Главная страница
Навигация по странице:


  • 4. Теорема Хана — Банаха.

  • Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха


    Скачать 48.05 Kb.
    Название Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
    Дата04.07.2022
    Размер48.05 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЛекция№20.docx
    ТипДокументы
    #624271
    страница2 из 4
    1   2   3   4
    Функционал Мннковского. Пусть — произвольное ли­нейное пространство и — выпуклое тело в , ядро которого содержит точку 0. Функционал (6)

    называется функционалом Минковского выпуклого тела .

    Теорема 3. Функционал Минковского (6) — однородно- выпуклый и неотрицательный. Обратно, если произволь­ный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на ли­нейном пространстве и — положительное число, то

    (7)

    есть выпуклое тело, ядром которого служит множество (содержащее точку 0). Если в (7) , то исход­ный функционал есть функционал Минковского для .

    Доказательство. Для всякого элемент при­надлежит , если достаточно велико; поэтому величина определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна. Про­верим положительную однородность функционала (6). Если и то

    (8)

    Проверим выпуклость . Пусть и произ­вольно. Выберем числа так, что ; тогда . Положим , тогда точка принадлежит отрезку с кон­цами и . В силу выпуклости этот отрезок, а значит, и точка принадлежат , откудa

    .

    Так как здесь произвольно, то



    Следовательно, удовлетворяет условиям (2') и (3), а по­тому это — неотрицательный однородно-выпуклый функционал.

    Рассмотрим теперь множество (7). Если и , то



    т. е. выпукло. Далее, пусть и , тогда

    .

    Если , то при всех если же хотя бы одно из неотрицательных чисел отлично от 0, то при



    Непосредственно из введенных определений ясно, что р слу­жит функционалом Минковского для множества

    Итак, введя понятие функционала Минковского, мы устано­вили соответствие между неотрицательными однородно-выпук- лыми функционалами и выпуклыми телами с ядром, содержа­щим точку 0.

    Примеры. 1. При имеем, очевидно,

    .

          1. Пусть — шар с центром 0 и радиусом в . Тогда



    где — длина вектора .

          1. Пусть — «слой» в пространстве после­довательностей . Тогда

    .

    Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно- выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение (но не ). Тогда из равенства (где > 0) следует, что или . Легко проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, из­менить его значение в одной точке, положив вместо . Так обычно и делают.

    Если — однородно-выпуклый, но не обязательно конеч­ный, функционал, то есть выпуклое множе­ство, но не обязательно выпуклое тело. Обратно, если — про­извольное выпуклое множество, содержащее точку 0, то для него можно определить функционал Минковского формулой (6), но при этом придется для допускать и значение

    2. Если и — однородно-выпуклые функционалы, то таковы же и при . Далее, если — произвольное семейство однородно-выпуклых функ­ционалов, то таков и функционал В частности, верхняя грань любого непустого множества линейных функционалов на L есть однородно-выпуклый функцио­нал. Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, легко показать^ что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпук­лый функционал.

    Упражнение. Множество в линейном пространстве называется поглощающим, если для всякого существует такое , что для всех . Доказать, что выпуклое множество —поглощающее в том и только том случае, если его ядро содержит точку .

    4. Теорема Хана — Банаха. Пусть — действительное ли­нейное пространство и — некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве задан некоторый линейный: функционал . Линейный функционал , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если

    для всех

    Задача о продолжении линейного функционала часто встре­чается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов^ играет следующая теорема.

    Теорема 4 (Хан —Банах). Пусть — однородно-выпук­лый функционал, определенный на действительном линейном: пространстве , и пусть — линейное подпространство в . Если — линейный функционал на , подчиненный на функ­ционалу , т. е. если на

    (9)

    то может быть продолжен до линейного функционала на подчиненного на всем .

    Доказательство. Покажем, что если , то функ­ционал можно продолжить с на некоторое большее под­пространство с сохранением условия (9). Действительно», пусть — произвольный элемент из L, не принадлежащий и пусть — подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид , где
    1   2   3   4


    написать администратору сайта