Шпаргалки к матанализу. 0, что для любой точки Мху, для которых верно условие mm0
 Скачать 2.28 Mb.
|
|
1. Функции х переменных. Область определения. График функции х переменных. Предел функции х переменных. Переменная z называется функцией двух переменных, если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z. z=f(x,y) Областью определения функции двух переменных z=f(x,y) называется множество всех пар (x,y), для которых существует значение z. Определение. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки Мху) к точке Мху, если для каждого числа >0 найдется такое число r>0, что для любой точки Мху, для которых верно условие MM0 r также верно и условие f(x,y) A 2. Частные производные. Определение и свойства. Таблица производных. Частные производные Таблица производных 3. Производная сложной функции. 4. Производная неявной функции. 5. Производная по направлению и градиент. По направлению Градиент 6. Полный дифференциал функции х переменных. Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y) . Выберем приращения Δx итак, чтобы точка M1(x+Δx, y+Δy) также принадлежала указанной окрестности и найдем полное приращение функции в точке M(x, y). Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y). Функцию двух переменных f(x, y) называют дифференцируемой в точке M(x, y) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде Δz = A*Δx+B*Δy + α*Δx+β*Δy (1). где A и B – числа, независящие от приращений независимых аргументов Δx и Δy, α = α(Δx, Δy) и β = β(Δx, Δy) – бесконечно малые функции при Δx 0, Δy 0. Полное приращение Δz функции z = f(x, y) можно записать по формуле (1). Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке M(x, y) функции z = f(x, y) называют линейную относительно приращений Δx и Δy часть полного приращения этой функции в точке M : dz = A*Δx + B*Δy. Дифференциалами независимых переменных x и y будем называть приращения этих переменных, то есть Δx = Δx, dy = Δy. 7. Производные высших порядков функции нескольких переменных. 8. Экстремум функции двух и трёх переменных. Точка Мху) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует такая окрестность точки М , что для всех точек М) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y) < f0 (x0 ,y0). Значение z(M0 ) = f(x0 ,y0 ) – максимум функции z=f(x,y) в точке М . Точка Мху) называется точкой минимума функции, что для всех точек М) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y) ≥ f0 (x0 ,y0 ). Значение z(M0 ) = f(x0 ,y0 ) – минимум функции z=f(x,y) в точке М . Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума. необходимое условие экстремума).Если дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет в точке Мху) экстремум, то частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть z ’ x (x0 ,y0 )=0 и z ’ y (x0 ,y0 )=0. достаточное условие экстремума. Пусть в стационарно точке Мху) ив некоторой её окрестности функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Положим Аи определим величину. Тогда • если Δ > 0, то функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке Мху максимум при Аи минимум при А > 0; • если Δ > 0, то функция z = f(x,y) не имеет экстремума в точке Мху если Δ = 0, то функция z = f(x,y) может иметь экстремум в точке Мху, а может не иметь. Требуются дополнительные исследования. Рассмотрим функцию трёх переменных , внутреннюю точку её области определения и -окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке радиуса если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство ( – точка -шара, отличная от ), то функция имеет минимум в точке ; если же – то максимум. