Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
 Скачать 48.05 Kb.
|
 .Если  — искомое продолжение функционала  на  , то или, если положить  , .Теперь выберем с так, чтобы сохранить на условие подчинения (9), т.е. так, чтобы при всех и всех действительных  выполнялось неравенство  . При  оно равносильно условию или  ,a при  — условию или  Покажем, что всегда существует число  , удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть  и  — произвольные элементы из  . Тогда (10)Это вытекает из неравенства  .Положим   Из (10' в силу произвольности у' и у" следует, что  . Выбрав так, что  , определим функционал на формулой .Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9). Итак, мы показали, что если функционал определен на некотором подпространстве  и удовлетворяет на условию (9), то можно продолжить с сохранением этого условия да некоторое большее подпространство .Если в  можно выбрать счетную систему элементов  , порождающую все , то функционал на строим но индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространст (здесь  означает минимальное линейное подпространство в , содержащее  и  . Тогда каждый элемент  жойдет в некоторое и, следовательно, функционал будет продолжен на все .В общем случае (т. е. когда счетного множества, порождающего , не существует) доказательство заканчивается применением леммы Цорна. Совокупность  всевозможных продолжений функционала , удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество  обладает верхней гранью; этой верхней гранью служит функционал, определенный на объединении областей определения функционалов  и совпадающий с каждым таким на его области определения. В силу леммы Цорна во всем существует максимальный элемент  . Этот максимальный элемент и представляет собой искомый функционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем , так как иначе мы продолжили, бы его описанным выше способом с того собственного подпространства, на котором он определен, на большее подпространство, и не был бы максимальным.Теорема доказана. Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха. Неотрицательный функционал  на комплексном линейном пространстве называется однородно-выпуклым, если для всех  и всех комплексных чисел    Теорема 4а. Пусть — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , — линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве и удовлетворяющий на нем условию .Тогда существует линейный функционал  определенный на всем и удовлетворяющий условиям .Доказательство. Обозначим через  и  пространства и , рассматриваемые как действительные линейные пространства. Ясно, что — однородно-выпуклый функционал на , a  — действительный линейный функционал на , удовлетворяющий условию и, тем более, условию  .В силу теоремы 4 существует действительный линейный функционал  , определенный на всем и удовлетворяющий условиям  (11)Ясно, что  так что Определим функционал / на Ly полагая  (здесь мы пользуемся тем, что — комплексное линейное пространство, так что в нем определено умножение на комплексные числа). Непосредственная проверка показывает, что — комплексный линейный функционал на , причем при   при  Осталось показать, что  для всех . Допустим противное; тогда для некоторого имеем  . Представим комплексное число  в виде  , где  , и положим  . Тогда  что противоречит условию (11).Теорема доказана. Упражнение. Покажите, что условие конечности функционала в теореме Хана — Банаха можно опустить.5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве. Пусть — действительное линейное пространство, а  и  — два его подмножества. Говорят, что определенный на линейный функционал разделяет эти множества, если существует такое число  , что при  и  при  , т. е. Если Функционал называется строго разделяющим множества и , если выполнено строгое неравенство Следующие два утверждения непосредственно вытекают из определения разделимости. Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда он разделяет множества  и  (т. е. множества всех элементов вида  , где  , и точку 0).Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда при каждом |