Лекция№20. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана Банаха
 Скачать 48.05 Kb.
|
Функционал Мннковского. Пусть  — произвольное линейное пространство и  — выпуклое тело в , ядро которого содержит точку 0. Функционал  (6)называется функционалом Минковского выпуклого тела .Теорема 3. Функционал Минковского (6) — однородно- выпуклый и неотрицательный. Обратно, если  — произвольный однородно-выпуклый неотрицательный функционал на линейном пространстве и  — положительное число, то (7)есть выпуклое тело, ядром которого служит множество  (содержащее точку 0). Если в (7)  , то исходный функционал есть функционал Минковского для .Доказательство. Для всякого  элемент  принадлежит , если  достаточно велико; поэтому величина определяемая равенством (6), неотрицательна и конечна. Проверим положительную однородность функционала (6). Если  и  то (8)Проверим выпуклость  . Пусть  и  произвольно. Выберем числа  так, что  ; тогда  . Положим  , тогда точка  принадлежит отрезку с концами  и  . В силу выпуклости этот отрезок, а значит, и точка  принадлежат , откудa .Так как здесь произвольно, то Следовательно,  удовлетворяет условиям (2') и (3), а потому это — неотрицательный однородно-выпуклый функционал.Рассмотрим теперь множество (7). Если  и  , то т. е. выпукло. Далее, пусть  и  , тогда .Если  , то  при всех  если же хотя бы одно из неотрицательных чисел  отлично от 0, то при Непосредственно из введенных определений ясно, что р служит функционалом Минковского для множества  Итак, введя понятие функционала Минковского, мы установили соответствие между неотрицательными однородно-выпук- лыми функционалами и выпуклыми телами с ядром, содержащим точку 0. Примеры. 1. При  имеем, очевидно, .Пусть — шар с центром 0 и радиусом в  . Тогда где  — длина вектора  .Пусть — «слой»  в пространстве  последовательностей  . Тогда .Замечания. 1. Иногда удобно рассматривать однородно- выпуклые функционалы, которые могут принимать не только конечные значения, но и значение  (но не  ). Тогда из равенства  (где  > 0) следует, что  или  . Легко проверить, что в этом последнем случае можно, не нарушая однородной выпуклости функционала, изменить его значение в одной точке, положив вместо  . Так обычно и делают.Если — однородно-выпуклый, но не обязательно конечный, функционал, то есть выпуклое множество, но не обязательно выпуклое тело. Обратно, если — произвольное выпуклое множество, содержащее точку 0, то для него можно определить функционал Минковского формулой (6), но при этом придется для допускать и значение2. Если  и  — однородно-выпуклые функционалы, то таковы же  и  при  . Далее, если  — произвольное семейство однородно-выпуклых функционалов, то таков и функционал  В частности, верхняя грань  любого непустого множества линейных функционалов на L есть однородно-выпуклый функционал. Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, легко показать^ что так можно представить всякий (конечный) однородно-выпуклый функционал.Упражнение. Множество в линейном пространстве называется поглощающим, если для всякого существует такое , что  для всех  . Доказать, что выпуклое множество —поглощающее в том и только том случае, если его ядро содержит точку  .4. Теорема Хана — Банаха. Пусть — действительное линейное пространство и  — некоторое его подпространство. Пусть, далее, на подпространстве задан некоторый линейный: функционал  . Линейный функционал  , определенный на всем пространстве , называется продолжением функционала , если  для всех  Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль во всем этом круге вопросов^ играет следующая теорема. Теорема 4 (Хан —Банах). Пусть  — однородно-выпуклый функционал, определенный на действительном линейном: пространстве , и пусть — линейное подпространство в . Если — линейный функционал на , подчиненный на функционалу  , т. е. если на  (9)то может быть продолжен до линейного функционала на  подчиненного на всем .Доказательство. Покажем, что если  , то функционал можно продолжить с на некоторое большее подпространство  с сохранением условия (9). Действительно», пусть  — произвольный элемент из L, не принадлежащий и пусть — подпространство, порожденное и . Каждый элемент из имеет вид  , где |