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обязательно выполняются условия 9. Определение и геометрический смысл двойного интеграла. 10. Свойства двойного интеграла. Таблица интегралов. 11. Вычисление двойного интеграла. 12. Замена переменной в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. 13. Определение и свойства тройного интеграла. Пусть в пространстве R 3 задана некоторая область Ω, ограниченная замкнутой поверхностью Пусть вина задана непрерывная функция u=f(x,y,z). Если f(x,y,z)>=0, то эту функцию можно рассматривать как плотность распределения вещества, находящегося в области Ω. Разобъем Ω произвольным образом на элементы Δ 𝓿 i с объемом v i . Внутри элемента Δ 𝓿 i возьмём произвольную точку P i (𝝽 i ;ŋ i ;𝞗 i ) и обозначим через f(P i )=f(𝝽 i ;ŋ i ;𝞗 i ) значение функции в точке Составим интегральную сумму вида (*) ∑ f(Pi) ∗ n i=1 Δ vi и будем увеличивать число элементов так, чтобы наибольший размер стремился к нулю. Если существует конечный предел интегральных сумм (*) про max| Δ 𝓿 i |->0 , то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по области Ω и обозначается ∭ f(x, y, z) Если f(x,y,z) – плотность распределения вещества в области, то тройной интеграл—масса этого вещества Если область Ω разбита на элементы плоскостями, параллельными OXY, OYZ, OZX , то Очевидно, что значение тройного интеграла не зависит от способа разбиения на и способа выбора точки (𝝽 i ;ŋ i ;𝞗 i ) 14. Вычисление тройного интеграла. Пусть в каждой точке x, y, z из Ω задана функция f(x, y, z). Пусть поверхность S, огр. Ω снизу имеет уравнение 𝑧 = 𝜓 1 (𝑥, 𝑦), а сверху 𝑧 = 𝜓 2 (𝑥, 𝑦). Пусть область D на плоскости O xy проекция Ω на Область D ограниченна линиями o снизу 𝑦 = 𝜑 1 (𝑥) o сверху 𝑦 = 𝜑 2 (𝑥) Пусть отрезок ab – проекция области D на ось O x , тогда ∬ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 ⅆ𝑧 𝛺 = ∫ ⅆ𝑥 𝑏 𝑂 ∫ ⅆ𝑦 𝜑 2 (𝑥) 𝜑 1 (𝑥) ∫ ⅆ𝑧 𝜓 2 (𝑥,𝑦) 𝜓 1(𝑥,𝑦) 15. Криволинейный интеграл города, свойства и методы вычисления. Пусть ф-я f(x, y) задана на плоской прямой линии L. Разобьем L на n штук частей длиной Пусть точка (x i ,y i ) лежит внутри участка Пусть 𝐿 𝑖 – длина Сумма ∑ 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 ⋅ 𝛥𝐿 𝑖 называется интегральной суммой ф-й f(x ,y) на линии L. Если существует конечный предел такой интегральной суммы при |𝛥𝐿 𝑖 | → 0, то он называется криволинейным интегралом первого рода фи f(x, y) на линии L и обозначается ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝐿 𝐿 , те. ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝐿 𝐿 ≝ 𝑙𝑖𝑚 max|𝛥𝐿 𝑖 |→0 ∑ 𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 ⋅ Свойства Вычисление 16. Криволинейный интеграл города, свойства и методы вычисления. Если существует конечный предел выражения 𝐴 ≈ ∑ 𝑃(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 ⋅ 𝛥𝑥 𝑖 + 𝑄(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) ⋅ 𝛥𝑦 𝑖 при максимум (𝛥𝑥 𝑖 ) → 0 и максимум (𝛥𝑦 𝑖 ) → 0, то он выражает точную работу силы вектор на L от точки M до точки N и называется криволинейным интегралом второго рода от P(x, y) и Q(x, y) по L от т. M дот и обозначается ∫ 𝑃 ⅆ𝑥 𝐿 + 𝑄 