Е. Ю. Бутырский фильтрацияобнаружение пространственновременнХ
 Скачать 0.73 Mb.
|
|
r через апостериор- ное математическое ожидание оценки параметра обнаружения : 0 1 ˆ ( , ) [ { / } ]. t n M u F G r (26) Полученное выражение нетрудно преобразо- вать, если подставить в него соотношение (17): 2 1 0 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) { [ ( , ( , ) 1 ) ( )] ( ) t n M s N V N V N F u M s N V N V N G r (27) Для получения выражений, определяющих тракт пространственно-временнóй обработки, найдем фигурирующие в (27) условные математи- ческие ожидания. Так как параметр 0, 1 , все высшие моменты будут выражаться через его пер- вый момент. Учитывая этот факт, можно записать 2 M V M V . (28) Далее, используя определение среднего значе- ния и формулу Байеса, можно получить выраже- ние 2 0 1 ˆ ˆ { ( )} ( )( ), t M V F u V (29) где ˆ — оптимальная по СКО-критерию оценка при гипотезе 1 H ; 1 ˆ V — оптимальная по СКО- критерию оценка 1 V при гипотезе 1 H . Аналогично находим и условное математиче- ское ожидание помехи , M V t r : 0 1 ˆ { } ( ) , t M V F u V (30) 1 0 0 ˆ { / , [ , ]; 1}. V M V u t t t (31) Определим фигурирующее в формуле (31) апо- стериорное среднее , M V t r . Для преобразо- вания (31), воспользуемся формулой Байеса. В результате имеем: { } [d / ; 1] [ 1 / ] [d / ; 0] [ 0 / ]. M V V V u P u V V u P u Откуда: 0 0 0 0 0 ˆ ˆ { } ( ) [1 ( )] , ˆ ˆ { / ; [ , ]; 0}, t t o M V F u V F u V V M V u t t t (32) 0 ˆ V — оценка помехи, вычисленная при 0 H . Под- ставим соотношения (30) и (32) в формулу (27): 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ( )[( ) ( ) ] ˆ ˆ ˆ ( )[ ( )( ) ( ) [1 ( )] ] . t n t t t t F u V F u V G F u F u V F u F u V Проведя несложные преобразования, находим окончательное выражение для , t r : 0 0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ ( )[1 ( )]( ). t t n F u F u V V G (33) Через оценки функции и V можно выразить и стохастический дифференциал (20). Для этого необходимо снова воспользоваться соотношения- ми (30) и (32) и записать 0 0 ˆ ˆ ˆ { ( ) } ( ) [1 ( )] . t t M V V F u F u V (34) С учетом выражения (34) и в силу (12) для (20) имеем: 0 0 0 ˆ [ ( )] 1 ˆ d [1 ( )] d . t t n v F u V t u G F u (35) Подставим формулы (33) и (35) в представле- ние (15) и продифференцируем его по переменной t. В результате (с учетом 1 d d t t t ) приходим к СДУ для апостериор- ного математического ожидания параметра θ: 0 d ( ) t F u Е. Ю. БУТЫРСКИЙ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 128 0 0 0 1 0 1 0 ˆ 1 [1 ( )] ˆ ˆ ˆ ( ) [1 ( )] ) d ( ) . ( d n t G t F u G V F u V t u u t F r (36) Для дискретной приемной антенны, состоящей из N элементов, имеем дискретный по пространст- ву аналог формулы (36): 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d ( )[1 ] ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) { ( ) [1 ( )] } ( )d . t t t n N t t i i i F F u F G V u F u F u V t t (37) Структурная схема тракта обнаружения про- странственно-временнх сигналов, реализующего алгоритм оценки апостериорного математического ожидания параметра , показана на рис. 1. Со- гласно этой схеме, напряжения , i u t r с выходов элементов приемной антенны подаются на два ос- новных устройства, определяющих структуру оп- тимального тракта обнаружения: подсистему про- странственно-временнóй фильтрации и подсисте- му фильтрации параметра и вынесения реше- ния. В подсистеме пространственно-временнóй фильтрации формируются оптимальные оценки 0 1 , , i i i V V . Полученные оценки совместно с реа- лизацией , i u t r обрабатываются в соответствии