Е. Ю. Бутырский фильтрацияобнаружение пространственновременнХ
 Скачать 0.73 Mb.
|
|
ISSN 0868–5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1, c. 00–00 0 УДК 681.519 Е. Ю. Бутырский ФИЛЬТРАЦИЯ-ОБНАРУЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННХ СИГНАЛОВ В статье рассматривается обобщенный алгоритм пространственно-временнóй фильтрации сигналов, осно- ванный на методах теории нелинейной фильтрации. Синтез алгоритмов проводится с учетом теоретико- групповых преобразований сигнала во временнóй области. Предложен метод согласования симметрии сиг- нала и средств обработки. Кл. сл.: функция, аппроксимация, динамическая система, сигнал, процесс, алгоритм, матрица, представления, симметрия, фильтрация ВВЕДЕНИЕ Совокупность операций, осуществляемая над наблюдаемыми значениями поля на апертуре при- емной антенны и над сигналами на выходе антен- ны, принято называть пространственно-временнóй обработкой сигналов. Структура трактов про- странственно-временнóй обработки (ПВО) зависит от многих факторов: целевого предназначения, ус- ловий функционирования, круга решаемых задач, элементной базой технических средств и т. д. В связи с этим техническое воплощение различ- ных средств пространственно-временнóй обработ- ки сигналов может значительно различаться меж- ду собой. Однако теорию ПВО интересует не техническое решение тех или иных задач, а фор- мальное математическое описание выполняемых операций в виде некоторых функционалов относи- тельно наблюдаемых данных. Выбор оптимальной в соответствии с выбранным критерием структуры этих функционалов и составляет основное содер- жание теории ПВО. В классических работах [ 1, 7– 9 ] по теории проверки статистических гипотез по- казано, что оптимальный по критерию Неймана— Пирсона алгоритм обработки пространственно- временнх сигналов вытекает из функционала от- ношения правдоподобия (ФОП). Несмотря на фундаментальность этого результата, его практи- ческое применение наталкивается на ряд проблем, связанных в первую очередь с тем, что вычисле- ние ФОП требует полного вероятностного описа- ния полей, воздействующих на приемную антенну. Между тем в реальных условиях информация о помехосигнальной обстановке носит, как правило, ограниченный характер и содержит значительную неопределенность о законах распределения сигна- ла и помехи. В этом случае ФОП уже нельзя ис- пользовать для синтеза структуры оптимального обнаружителя, т. к. полученный таким образом ал- горитм не будет оптимальным. Попытки допол- нить недостающую априорную информацию неко- торыми субъективными предположениями о ма- тематических моделях сигнала и помехи для на- хождения ФОП имеют практически значимый ре- зультат только для простых моделей. Как показано в целом ряде работ [1, 7, 10, 11], в этом случае бо- лее конструктивным и эффективным является подход, основанный на сведении задачи обнару- жения к задаче оценивания (фильтрации) парамет- ра обнаружения, который принимает значение 1 при наличии сигнала в принятом наблюдении и 0 — в его отсутствие. Указанный подход назван ав- торами -критерием [7, 10]. В целом, предлагая структурную схему оптимальной обработки, авто- ры оставляют за скобками, как проводится сам ал- горитм фильтрации, ограничиваясь лишь фор- мальным указанием проводимой операции. Но сама идея фильтрации параметра обнаружения (собственно, сведения задачи обнаружения к зада- че фильтрации) является очень плодотворной. В случае, когда имеется полная информация о мо- делях сигнала и помехи, такой подход идентичен определению ФОП. Существует два принципиально различных подхода к решению задач анализа выходного сиг- нала линейной системы, на вход которой действу- ет линейный стохастический сигнал. Первый подход базируется на интегральном представлении линейного стохастического сигна- ла. Известно, что класс линейных сигналов замк- нут относительно линейных (системных) преобра- зований. Поэтому выходной сигнал линейной сис- темы, на вход которой поступает линейный сиг- нал, также является линейным. Это свойство по- зволяет достаточно просто получить как прямое, так и косвенное описание сигнала на выходе ли- нейной системы [10]. ФИЛЬТРАЦИЯ-ОБНАРУЖЕНИЕ... НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 121 Второй подход использует математический аппарат марковских процессов. Предполагается, что входной сигнал и система являются независи- мо друг от друга компонентами векторных мар- ковских процессов. Вместе они представляются как компоненты более общего, векторного мар- ковского процесса, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (СДУ). Компо- нентой этого процесса является и выходной сиг- нал системы. Косвенное описание (вероятностные характеристики) получают путем решения уравне- ния Фоккера—Планка—Колмогорова или Колмо- горова—Феллера. Этот подход широко использу- ется при описании систем в пространстве состоя- ний. Описание системы в пространстве состояний с помощью СДУ является наиболее полным и дает возможность с единых позиций рассматривать за- дачи управления, обнаружения и оценивания и решать их на базе теории условных марковских процессов, разработанной Р.Л. Стратоновичем, и возможно для любых систем — непрерывных и дискретных, линейных и нелинейных, стационар- ных и нестационарных. Кроме того, описание с помощью СДУ не ограничивается рамками линей- ных сигналов [2–7, 9, 10, 12–16]. Сущность пред- ставления случайного процесса СДУ состоит в том, что он интерпретируется как выходной сиг- нал некоторой гипотетической динамической сис- темы (формирующий фильтр), возбуждаемый стандартным случайным процессом с известными характеристиками, в качестве которого обычно выбирается белый шум. Формирующий фильтр относится к моделям феноменологического типа, т.е. он отражает не реальный физический меха- низм формирования случайного процесса, а лишь его наблюдаемые статистические свойства. С развитием теории условных марковских процессов появилась возможность существенно развить теорию оптимального приема и обработки сигналов, решить задачи оптимальной фильтра- ции для весьма большого класса сигналов, кото- рые раньше принципиально не могли быть реше- ны. Это объясняется тем, что марковская теория оптимальной нелинейной фильтрации свободна от существенных ограничений, налагаемых другими теориями [1, 4, 5, 9–16]. Методы марковской теории оптимальной нели- нейной фильтрации позволяют определить опти- мальные алгоритмы обработки сигналов, когда по- следние нелинейно зависят от передаваемых со- общений, что характерно для сигналов. Налагае- мые же методами оптимальной нелинейной фильтрации ограничения на марковость совокуп- ности наблюдаемых и оцениваемых процессов не являются жесткими, т. к. многие реальные слу- чайные процессы можно с достаточной степенью точности аппроксимировать многомерными мар- ковскими процессами. К примеру, всякий гаус- совский случайный процесс, спектральная плот- ность которого представима дробно-рациональной функцией, являет собой компоненту многомерно- го марковского процесса. В частном случае, когда уравнения состояния и наблюдения линейны от- носительно вектора состояния, уравнения марков- ской теории оптимальной фильтрации вырожда- ются в соответствующие уравнения оптимальной линейной фильтрации Калмана—Бьюси. Высокая эффективность марковских моделей сигналов и помех известна из работ по марковской теории не- линейной фильтрации. На основе последней по- строена теория обнаружения сигналов, исполь- зующая понятие условного марковского процесса. Использование только марковских моделей не ог- раничивает круг решаемых задач, т. к. они позво- ляют с требуемой точностью аппроксимировать практически любой случайный процесс [1, 4, 5, 9– 16]. СОГЛАСОВАНИЕ СИММЕТРИИ СРЕДСТВ ОБРАБОТКИ С СИММЕТРИЕЙ СИГНАЛОВ Для решения задач обнаружения, обеспечения связи и телеметрии наиболее перспективным клас- сом сигналов является класс широкополосных и сложных сигналов, обладающих большой инфор- мативностью, помехоустойчивостью и позво- ляющих наиболее эффективно проводить опера- цию сжатия. Платой за эти преимущества служат более сложные математические модели и обработ- ка. К примеру, для описания узкополосных сигна- лов в основном используется пространство пара- метров, координатами которого являются ампли- туда, фаза, частота. В случае сложных и широко- полосных сигналов мы имеем дело уже с функ- циями (амплитудный и фазовый