Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха

• Название: Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
• Дата: 04.07.2022
• Размер: 48.05 Kb.
• Имя файла: Лекция№20.docx
• Тип: Документы; #624271
• страница: 4 из 4

он разде­ляет множества и .

Из теоремы Хана — Банаха легко получается следующая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном про­странстве, имеющая многочисленные применения.

Теорема 5. Пусть и — выпуклые множества в дей­ствительном линейном пространстве , причем ядро хотя бы одного из них, скажем , не пусто и не пересекается с другим множеством. Тогда существует ненулевой линейный функционал. на , разделяющий и .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что точка 0 принадлежит ядру множества . (Иначе мы рассмотрели бы множества и где Пусть , тогда точка принадлежит ядру множества а 0 принадлежит ядру множества Так как , то 0 не принадлежит ядру и . Пусть — функционал Минковского для . Тогда поскольку . Введем линейный функционал



Он определен на одномерном пространстве, состоящем из эле­ментов вида , и удовлетворяет условию



поскольку при , и при . По теореме Хана — Банаха функционал . можно продолжить до линейного функционала , определенного на всем и удовлетворяющего на условию и . Отсю­да следует, что при и в то же время . Таким образом, разделяет множества и , а следователь­но, разделяет и {0}; но тогда разделяет множества и .

Теорема доказана.