ⅆ𝑦 Свойства Вычисление 17. Формула Грина. Рассмотрим 1) ∫ ∫ 𝝏𝑷(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 ⅆ𝒙 ⅆ𝒚 𝑫 = ∫ ⅆ𝒙 𝒃 𝒂 ∫ 𝝏𝒑(𝒙, 𝒚) 𝝏𝒚 ⅆ𝒚 𝒇 𝟐 (𝒙) 𝒇 𝟏 (𝒙) = ∫ ⅆ𝒙 𝒃 𝒂 ⋅ 𝑷(𝒙, 𝒚)| 𝒇 𝟏 (𝒙) 𝒇 𝟐 (𝒙) = ∫ 𝑷(𝒙, 𝒇 𝟐 (𝒙)) ⅆ𝒙 𝒃 𝒂 − ∫ 𝑷(𝒙, 𝒇 𝟏 (𝒙)) ⅆ𝒙 𝒃 𝒂 = ∫ 𝑷 ⅆ𝒙 (𝑴𝑩𝑵) − ∫ 𝑷 ⅆ𝒙 (𝑴𝑪𝑵) = ∫ 𝑷 ⅆ𝒙 (𝑴𝑩𝑵𝑵𝑪𝑴) = ∲ 𝑷 ⅆ𝒙 Аналогично, 2)∫ ∫ 𝝏𝑸(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙 ⅆ𝒙 ⅆ𝒚 𝑫 = −∲ 𝑸 ⅆ𝒚 Вычтем из (1) (2); ∫ ∫ ( 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 ) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 𝐷 = ∲ 𝑃 ⅆ𝑥 + 𝑄 ⅆ𝑦, - первая формула Грина Вычтем из (2) (1); ∫ ∫ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 𝐷 = ∳ 𝑃 ⅆ𝑥 + 𝑄 ⅆ𝑦 Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Пусть D P(x, y) , Q(x, y) , L 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − непрерывна ∫ ∫ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 𝐷 = ∮ 𝑃 ⅆ𝑥 + 𝑄 ⅆ𝑦 ∮ 𝑃 ⅆ𝑥 + 𝑄 ⅆ𝑦 = 0 ⇔ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄 𝜕𝑥 => Если ∮ 𝑃 ⅆ𝑥 + 𝑄 ⅆ𝑦 = 0 и Если 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑄 𝜕𝑥 , хотя бы водной точке (x 0 , y 0 ) ∈ D, то пусть 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 > 0. Т.к. 𝜕𝑃 𝜕𝑦 и 𝜕𝑄 𝜕𝑥 - тоже 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 > 𝜎 > 0 ∬ ( 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ) ⅆ𝑥 ⅆ𝑦 𝐷 + > ∬ 𝜎 ⅆ𝑦 ⅆ𝑦 𝐷 + = 𝜎𝑆 𝐷 + > 0. Если 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄 𝜕𝑥 , то 𝑃(𝑥, 𝑦) ⅆ𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)ⅆ 𝐽 = ⅆ𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑈 𝜕𝑦 = 𝑄(𝑥, 𝑦). Вектор 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑖⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑗⃗ = 𝐹⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑣̅𝑈. 𝑈(𝑥, 𝑦) - потенциал 𝐹⃗(𝑥, 𝑦). ∫ 𝑃 ⅆ𝑥 (𝑁) (𝑀) + 𝑄 ⅆ𝑦 = ∫ ⅆ𝑈 (𝑁) (𝑀) (𝑥, 𝑦) = 𝑈(𝑥, 𝑦)| 𝑀 𝑁 = 𝑈(𝑁) − 𝑈(𝑀). 19. Числовые ряды частичные суммы ряда, определение сходимости и расходимости ряда. Частичная сумма числового ряда – это сумма вида 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 , где n – некоторое натуральное число. S n называют также ой частичной суммой числового ряда. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, те. Число называется суммой ряда. Ряд называется расходящимся, если бесконечная сумма равна бесконечности, или ее вообще не существует. 20. Сумма рядов и умножение ряда на число. Сумма ряда – конечный предел последовательности частичных сумм ряда. Теорема о сумме двух рядов Дано ∑ 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ (1) ∞ 𝑛=1 ∑ 𝑏 𝑛 = 𝑏 1 + 𝑏 2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 + ⋯ (Следовательно ряд ∑ ((𝑎 1 + 𝑏 1 ) + (𝑎 2 + 𝑏 2 ) + ⋯ + (𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 ) + ⋯ ) ∞ 𝑛=1 - сходится, если сходятся одновременно (1) и (2) - расходится, если расходится хотя бы один из рядов (1) и (2). Доказательство Так как (1) и (2) сходятся, то lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 1 = lim 𝑛→∞ (𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 ) = 𝑆 1 < ∞ lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 2 = lim 𝑛→∞ (𝑏 1 + 𝑏 2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 ) = 𝑆 2 < ∞ lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = lim 𝑛→∞ ((𝑎 1 + 𝑏 1 ) + (𝑎 2 + 𝑏 2 ) + ⋯ + (𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 )) = lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 1 + lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 2 = 𝑆 1 + 𝑆 2 < ∞ Следовательно, сумма рядов сходится. ЧТД. Теорема об умножении ряда на число Дано ∑ 𝑎 𝑛 (1) ∞ 𝑛=1 и ∑ 𝛾 ∙ 𝑎 𝑛 (2) ∞ 𝑛=1 , 𝛾 − константа ∞) Если (1) сходится, то (2) – сходится. Если (1) расходится, то (2) – расходится. Доказательство Обозначим : 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑆̅ 𝑛 = 𝛾 ∙ 𝑎 1 + 𝛾 ∙ 𝑎 2 + ⋯ + 𝛾 ∙ 𝑎 𝑛 = 𝛾 ∙ (𝑎 1 + ⋯ + 𝑎 𝑛 ) Если (1) сходится, то lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = 𝐵 < ∞. Тогда lim 𝑛→∞ 𝑆̅ 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝛾 ∙ 𝑆 𝑛 = 𝛾 ∙ lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = 𝛾 ∙ 𝐵 < ∞ → ряд (2) – сходится. Если ряд (1) расходится, то lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = ∞. Тогда lim 𝑛→∞ 𝑆̅ 𝑛 = 𝛾 ∙ 𝑆 𝑛 = ∞, следовательно ряд (2) – тоже расходится. ЧТД. 21. Теорема об остатке ряда. Дан ряд 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + ⋯ + 𝑎 𝑘 + 𝑎 𝑘+1 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ (1) Обозначим 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + ⋯ + 𝑎 𝑘 − 𝛿 𝑘 𝑎 𝑘+1 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ (2) − остаток ряда (1) начиная с номера Утверждение Если сходится (2), то сходится (1). Если расходится (2), то расходится (1). Обратная теорема Если сходится/расходится ряд, то сходится/расходится остаток. Доказательство Обозначим 𝑆 𝑛 = 𝛿 𝑘 + 𝑎 𝑘+1 + 𝑎 𝑘+2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ − 𝑛 − ую часть ряда (1). Пусть 𝑆̅ 𝑛 = 𝑎 𝑛+1 + 𝑎 𝑛+2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ − 𝑛 − ая частичная сумма ряда (2) 𝑆 𝑛 = 𝛿 𝑘 + 𝑆̅ 𝑛 lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = lim 𝑛→∞ (𝛿 𝑘 + 𝑆̅ 𝑛 ) = lim 𝑛→∞ 𝛿 𝑘 + lim 𝑛→∞ 𝑆̅ 𝑛 = 𝛿 𝑘 + 𝐵 < ∞ − сходится Расходится: lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = 𝛿 𝑘 + ∞ = ∞ ЧТД. 22. Необходимый признак сходимости рядов. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. ∑ Ряд сходится, тогда lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 0. Доказательство Пусть ряд сходится, следовательно lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = А < ∞. Очевидно, что lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛−1 = А < ∞. 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑆 𝑛−1 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛−1 lim 𝑛→∞ (𝑆 𝑛 − 𝑆 𝑛−1 ) = lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 𝐴 − 𝐴 = 0. ЧТД. Следствие Если lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ≠ 0 − ряд расходится. Если lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 0 − ряд может сходиться, а может расходиться. 23. Признак сравнения рядов. Даны 2 ряда 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 , 𝑎 𝑛 ≥ 0 ∀ 𝑛 (1) 𝑏 1 + 𝑏 2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑏 𝑛 ∞ 𝑛=1 , 𝑏 𝑛 ≥ 0 ∀ 𝑛 (Пусть 𝑎 𝑛 ≥ 𝑏 𝑛 ∀ 𝑛, тогда если ряд (1) сходится, то ряд (2) сходится. Доказательство Если ряд (1) сходится, то lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 1 = 𝑆 1 < ∞. Так как 𝑎 𝑛 ≥ 𝑏 𝑛 ∀ 𝑛, тогда 𝑆 𝑛 1 ≥ 𝑆 𝑛 2 𝑆 𝑛 2 − положительная возрастающая последовательность, причем 𝑆 𝑛 2 ≤ 𝑆 𝑛 1 ≤ 𝑆 1 < ∞, то есть 𝑆 𝑛 2 − ограниченная. ∃ lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 2 = 𝑆 2 < ∞ => ряд (2) сходится. Признак Даламбера. ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 (1)𝑎 𝑛 ≥ 0 ∀ Пусть lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 = 𝐷. Если D < 1, то ряд (1) сходится. Если D > 1, то ряд (1) расходится. Если D = 1, то признак не работает. Доказательство D < 1 lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 = 𝐷 => ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁(𝜀): ∀𝑛 > 𝑁 => | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 − 𝐷| < 𝜀 => −𝜀 < 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 − 𝐷 < 𝜀 Пусть q > 0 – число : D < q < 1 Пусть 𝜀 = 𝑞 − 𝐷 > 0 Начиная ст. е. 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 < 𝑞, 𝑎 𝑛+2 𝑎 𝑛 < 𝑞, … , 𝑎 𝑛+𝑘+1 𝑎 𝑛+𝑘 < 𝑞. 𝑎 𝑁+1 < 𝑎 𝑁 ∙ 𝑞, 𝑎 𝑁+2 < 𝑎 𝑁+1 ∙ 𝑞 < 𝑎 𝑁 ∙ 𝑞 2 , … , 𝑎 𝑁+𝑘+1 < 𝑎 𝑁 ∙ Рассмотрим 3 ряда 1) 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑁−1 + 𝑎 𝑁 + 𝑎 𝑁+1 + ⋯ + 𝑎 𝑁+𝑘+1 + ⋯ 2) 𝑎 𝑁 + 𝑎 𝑁+1 + ⋯ + 𝑎 𝑁+𝑘+1 + ⋯ 3) 𝑎 𝑁 + 𝑎 𝑁 ∙ 𝑞 + ⋯ + 𝑎 𝑛 ∙ 𝑞 𝑘 + ⋯ = 𝑎 𝑁 (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + ⋯ + 𝑞 𝑘 + ⋯ ) – бесконечная сумма убывающей геометрической прогрессии, которая сходится, умноженная на положительное число 𝑎 𝑁 . Этот ряд тоже сходится, следовательно сходится и ряд 3. Так как ряд 3 > ряда 2, то ряд 2 сходится по признаку сравнения. Ряд 2 – сходящийся остаток ряда 1, поэтому ряд 1 также сходится. D > 1 Пусть 𝜀 = 𝐷 − 1; 0 < 𝜀 < 1 . Пусть lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 = 𝐷 => ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑁(𝜀): ∀ 𝑛 > 𝑁 => | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 − 𝐷| < 𝜀 => −𝜀 < 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 − 𝐷 < 𝜀 Начиная с N : −𝜀 < 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 − 𝐷 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 − 𝐷 > −(𝐷 − 1) 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 > 1 𝑎 𝑛+1 > Члены ряда возрастают и lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ≠ 0 => по необходимому следствия ряд (1) расходится. ЧТД. 25. Радикальный признак Коши. Для положительного ряда ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 , 𝑎 𝑛 ≥ 0 ∀ 𝑛 (1) существует предел lim 𝑛→∞ √𝑎 𝑛 𝑛 = 𝐿, тогда - если L > 1, то ряд (1) расходится, причем lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = ∞ - если L < 1, то ряд (1) сходится - если L = 1, то признак не работает. Доказательство Ⅰ Рассмотрим случай L < 1. Выберем окрестность U точки L, не содержащую 1 (рис. 2). Для этого возьмем число q такое, что L < q < 1 и положим 𝜀 = q – L √𝑎 𝑛 𝑛 < 𝑞, начиная с 𝑁. 1) 𝑎 1 + 𝑎 2 + ⋯ + 𝑎 𝑁 + 𝑎 𝑁+1 + ⋯ + 𝑎 𝑁+𝑘 + ⋯ 2) 𝑎 𝑁 + 𝑎 𝑁+1 + ⋯ + 𝑎 𝑁+𝑘 + ⋯ 3) 𝑞 𝑁 + 𝑞 𝑁+1 + ⋯ + 𝑞 𝑁+𝑘 + ⋯ Ряд 3 сходится => ряд 3 > ряда 2 => по признаку сравнения ряд 2 сходится. Ряд 2 – сходящийся остаток ряда 1 => ряд 1 – сходится. Ⅱ В случае L > 1 (L конечно) также выбираем число q между 1 и L, 1 < q < L и образуем окрестность U точки L, не содержащую 1, выбрав q в качестве левого конца окрестности (рис. 3). Тогда 𝜀 = L – q. По условию, lim 𝑛→∞ √𝑎 𝑛 𝑛 = 𝐿, поэтому для выбранного 𝜀 > 0 найдется такой номер N, что n > N => √𝑎 𝑛 𝑛 > 𝑞 = > 𝑎 𝑛 > Поскольку q > 1, то lim 𝑛→∞ 𝑞 𝑛 = ∞, и тогда lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = ∞. Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, ряд расходится. ЧТД. 26. Интегральный признак Коши. Рассмотри площадь S 2 𝑠 2 = 1 ∙ 𝑎 2 + ⋯ + 1 ∙ 𝑎 𝑛 + 1 ∙ 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 1 + ⋯ + 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛+1 = 𝑆 𝑛+1 − Пусть 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝑛+1 Из геометрических представлений видно, что 𝑆 2 < 𝑆 < 𝑆 1 1) если интеграл сходится, то lim 𝑛→∞ ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝑛+1 1 = 𝜎 < +∞ → 𝑆 < 𝜎 → 𝑆 1 > 𝑆 < 𝜎 → → 𝑆 1 − огр. числом Возрастает монотонно → 𝑆 1 ≡ 𝑆 𝑛 имеет предел, этот предел конечен → ряд (1) тоже сходится. 2) если интеграл расходится, то lim 𝑛→∞ ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝑛+1 1 = ∞ 27. Обобщённый гармонический ряд. Ряд ∑ 1 𝑛 2 ∞ 𝑛=1 называется обобщённым гармоническим рядом. Рассмотрим ∫ 1 𝑥 2 ⅆ𝑥 ∞ 1 = lim 𝑁→∞ ∫ 𝑥 −2 ⅆ𝑥 𝑁 1 = lim 𝑁→∞ [ 𝑥 −𝛼+1 −𝛼+1 | 𝑁 1 , если 𝛼 ≠ 1 ln 𝑥 | 𝑁 1 , если 𝛼 = 1 ] = = lim 𝑁→∞ [ 1 𝛼 − 1 < ∞, 𝛼 > интеграл сходится < интеграл расходится = интеграл расходится Обобщённый гармонический ряд сходится при 𝛼 > 1 и расходится при 𝛼 ≤ 1. 28. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Понятие абсолютной и условной сходимости знакочередующихся рядов. Ряд вида 𝑎 1 − 𝑎 2 + 𝑎 3 − 𝑎 4 + ⋯ + (−1) 𝑛+1 𝑎 𝑛 + ⋯ = называется знакочередующимся. Теорема Лейбница если 𝑎 1 ≥ 𝑎 2 ≥ 𝑎 3 ≥ ⋯ и если lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 0, то знакочеред. ряд сходится. Доказательство Рассм. сумму чётного числа членов ряда ( 𝑎 1 − 𝑎 2 ≥ 0 ) + ( 𝑎 3 − 𝑎 4 ≥ 0 ) + ⋯ + ( 𝑎 2𝑚−1 − 𝑎 2𝑚 ≥ 0 ) = 𝑆 2𝑚 > 0 Запишем эту же сумму иначе 𝑎 1 − (𝑎 2 − 𝑎 3 ) − (𝑎 4 − 𝑎 5 ) − ⋯ − (𝑎 2𝑚−2 − 𝑎 2𝑚−1 ) − 𝑎 2𝑚 > 0 Т.к 𝑎 1 > (𝑎 2 − 𝑎 3 ) + (𝑎 4 − 𝑎 5 ) + ⋯ + (𝑎 2𝑚−2 − 𝑎 2𝑚−1 ) + 𝑎 2𝑚 , то последовательность 𝑆 2𝑚 ограниченная и положительная возрастающая. 𝑆 2𝑚 имеет предел неравный бесконечности, те lim 𝑛→∞ 𝑆 2𝑚 = 𝑆 < ∞ Докажем, что к этому же пределу стремится и последовательность нечётного числа членов знакочередующегося ряда lim 𝑚→∞ 𝑆 2𝑚+1 = lim 𝑚→∞ (𝑆 2𝑚 + 𝑎 2𝑚+1 ) = lim 𝑚→∞ 𝑆 2𝑚+1 + lim 𝑚→∞ 𝑎 2𝑚+1 = 𝑆 + 0 = 𝑆 Замечание если ряд составленный из абсолютных значений знакочередующегося ряда сходится, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно если знакочередующийся ряд не сходится абсолютно, а сходится, то его называют условно сходящимся. 29. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Частным случаем функционального ряда является степенной ряд 𝑎 0 + 𝑎 1 (𝑡 − 𝑡 0 ) + 𝑎 2 (𝑡 − 𝑡 0 ) 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 (𝑡 − 𝑡 0 ) 𝑛 + ⋯ Замена 𝑥 = (𝑡 − 𝑡 0 ) 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ∞ 𝑛=0 (1) Здесь 𝑎 𝑛 - числа. При каждом 𝑥 степенной ряд (1) порождает числовой ряд, который может сходится или расходится. Теорема Абеля: пусть дан степенной ряд (1) 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ ; пусть этот ряд сходится в точке 𝑥 0 . Тогда ряд (1) сходится в любой точке 𝑥 такой, что |𝑥| < Если ряд (1) расходится в точке 𝑥 0 , то ряд (1) расходится в ∀𝑥 ∶ |𝑥| > Доказательство т.