|
Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
.
Если — искомое продолжение функционала на , то
или, если положить ,
.
Теперь выберем с так, чтобы сохранить на условие подчинения (9), т.е. так, чтобы при всех и всех действительных выполнялось неравенство . При оно равносильно условию
или ,
a при — условию
или
Покажем, что всегда существует число , удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и — произвольные элементы из . Тогда
(10)
Это вытекает из неравенства
.
Положим
Из (10' в силу произвольности у' и у" следует, что . Выбрав так, что , определим функционал на формулой
.
Этот функционал удовлетворяет условию подчинения (9).
Итак, мы показали, что если функционал определен на некотором подпространстве и удовлетворяет на условию (9), то можно продолжить с сохранением этого условия да некоторое большее подпространство .
Если в можно выбрать счетную систему элементов , порождающую все , то функционал на строим но индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространст
(здесь означает минимальное линейное подпространство в , содержащее и . Тогда каждый элемент жойдет в некоторое и, следовательно, функционал будет продолжен на все .
В общем случае (т. е. когда счетного множества, порождающего , не существует) доказательство заканчивается применением леммы Цорна. Совокупность всевозможных продолжений функционала , удовлетворяющих условию подчинения (9), частично упорядочена, и каждое ее линейно упорядоченное подмножество обладает верхней гранью; этой верхней гранью служит функционал, определенный на объединении областей определения функционалов и совпадающий с каждым таким на его области определения. В силу леммы Цорна во всем существует максимальный элемент . Этот максимальный элемент и представляет собой искомый функционал. Действительно, он является продолжением исходного функционала удовлетворяет условию (9) на своей области определения и задан на всем , так как иначе мы продолжили, бы его описанным выше способом с того собственного подпространства, на котором он определен, на большее подпространство, и не был бы максимальным.
Теорема доказана.
Приведем еще комплексный вариант теоремы Хана — Банаха.
Неотрицательный функционал на комплексном линейном пространстве называется однородно-выпуклым, если для всех и всех комплексных чисел
Теорема 4а. Пусть — однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , — линейный функционал, определенный на некотором линейном подпространстве и удовлетворяющий на нем условию
.
Тогда существует линейный функционал определенный на всем и удовлетворяющий условиям
.
Доказательство. Обозначим через и пространства и , рассматриваемые как действительные линейные пространства. Ясно, что — однородно-выпуклый функционал на , a — действительный линейный функционал на , удовлетворяющий условию
и, тем более, условию
.
В силу теоремы 4 существует действительный линейный функционал , определенный на всем и удовлетворяющий условиям
(11)
Ясно, что так что
Определим функционал / на Ly полагая
(здесь мы пользуемся тем, что — комплексное линейное пространство, так что в нем определено умножение на комплексные числа). Непосредственная проверка показывает, что — комплексный линейный функционал на , причем
при
при
Осталось показать, что для всех . Допустим противное; тогда для некоторого имеем . Представим комплексное число в виде , где , и положим . Тогда что противоречит условию (11).
Теорема доказана.
Упражнение. Покажите, что условие конечности функционала в теореме Хана — Банаха можно опустить.
5. Отделимость выпуклых множеств в линейном пространстве. Пусть — действительное линейное пространство, а и — два его подмножества. Говорят, что определенный на линейный функционал разделяет эти множества, если существует такое число , что
при и при , т. е. Если
Функционал называется строго разделяющим множества и , если выполнено строгое неравенство
Следующие два утверждения непосредственно вытекают из определения разделимости.
Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда он разделяет множества и (т. е. множества всех элементов вида , где , и точку 0). Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда при каждом |
|
|