с алгоритмом (37). В результате чего вычисляется апостериорная оценка параметра , которая затем сравнивается с порогом П в решающем устройстве (блок ). Необходимо отметить, что процедура интегрирования при реализации алгоритмов (36) и (37) выполняется с весом 1 t , учитывающим преобразование временнóй координаты простран- ственно-временнóго сигнала. Особенностью, полученного обнаружителя яв- ляется то, что структура подсистемы фильтрации параметра и вынесения решения инвариантна относительно законов распределения сигнала и помехи. Законы распределения влияют лишь на вид подсистемы фильтрации сигнала и помехи. Таким образом, сведя задачу обнаружения к за- даче оценки параметра , удалось синтезировать тракт пространственно-временнóй обработки сиг- налов и помех с произвольными законами распре- деления. Очевидно, что при конкретизации мате- матических моделей сигналов и помех, а также функций и V структуру тракта оптимальной обработки можно упростить. ПРИЕМНИК ПРИ АДДИТИВНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СИГНАЛА И ПОМЕХИ Важным частным случаем рассмотренной выше задачи синтеза, является ситуация обнаружения, когда помеха и сигнал взаимодействуют аддитив- но: 1 , , , , i u t s t N t n t r r r r , 0,1 . (38) Используя выражение (37), нетрудно получить формулы для апостериорной вероятности оценки параметра в непрерывном и дискретном вари- антах: 0 0 0 1 2 0 2 1 d ( ) ( ) 1 ( ) ˆ ˆ ˆ ( ) ( )d . t t t n t G F u F u F u G s u V F u s t t (39) Структурная схема, реализующая алгоритм (39) отличается от общей структурной схемы только подсистемой фильтрации сигнала и помехи и сов- падает со схемой, полученной в работе [1]. При полной априорной информации о сигнале и помехе оптимизация алгоритма обнаружения в соответствии с интерпретацией задачи обнаруже- ния как задачи оценки параметра приводит к тем же результатам, что и критерий Неймана— Пирсона. Для этого положим, что вероятность на- личия сигнала в принятой реализации (вероят- ность того, что 1 ) равна s p , а, следовательно, вероятность отсутствия сигнала — 1 s p . То- гда выражение для среднеквадратической ошибки может быть записано в виде 2 0 2 0 ( ) [ ( ) 1] (d / 1) (1 ) [ ( )] (d / 0). t s t s F p F u u p F u u (40) Для определения взаимосвязи между отноше- нием правдоподобия и -оптимальным функцио- налом проварьируем выражение (40): 0 0 0 0 ( ) [ ( ) 1] [ ( )] (d / 1) (1 ) ( ) [ ( )] (d / 0), t t s t t s F p F u F u u p F u F u u где d F u — (?) вариация функционала 0 F u ; d F — среднеквадратическая ошибка измере- ний параметра d F . Учитывая определение отношения правдоподо- бия, преобразуем последнее соотношение к виду ФИЛЬТРАЦИЯ-ОБНАРУЖЕНИЕ... НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 129 0 0 0 0 0 ( ) { [ ( ) 1] [ ( )] ( ) (1 ) ( )} [ ( )] (d / ), t t t t s s F p F u F u u p F u F u u H Отсюда получаем решение уравнения d 0 F : 0 0 0 ( ) ( ) , 1 [1 ( )] (1 ) ( ) ( ) [1 ( )] s t s t s t s p u F u p u p F u u p F u (41) Следовательно, при полной априорной информа- ции о сигнале и помехе, -критерий эквивалентен критерию Неймана—Пирсона. Однако -критерий в отличие от традиционных критериев качества может быть использован не только для простой констатации факта оптимальности функционала отношения правдоподобия, но и для определения его структуры. ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ ФОП И -КРИТЕРИЕМ Покажем взаимосвязь между эволюционным уравнением апостериорного математического ожидания параметра и отношением правдопо- добия. Обозначим 1 / 1 s s p p , продифферен- цируем второе уравнение (41) по t и учтем (15). В результате получим 2 0 2 1 3 0 1 d ( ) d d [1 ( )] 1 ( )d d . [1 ( )] t t u v F u t t F u r r После подстановки в последнюю формулу выра- жений (27) и (29) для ФОП получаем следую- щее стохастическое дифференциальное уравнение: 1 0 0 0 1 d ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ [1 ( )]( )( )d ( )d . n t u u G F u u V V t t r (42) Введем функцию логарифма отношения прав- доподобия L u , тогда, обобщая результаты [1], нетрудно получить: 1 d n L G 0 1 0 2 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( )d d 2 d ( )d n V V V V G V t t w V r r (43) Дифференцируем exp u L u по времени и, учитывая (43), находим выражение для L u : 1 0 0 2 1 0 1 ˆ ˆ ˆ d ( )( )d ( )d 1 ˆ ˆ ( ) d ( )d . 2 n n L u V V t t G V t t G r r (44) Алгоритм (44) определяет структуру оптималь- ных обнаружителей произвольных сигналов и по- мех при наличии аддитивного белого шума. Общ- ность этих алгоритмов является следствием их ин- вариантности относительно конструкции марков- ских процессов и аппроксимирущих свойств по- следних. Какой бы ни была эта конструкция вид формул и входящих в них оценок обеспечивают минимум СКО измерения параметра . Из указанной инвариантности и возможности за- мены произвольного сигнала компонентой мар- ковского процесса непосредственно следует общ- ность алгоритмов. Выражению (44) можно придать другую фор- му, если учесть некоррелированность Ф и V. Для этого раскроем интегралы и приведем подобные члены. В результате получим следующее выраже- ние для отношения правдоподобия в форме инте- грала Ито: 1 0 2 2 1 0 1 ˆ ˆ d ( )d ( )d 1 ˆ ˆ [( ) ( ) ]d ( )d . 2 n n L u V t t G V t t G r r (45) Необходимо подчеркнуть, что указанная инва- риантность алгоритмов касается только их струк- туры и смысла оценок. Конкретный же вид оценок свойством инвариантности относительно стати- стических характеристик сигнала не обладает. Используя взаимосвязь между интегралами Ито и Стратоновича, выражение для логарифма отно- шения правдоподобия (45) запишем в симметри- зованной форме [3, 8, 11]: Е. Ю. БУТЫРСКИЙ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 130 1 0 2 2 1 0 1 ˆ ˆ d ( )d ( )d 1 ˆ ˆ ( )d ( )d . 2 n n L u V t t G V t t G r r (46) Здесь 2 ˆ — апостериорное математическое ожи- дание квадрата функции Ф при 0 H ; 2 0 ˆ V — апо- стериорное математическое ожидание квадрата функции V при 0 H . В случае аддитивной помехи, когда 1 , , , , , , s N t s t V N t r r r , (47) формула (46) принимает следующий вид: (?) 1 1 1 0 2 1 1 1 0 1 ˆ ˆ ˆ ( ) d d 1 ˆ ˆ ˆ [( ) ]d d . 2 n n Lu s V V u t G s V V t G r r (48) Апостериорные математические ожидания слу- чайных функций Ф, V и s являются их оценками по минимуму среднеквадратической ошибки, по- лучающимися в результате наблюдения реализа- ций , u t r при наличии и отсутствии сигнала соответственно. Отметим также, что в полученные алгоритмы при любой из ситуаций 0, 1 , входят как оценки, так и псевдооценки [3]. Согласно алгоритмам (45), (46) и (47), схемы оптимальных обнаружителей являются двухка- нальными ( 0, 1 ), при этом в каждом из ка- налов осуществляется фильтрация помехи, кото- рая затем компенсируется при помощи вычитания оценок помехи при наличии и отсутствии сигнала. Эти алгоритмы определяют оценочно-корреля- ционно-компенсационный (ОКК) метод обработки сигналов на фоне помех. Если помеха отсутствует, то ОКК-алгоритмы переходят в оценочно- корреляционные (ОК). Положим , , , V N t N t r r , ( 0 ˆ u u V ). Тогда 1 1 1 0 2 1 1 1 0 1 ˆ ˆ ˆ ( ) d d 1 ˆ ˆ ˆ [( ) ]d d . 2 n n Lu s N N u t G s N N t G |