спектр, текущая частота), т. е. пространство описания становится бесконечномерным или многомерным (соответст- венно непрерывным и дискретным сигналам). Сложность описания широкополосных сигналов и стимулирует исследования, направленные на по- иск базисных функций, в координатном простран- стве которых эти сигналы можно представлять как узкополосные. Одним из таких направлений явля- ется теоретико-групповой подход, получивший свое развитие в работах [3, 7]. Для обработки широкополосных сигналов важ- ное значение имеет согласование симметрии средств обработки и симметрии сигналов. В част- ности, известно [3], что для измерения скорости движения объекта можно использовать гипербо- лические сигналы, т. к. они позволяют операцию сжатия вследствие эффекта Доплера представить в виде аддитивного сдвига. С другой стороны, при- менение этих сигналов, обладающих свойством инвариантности относительно сжатия с точностью Е. Ю. БУТЫРСКИЙ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 122 до фазы, позволяет использовать методы квадра- турной обработки на мультипликативной группе. Аналогичная задача возникает и при приеме сиг- нала с произвольной симметрией. Важным факто- ром при обработке является выбор базиса пред- ставления, при котором размерность пространства представления является минимальной, соответст- венно вычислительные и емкостные затраты при этом будут минимальны. Инвариантность сигнала относительно групповой операции и минимальное представление связаны между собой, т. к. они оп- ределяются через неприводимые представления группы. Базовой операцией при реализации оптималь- ных методов обработки является корреляционное сравнение. Для осуществления операции корреля- ционного сравнения на произвольной группе, оп- ределяющей симметрию сигнала, необходимо ис- пользовать соответствующую ей меру. С другой стороны, для преобразования параметра группы в аддитивный совершенно не обязательно приме- нять сигналы специального типа (к примеру, для измерения доплеровского параметра использова- ние гиперболических сигналов не является необ- ходимым условием). Можно поступить и по дру- гому: излучить широкополосный сигнал произ- вольного типа, а затем после его приема, применяя операцию масштабирования времени в соответст- вии с отображением, устанавливающим изомор- физм между мультипликативной и аддитивной группами преобразований (в данном случае экс- понирование), перевести параметр сжатия в сдвиг. Далее следует провести корреляционное сравне- ние по мультипликативной мере [3, 7]. В первом случае за счет формирования сигнала специально- го класса удается избежать такой трудоемкой в вычислительном отношении операции, как преоб- разование масштаба носителя сигнала. Преимуще- ством такого подхода является также то, что воз- можно провести обработку в реальном масштабе времени. Для второго случая эта задача является более сложной, в силу того что между отсчетами принимаемого сигнала кроме операций, связанных с непосредственной его обработкой, требуется проведение операции интерполирования, являю- щейся сложной в вычислительном отношении. Произвольный закон умножения в локальной однопараметрической группе (ЛОПГ) может быть приведен в соответствии с теоремой об изоморфизме к аддитивному сдвигу [3, 7]. Если обозначить через , a b c закон композиции элементов преобразования сигналов, задаваемых в ЛОПГ G, то канонический параметр a', удовлетворяющий простейшему уравнению Ли, определяется из выражения [9] 0 ' d , a a A a a где: 0 , 1 , b a b b A a а само уравнение Ли имеет вид: '/ ' ' t a t Уравнения Ли определяют операцию, устанавливающую изоморфизм между произвольной ЛОПГ и группой с аддитивным законом композиции параметров. С другой стороны, эта же операция определяет преобразование , которое необходимо произвести над носителем сигнала, чтобы групповое умножение стало сложением. Рис. 1. Согласование, основанное на формировании сигнала с заданной формой симметрии Рис. 2. Согласование, основанное на масштабировании сигнала после его приема Формирование сигнала заданной симметрии Излучение Обработка по мере 1 ( ) d t t Формирование сигнала аддитивной симметрии Излучение Масштабирование аргумента