к ряд (1) сходится в точке 𝑥 0 , то 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 → ∞ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0 Это значит, что существует М такое, что все члены ряда |𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 | < 𝑀 ∀𝑛 Запишем ряд (1) 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 0 ∙ 𝑥 𝑥 0 + 𝑎 2 𝑥 0 2 ( 𝑥 𝑥 0 ) 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 0 𝑛 ( 𝑥 𝑥 0 ) 𝑛 + ⋯ (2) И рассм. |𝑎 0 | + |𝑎 1 𝑥 0 | ∙ | 𝑥 𝑥 0 | + |𝑎 2 𝑥 0 2 | ∙ | 𝑥 𝑥 0 | 2 + ⋯ + |𝑎 𝑛 𝑥 0 𝑛 | ∙ | 𝑥 𝑥 0 | 𝑛 + ⋯ (3) рассм. ещё ряд 𝑀 + 𝑀 ∙ | 𝑥 𝑥 0 | + 𝑀 ∙ | 𝑥 𝑥 0 | 2 + ⋯ + 𝑀 ∙ | 𝑥 𝑥 0 | 𝑛 + ⋯ = 𝑀(1 + 𝑔 + 𝑔 2 + ⋯ + 𝑔 𝑛 + ⋯ ) (4) где 𝑔 = | 𝑥 𝑥 0 | < 1 Ряд (4) сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Ряд (3) сходится по признаку сравнения, но ряд (3) – это абсолютные значения ряда (2), следовательно, ряд (2) сходится абсолютно. Пусть |𝑥| > |𝑥 0 | и ряд (1) расходится Доказательство предположим, что ряд (1) всё-таки сходится в точке 𝑥. Тогда он сходится в любой точке |𝑥| < |𝑥 0 |, а это противоречит условию теоремы. Следствие теорема Абеля позволяет определить интервал, в котором ряд (1) сходится. Этот интервал называют интервалом сходимости степенного ряда, а половину его длины – радиусом сходимости. Для нахождения интервала сходимости можно воспользоваться признаком Даламбера. lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛+1 𝑥 𝑛+1 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 | = lim 𝑛→∞ |𝑥| ∙ | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 | Потребуем, чтобы этот предел был < 1. Тогда при всех 𝑥 < lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛+1 | наш ряд будет сходиться. На границах интервала, там где |𝑥| = lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛+1 | требуется отдельного исследования ряда. Вне этих границах ряд расходится. 30. Ряды Тейлора и Маклорена. Функция f(x), бесконечное число раз дифференцируемая может быть в окрестности точки ха представлена сходящимся к ней степенным рядом. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) 1! (𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′ (𝑎) 2! (𝑥 − 𝑎) 2 + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 + ⋯ этот бесконечный ряд называется рядом Тейлора. Если а, то 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓 ′ (0) 1! 𝑥 + 𝑓 ′′ (0) 2! 𝑥 2 + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (0) 𝑛! 𝑥 𝑛 + ⋯ этот бесконечный ряд – ряд Маклорена 𝑓(𝑥) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑎 3 𝑥 3 + 𝑎 4 𝑥 4 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ 31. Разложение элементарных алгебраических функций вряд Маклорена. №1. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(0) = 1 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓′(0) = 1 𝑓′′(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓′′(0) = 1 𝑓′′′(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓′′′(0) = 1 𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥 2 2! + 𝑥 3 3! + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑛! + ⋯ = ∑ 𝑥 𝑛 𝑛! ∞ 𝑛=0 №2 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑓(0) = 0 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 𝑓′(0) = 1 𝑓′′(𝑥) = −sin 𝑥 𝑓′′(0) = 0 𝑓 ′′′ (𝑥) = − cos 𝑥 𝑓 ′′′ (0) = −1 𝑓 (𝐼𝑉) (𝑥) = sin 𝑥 𝑓 (𝐼𝑉) (0) = 0 sin 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 3 3! + 𝑥 5 5! − 𝑥 7 7! + ⋯ + 𝑥 2𝑛−1 (2𝑛 − 1)! ∙ (−1) 𝑛+1 №3 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑓(0) = 1 𝑓′(𝑥) = −sin 𝑥 𝑓′(0) = 0 𝑓 ′′ (𝑥) = − cos 𝑥 𝑓 ′′ (0) = −1 𝑓′′′(𝑥) = sin 𝑥 𝑓′′′(0) = 0 𝑓 (𝐼𝑉) (𝑥) = cos 𝑥 𝑓 (𝐼𝑉) (0) = 1 cos 𝑥 = 1 − 𝑥 2 2! + 𝑥 4 4! − 𝑥 6 6! + ⋯ + (−1) 𝑛+1 𝑥 2𝑛−2 (2𝑛 − 2)! + ⋯ №4 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) 𝑚 𝑓(0) = 1 𝑓′(𝑥) = 𝑚(1 + 𝑥) 𝑚−1 𝑓 ′ (0) = 𝑚 𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑚(𝑚 − 1)(1 + 𝑥) 𝑚−1 𝑓 ′′ (0) = 𝑚(𝑚−1) 2! 