|
Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
Функционал Мннковского. Пусть — произвольное линейное пространство и — выпуклое тело в , ядро которого содержит точку 0. Функционал (6)
называется функционалом Минковского выпуклого тела .
Теорема 3. Функционал Минковского (6) — однородно- выпуклый и неотрицательный. Обратно, если — произвольный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве и — положительное число, то
(7)
есть выпуклое тело, ядром которого служит множество (содержащее точку 0). Если в (7) , то исходный функционал есть функционал Минковского для .
Доказательство. Для всякого элемент принадлежит , если достаточно велико; поэтому величина определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна. Проверим положительную однородность функционала (6). Если и то
(8)
Проверим выпуклость . Пусть и произвольно. Выберем числа так, что ; тогда . Положим , тогда точка принадлежит отрезку с концами и . В силу выпуклости этот отрезок, а значит, и точка принадлежат , откудa
.
Так как здесь произвольно, то
Следовательно, удовлетворяет условиям (2') и (3), а потому это — неотрицательный однородно-выпуклый функционал.
Рассмотрим теперь множество (7). Если и , то
т. е. выпукло. Далее, пусть и , тогда
.
Если , то при всех если же хотя бы одно из неотрицательных чисел отлично от 0, то при
Непосредственно из введенных определений ясно, что р служит функционалом Минковского для множества
Итак, введя понятие функционала Минковского, мы установили соответствие между неотрицательными однородно-выпук- лыми функционалами и выпуклыми телами с ядром, содержащим точку 0.
Примеры. 1. При имеем, очевидно,
.
Пусть — шар с центром 0 и радиусом в . Тогда
где — длина вектора .
Пусть — «слой» в пространстве последовательностей . Тогда
.
Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно- выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение (но не ). Тогда из равенства (где > 0) следует, что или . Легко проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, изменить его значение в одной точке, положив вместо . Так обычно и делают.
Если — однородно-выпуклый, но не обязательно конечный, функционал, то есть выпуклое множество, но не обязательно выпуклое тело. Обратно, если — произвольное выпуклое множество, содержащее точку 0, то для него можно определить функционал Минковского формулой (6), но при этом придется для допускать и значение
2. Если и — однородно-выпуклые функционалы, то таковы же и при . Далее, если — произвольное семейство однородно-выпуклых функционалов, то таков и функционал В частности, верхняя грань любого непустого множества линейных функционалов на L есть однородно-выпуклый функционал. Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, легко показать^ что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпуклый функционал.
Упражнение. Множество в линейном пространстве называется поглощающим, если для всякого существует такое , что для всех . Доказать, что выпуклое множество —поглощающее в том и только том случае, если его ядро содержит точку .
4. Теорема Хана — Банаха. Пусть — действительное линейное пространство и — некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве задан некоторый линейный: функционал . Линейный функционал , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если
для всех
Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов^ играет следующая теорема.
Теорема 4 (Хан —Банах). Пусть — однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном: пространстве , и пусть — линейное подпространство в . Если — линейный функционал на , подчиненный на функционалу , т. е. если на
(9)
то может быть продолжен до линейного функционала на подчиненного на всем .
Доказательство. Покажем, что если , то функционал можно продолжить с на некоторое большее подпространство с сохранением условия (9). Действительно», пусть — произвольный элемент из L, не принадлежащий и пусть — подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид , где |
|
|