§ 2. Выпуклые множества и выпуклые
функционалы. Теорема Хана — БанахаВыпуклые множества и выпуклые тела. В основе
многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие
выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку.
Пусть
некоторое линейное
действительное пространство и
— две его точки. Назовем
замкнутым отрезком в
![](624271_html_12fc489109c66957.gif)
, соединяющим точки
и
, совокупность всех элементов вида
![](624271_html_7ec1efba7f233f6c.gif)
, где
![](624271_html_b7f3ecc6187b4686.gif)
.
Отрезок без концевых точек
и
называется
открытым отрезком.Множество
называется
выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками
и
содержит и соединяющий их отрезок.
Назовем
ядром
произвольного множества
совокупность таких его точек
, что для каждого
найдется такое число
![](624271_html_f6244846fadbdc31.gif)
, что
при
![](624271_html_4ea3380fa1b0bc2f.gif)
.
Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется
выпуклым телом.Примеры. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела.
2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке
![](624271_html_9b520d7ca62bcdf9.gif)
множество функций, удовлетворяющих условию
![](624271_html_8cbe22d18d2d3049.gif)
. Это множество выпукло; действительно, если
![](624271_html_57f7419fc44ce465.gif)
и
, то при
Упражнение. Проверить, является ли это множество выпуклым телом.3. Единичный шар
![](624271_html_d85788601302c62e.gif)
, т. е. совокупность таких точек
![](624271_html_8a81f43f4d261050.gif)
что
![](624271_html_8045eca5ba87e23d.gif)
есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек
![](624271_html_106a9878ce37940f.gif)
, удовлетворяющих условию
4. Основной параллелепипед
в
— выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле, пусть
![](624271_html_d2f79a1705afa4a8.gif)
; это означает, что
для всех
. Положим
![](624271_html_59a00a0150b09890.gif)
. Пусть
, т. е.
; тогда
откуда
![](624271_html_747b83c9950a73c2.gif)
, т. е. ядро множества
![](624271_html_889d8979838f75d6.gif)
пусто.
Упражнения. 1. Пусть
совокупность точек
из
, удовлетворяющих условию
.Доказать, что
выпуклое множество, но не выпуклое тело.2. Доказать то же самое для множества точек в
, каждая из которых ймеет лишь конечное число отличных от нуля координат.Если
выпуклое множество, то его ядро
тоже выпукло. Действительно, пусть
и
![](624271_html_df45617861e91d08.gif)
Тогда для данного
найдутся такие
и
![](624271_html_3e69b5a8f3cfa249.gif)
, что
при
, точки
и
принадлежат множеству
![](624271_html_8b488cb8182e5609.gif)
, следовательно, ему принадлежит
и точка
при
т. е.
Установим следующее важное свойство выпуклых множеств.
Теорема 1. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.Доказательство. Пусть
и все
— выпуклые множества. Пусть, далее,
и
— две произвольные точки
из ![](624271_html_8b488cb8182e5609.gif)
.Тогда отрезок, соединяющий точки
и
принадлежит каждому
![](624271_html_8dd1336e2f600a59.gif)
, а следовательно, и
![](624271_html_8b488cb8182e5609.gif)
. Таким образом,
![](624271_html_8b488cb8182e5609.gif)
действительно выпукло.
Заметим, что пересечение выпуклых тел (будучи выпуклым множеством) не обязано быть выпуклым
телом (приведите пример).
Для произвольного множества
в линейном пространстве
существует наименьшее выпуклое множество, которое его содержит; им будет пересечение всех выпуклых множеств, содержащих
(по крайней мере одно выпуклое множество, содержащее
![](624271_html_c6859f70df5071dd.gif)
, существует — это все
). Минимальное выпуклое множество, содержащее
![](624271_html_12fc489109c66957.gif)
, мы назовем
выпуклой оболочкой множества
![](624271_html_c6859f70df5071dd.gif)
.