Обработка по мере 1 ( ) d t t ФИЛЬТРАЦИЯ-ОБНАРУЖЕНИЕ... НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 123 К примеру, изоморфизм между мультипли- кативной М и аддитивной А группами преобразований времени устанавливается отобра- жением, задаваемым операцией логарифми- рования (а для преобразований самого сигнала — соответственно операцией экспонирования). Операцию изоморфизма можно получить также непосредственно из оператора инфините- зимального преобразования, решая уравнение: 1 ' d . t t t Таким образом, под согласованием симметрии сигнала и средств его обработки понимается ком- плекс операций, позволяющих перевести группо- вой параметр в аддитивный и как следствие кор- реляционное сравнение на группе преобразовать в аддитивное корреляционное сравнение. Два воз- можных подхода к согласованию сигналов с выде- ленной симметрией и систем их обработки пред- ставлены соответственно на рис. 1 и 2. Задача построения классов сигналов, обладаю- щих свойством перевода групповой операции в аддитивный сдвиг, решается на основе неприво- димых представлений однопараметрических не- прерывных групп преобразований. Необходимо отметить, что класс сигналов, удовлетворяющих указанным выше свойствам, является более широ- ким, вследствие отсутствия ограничений на шири- ну полосы и сложность, чем класс инвариантных сигналов, которые являются узкополосными в со- ответствующем базисе. Сложные сигналы, обладающие свойством пе- реводить операции на группе в аддитивный сдвиг, можно получить линейной суперпозицией непри- водимых представлений, преобразованием мас- штаба аддитивных сигналов в соответствии с вы- деленной симметрией, модулированием и т. д. А именно. 1. Линейная суперпозиция неприводимых представлений 1 exp d K g j j j G s t A i t t , где: j A , j — амплитуда и частота j-го группово- го сигнала. Получаемые при этом сигналы имеют дискретный спектр в базисе неприводимых пред- ставлений группы. Сложность суммарного сигнала определяется числом K. Суммарный сигнал сохра- нил важнейшее свойство ГЧМ-сигналов, перево- дит сжатия в аддитивные сдвиги. Если суммируе- мые сигналы имеют 0.1, то мы приходим к по- нятию широкополосного сигнала в базисе Мелли- на. 2. Преобразование масштаба носителя сиг- нала (времени) 1 ( ) ( )d . s t s t t Выполнение операции масштабирования в этом случае производится иначе, чем на приемном кон- це, где она связана с операцией интерполирования. Здесь масштабирование проводится путем изме- нения интервалов времени между отсчетами в со- ответствии с выбранным законом. Масштабирова- ние сигнала перед излучением не приводит также к потере отсчетов или их избыточности, что неиз- бежно сопровождает при масштабировании в сис- теме обработки. 3. Модулирование неприводимых представле- ний группы Для получения сложных сигналов на группе преобразований можно воспользоваться процеду- рой модулирования параметров базисных функций группы. К примеру, можно ввести понятие частот- ной модуляции на группе. Аналогично можно вве- сти понятия фазовой и амплитудной модуляций в базисе неприводимых представлений произволь- ной однопараметрической группы [7]. Таким образом, оптимальные алгоритмы обра- ботки сигналов, деформация аргументов которых определяется (или с достаточной точностью может быть аппроксимирована) непрерывной группой, должны обязательно включать в себя операции со- гласования симметрии средств обработки и сим- метрии сигналов. Последнее достигается проведе- нием таких преобразований сигнала, при которых параметр группы становится аддитивным. В целом согласование симметрий средств обработки и сиг- нала позволяет сократить вычислительные затраты и повысить эффективность решения поставленных задач. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ В соответствии с математической формулиров- кой для решения задачи обнаружения сигналов на фоне помех необходимо проверить гипотезу 0 H отсутствия сигнала в принятой реализации , u t r , , ; , , u t V N t t n t r r r r (1) против альтернативной гипотезы 1 H — наличия сигнала , , ; , ; , ; , , . u t s t t N t t n t r r a r r r r (2) Е. Ю. БУТЫРСКИЙ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2012, том 22, № 1 124 Здесь , N t |