стан- дартного (обычно дельта-коррелированного гаус- совского) случайного поля. Хотя в простейшем случае такой фильтр может быть описан явным выражением, наибольший интерес представляют неявные модели ФФ в виде дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений. Необходимо отметить, что в отличие от линей- ных представлений поля, описывающих отобра- жение вход-выход, с помощью интегральных пре- образований, метод ФФ описывает и нелинейные модели, которые представляют значительный ин- терес, т. к. они позволяют исследовать негауссов- ские поля [10]. Для случайных полей обычно рас- сматривают представления с помощью стохасти- ческих интегралов по винеровскому полю , W t r [1, 10]. В зависимости от характера наблюдений можно выделить по крайней мере два различных подхода к определению указанных стохастических интегралов. Первый подход применим в том случае, когда пространственная область наблюдения поля фик- ФИЛЬТРАЦИЯ-ОБНАРУЖЕНИЕ... НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 125 сирована и поле наблюдается во всех точках одно- временно, что типично для задач обработки в гид- роакустике. Этот подход связан с введением со- стояний, упорядоченных по времени, и базируется на представлении поля с непрерывными простран- ственными координатами в виде элемента гиль- бертова пространства функций от r в каждый фиксированный момент времени t [6, 8, 10, 16]. Винеровское поле при этом понимается как слу- чайный процесс со значениями в гильбертовом пространстве, координаты которого в некотором ортонормированном базисе суть независимые од- номерные стандартные винеровские процессы. В соответствии с этим вводится и понятие стохас- тического интеграла. Второй подход к представлению полей стохас- тическими интегралами ориентирован на равно- правный учет изменений поля по всем координа- там и является естественным для статистических полей. Основан на введении отношения частичной упорядоченности и включает в себя наряду с обычными интегралами Лебега и стохастическими интегралами Ито и Стратоновича (интегралы пер- вого рода) интегралы второго рода. Поэтому его практическое использование в задачах обработки сигналов и моделировании каналов распростране- ния пока ограничено и наталкивается на ряд труд- ностей. В дальнейшем будем рассматривать толь- ко первый подход. В заключение рассмотрим вопрос о марковских свойствах случайных полей. Эти свойства тесно связаны с возможностью представления СДУ, по- рождающих поле, в форме уравнений состояния. Простейшая параметрическая модель без "про- странственной динамики" (нет производных по r) порождает поле, являющееся совокупностью не- коррелированных между собой марковских про- цессов, наблюдаемых в различных точках задан- ной области пространства, и, таким образом, не требует какого-либо обобщения марковости. Модель с пространственной динамикой менее тривиальна. Из-за наличия "пространственной ди- намики" состояния уже нельзя задавать независи- мо в каждой точке. Состояние в момент i t опреде- ляется функцией i x r , где i r принадлежит ис- следуемой области пространства. Например, для поля с одной пространственной координатой со- стояния задаются на прямых. В этом случае, по существу, и здесь r играет роль параметра. Наиболее общим является понятие марковского поля, в основе которого лежит трактовка понятий "будущего" и "прошлого", используемых при оп- ределении марковского свойства как внешней и внутренней областей множества относительно не- которой границы. Марковским в указанном смыс- ле является любое случайное поле, порождаемое СДУ с "пространственной динамикой" [6, 10]. Таким образом, с точки зрения математики, случайные поля , u t r эквивалентны случайным процессам со значениями в гильбертовом про- странстве функций от r, интегрируемых с квадра- том [6]. Следовательно, , u t r можно идентифи- цировать с некоторым процессом t u , но уже со значениями в пространстве функций от r. Если положить, что функции , u t r удовлетворяют условию 2 ( d , M u r r (5) то это функциональное пространство можно счи- тать гильбертовым со скалярным произведением ( , ) t t u v и нормой t u , равным соответственно ( , ) ( , ) ( , )d t t u v u t v t r r r ; ( , ) t t t u u u (6) Обобщение теории оптимальной фильтрации на бесконечномерный случай сделано в работах [1, 6, 10, 12, 16] и основано на ряде важных теорем теории случайных процессов со значениями в гильбертовых пространствах. Это позволяет син- тезировать оптимальный алгоритм обнаружения сигнала , s t r на фоне помехи и шума при адди- тивной модели их взаимодействия [1, 5, 11, 15]. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННХ СИГНАЛОВ Получим решение задачи обнаружения в слу- чае, когда в области определения сигнала действу- ет некоторая группа преобразований, а модель взаимодействия сигнала и помехи определяется детерминированным оператором . Введем в рассмотрение поле ( , ) ( , )d t u t u r r , 0 [ , ], t t (7) которое удовлетворяет стохастическому диффе- ренциальному уравнению (СДУ) d , d d , n u t V V t G w t r r , (8) где G n — спектральная плотность белого гауссов- ского шума n(t ,r); , w t r — винеровское поле, являющееся бесконечномерным аналогом стан- дартного винеровского процесса. Винеровское поле определяется через про- странственно-временной белый шум (ПВБШ) сле- дующим образом: Е. Ю. БУТЫРСКИЙ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 126 0 1 ( , ) ( , )d . t t n w t n G r r (9) Положим, что на сигнал , s t r действует группа преобразований времени G с элементом преобразования a g [7]. Тогда с учетом нормиров- ки для преобразованного сигнала можно записать 1 1 1 d [ ( ) ] ( , ) [ ( ) , ] d ( , ). a L L t a g s t s L L t a t s t r r r (10) Оператор L определяется соотношением 1 d . G L t t t , а t является решением обык- новенного дифференциального уравнения 1-го порядка (уравнения Ли) с начальным условием [7] d , d f f t 0 a f a t Преобразование времени задается соотношением, включенным в некоторое однопа- раметрическое семейство T a ' , , t T a t f t a где a — вещественный параметр преобразования. С учетом последнего уравнение (8), имеющее меру, согласованную с группой преобразования сигнала, запишется в виде 1 d ( , ) { ( , ) ( ) d ( ) ( )d ( ) d . n u t s N V N L t V N L t G w r (11) Необходимо отметить, что при условии (10) вы- ражение (7) имеет меру 1 d d L t t t . Ниже, если это не будет оговорено отдельно, в целях со- кращения записи под dt будем понимать меру 1 d t t . В соответствии с теорией фильтрации, оптимальной по среднеквадратичному критерию оценкой случайного параметра является его апостериорное математическое ожидание, вычис- ленное при условии наблюдения поля на временнóм интервале 0 0 , t t t : 0 0 0 ˆ ( ) { / ), [ , ]}. t F u M u t t t (12) Оптимальная оценка (12) является мартингалом [1], т. е. случайным процессом, который при ' t t , удовлетворяет соотношению 0 0 0 0 { ( ) / ), [ (?) , ]} ( ). t s M F u u t t t F u (13) Оптимальная оценка (13) интегрируема с квад- ратом, и поэтому, в соответствии с теоремой о представлении квадратично-интегрируемых мар- тингалов [1], для нее справедливо представление 0 0 0 ( ) ( , )d ( , )d . t t t t F u v r r r (14) где ( , ) v t r — случайное поле со стохастическим дифференциалом вида ( , ) v t r 1 ˆ d [d d ], n v u t G (15) 0 0 ˆ( , ) { ( , ) / ( , ), [ , ]}, t M t u t t t r r r (16) 1 ( , ) { [ , ] ( )}. t s N V N r (17) Здесь ˆ , t r — оптимальная оценка поля , t r . С учетом того, что , v t r является винеров- ским полем [1], найдем ядро , t r преобразо- вания в выражении (14). Для этого введем вспомо- гательный процесс z t , допускающий, как и оценка (12), представление (14): 0 0 ( ) ( , )d ( , )d . t t t z t v r r r (18) Умножим обе части выражения (16) на параметр и усредним: 0 0 { ( )} ( , )d d t t t M z t M v r r (19) Выражение (19) преобразуем следующим обра- зом. Винеровское поле , v t r определяется вы- ражением 1 ˆ d [ ]d d . n v t w G (20) С учетом формулы (20) и того, что оптимальная оценка является мартингалом, отношение (19) можно записать в виде 0 0 0 0 ˆ { ( )} ( )d d 1 ˆ { ( ) / }d d t t t t t t n M z t M M M u G r r (21) Для винеровских полей имеет место равенство ФИЛЬТРАЦИЯ-ОБНАРУЖЕНИЕ... НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 127 1 1 1 1 {d ( , )d ( , )} ( ) ( ). M v t v t t t r r r r (22) Поэтому математическое ожидание ( ) M z t представляется в виде: 0 0 1 ˆ ( ) { ( ) / }d d t t t n M z t M M u G r (23) Но выражение (23) можно записать также сле- дующим образом: 0 { ( )} { ( ) { / }} { }. t M z t M z t M u M zF (24) Сопоставляя (24) с (23) и (14), находим , t r : 1 ˆ ( , ) { ( ) / }. n M u G r (25) Но поскольку имеет место соотношение ˆ { / } M u ˆ { / , } M u , после подстановки получаем фор- мулу, определяющую , t |