Рассмотрим один важный пример выпуклой оболочки. Пусть
![](624271_html_f03672d9978c58bb.gif)
— точки некоторого линейного пространства. Мы скажем, что эти точки находятся
в общем положении, если векторы
![](624271_html_5b1bfd4535d70e33.gif)
линейно независимы. (Этo равносильно тому, что из
![](624271_html_e343ea8462f19b35.gif)
и
![](624271_html_a3e0bd52b6ceb7ee.gif)
вытекает, что
). Выпуклая оболочка точек
находящихся в общем положении, называется
п-мерным
симплексом, а сами точки
![](624271_html_f03672d9978c58bb.gif)
— его вершинами. Нульмерный симплекс — это одна точка. Одномерный симплекс — отрезок, двумерный — треугольник, трехмерный — тетраэдр.
Если точки
![](624271_html_f03672d9978c58bb.gif)
находятся в общем положении, то любые
![](624271_html_a1ed0aec04a3e6c7.gif)
из них (
![](624271_html_6afd3f79d75d9560.gif)
) также находятся в общем положении и, следовательно, порождают некоторый
![](624271_html_d932a6063ced1f08.gif)
- мерный симплекс, называемый
- мерной гранью данного
![](624271_html_60d906214f41eb7a.gif)
-мерного симплекса. Например,
тетраэдр с вершинами
имеет четыре двумерные грани, определяемые соответственно трой
ками вершин
шесть одномерных граней и четыре нульмерных.
Теорема 2. Симплекс с вершинами
есть совокупность всех точек, которые можно представить в виде
(1)Доказательство. Легко проверить, что совокупность
![](624271_html_ddf378f6487be284.gif)
точек вида (1) представляет собой выпуклое множество, содержащее точки
.С другой стороны, всякое выпуклое множество,
содержащее эти точки, должно содержать и точки вида (1); следовательно,
![](624271_html_ddf378f6487be284.gif)
является наименьшим выпуклым множеством, содержащим точки
.2.
Однородно-выпуклые функционалы. С понятием выпуклого множества тесно связано важное понятие однородно-выпуклого функционала. Пусть
—действительное линейное пространство. Определенный на
функционал
называется
выпуклым, если
(2) для всех
и
.Функционал
![](624271_html_b0b1d41d5835c4a7.gif)
называется
положительно-однородным, если
![](624271_html_73c143b31a918e21.gif)
для всех
![](624271_html_f74051c3b791e053.gif)
и всех
![](624271_html_908f88b0f4d51e6f.gif)
. (3)
Для выпуклого положительно-однородного функционала выполнено неравенство:
(
)Действительно
. Легко понять, что условие
(
) вместе с условием (3) обеспечивает выпуклость функционала
. Положительно-однородный выпуклый функционал мы будем называть короче
однородновыпуклым. Укажем некоторые простейшие свойства однородно- выпуклых функционалов.
Полагая в равенстве (3)
, получае
![](624271_html_bef62740eb41e475.gif)
(4)
Из (
) и (4) следует, что
для всех
(5)Это неравенство означает, в частности, что если
, то обязательно
. Таким образом, ненулевой однородно- выпуклый функционал может быть всюду неотрицателен, но если всюду
, то
.
При любом
.При
![](624271_html_908f88b0f4d51e6f.gif)
это следует из (3), при
![](624271_html_110309de1dcb8e2.gif)
— из (4); если же
![](624271_html_45b311b71abe07e6.gif)
, то в силу (5) получаем
т. е.
.Примеры. 1. Всякий линейный функционал является, очевидно, однородно-выпуклым. Однородно-выпуклым будет и функционал
, если
![](624271_html_c130a95f450caaf5.gif)
линеен.
Длина вектора в п-мерном евклидовом пространстве есть однородно-выпуклый функционал. Здесь условие (2') означает, что длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (неравенство треугольника), а (3) непосредственно следует из определения длины вектора в
.
Пусть
— пространство ограниченных последовательностей
. Функционал
— однородно-выпуклый.
3.