𝑓 ′′ ′(𝑥) = 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2)(1 + 𝑥) 𝑚−1 𝑓 ′′′ (0) = 𝑚(𝑚−1)(𝑚−2) 3! (1 + 𝑥) 𝑚 = 1 + 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑚 − 1) 2! 𝑥 2 + 𝑚(𝑚 − 1)(𝑚 − 2) 3! 𝑥 3 + ⋯ + 𝑚(𝑚 − 1) … (𝑚 + 1 − 𝑛) 𝑛! 𝑥 𝑛 + ⋯ 32. Ряды Фурье для периодических функций. Опр. Функциональный ряд вида 𝑎 0 2 + 𝑎 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + ⋯ = 𝑎 0 2 + + ∑ (𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥) ∞ 𝑛=1 (1) Называется тригонометрическим рядом. a 0 , a 1 , ..., b 1 , ...- коэффициенты тригонометрического ряда (1) если ряд (1) сходится, то его сумма-2π-периодическая функция Постановка задачи пусть дана периодическая функция f(x). Найти тригонометрический ряд, сходящийся к функции f(x) Пусть f(x) такова, что она представлена тригонометрическим рядом, сходящимся к f(x) на интервале (-π; π) f(x)= 𝑎 0 2 + + ∑ (𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥) ∞ 𝑛=1 (2) Пусть сходится числовой ряд | 𝑎 0 2 | + |𝑎 1 | + |𝑏 1 | + |𝑎 2 | + |𝑏 2 | + ⋯ , тогда ряд (1) мажорируем и его можно интегрировать почленно ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝜋 −𝜋 = ∫ 𝑎 0 2 ⅆ𝑥 𝜋 −𝜋 + ∑ (∫ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥 + ∫ 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥) ∞ 𝑛=1 = 𝜋 ∗ 𝑎 0 , итого получаем 𝑎 0 = 1 𝜋 ∫ Рассмотрим интегралы 1. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥 = 0, n≠k 2. ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥 = 0, n≠k 3. ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥 = 0, тк функция нечетная 4. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥 = 𝜋, n=k 5. ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥 = 𝜋, n=k Вычислим a n и b n : Умножим обе части соотношения (2) на coskx, при k≠0. Ряд мажорируем, интегрируем его на (-π;π) получаем 𝑎 𝑘 = 1 𝜋 ∫ Умножим обе части соотношения (2) на sinkx, при k≠0. Ряд мажорируем, интегрируем его на (-π;π) получаем 𝑏 𝑘 = 1 𝜋 ∫ Коэффициенты a 0 , a n и b n , найденные по полученным формулам называются коэффициентами Фурье, а ряд (2) с такими коэффициентами- рядом Фурье. Каковы должны быть свойства функции f(x), чтобы ряд Фурье сходился и чтобы сумма ряда Фурье равнялась значениям функции f(x) в заданных точках. Опр. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на интервале (a, b), если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x1, x2, …, xm так, чтобы [a, b]=[a, x1)V(x2, x3)V…V(xm, b] и на каждом из этих интервалов функция была монотонной. Теорема. Если периодическая функция f(x) с периодом 2π- кусочно- монотонна и ограничена на отрезке [-π; π], то ряд Фурье для нее сходится, сумма ряда S(x)=f(x) в точках непрерывности в точках разрыва 𝑆(𝑥)\(𝑥 = 𝑐) = 𝑓(𝑐−0)+𝑓(𝑐+0) 2 половина суммы значений функции справа и значений функции слева. 33. Ряды Фурье для периодических функций. Пусть f(x) -2l- периодическая. Сделаем замену 𝑥 = 𝑙𝑡 𝜋 , тогда функция 𝑓( 𝑙𝑡 𝜋 ) будет относительно переменной t -2π- периодической. Разложим ее вряд Фурье f( 𝑙𝑡 𝜋 )= 𝑎 0 2 + + ∑ (𝑎 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑡 + 𝑏 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑡) ∞ 𝑘=1 𝑎 0 = 1 𝜋 ∫ 𝑓( 𝑙𝑡 𝜋 )ⅆ𝑡 𝜋 −𝜋 𝑎 𝑘 = 1 𝜋 ∫ 𝑓( 𝑙𝑡 𝜋 )𝑐𝑜𝑠𝑘𝑡ⅆ𝑡 𝜋 −𝜋 𝑏 𝑘 = 1 𝜋 ∫ Вернемся к переменной x: Так как 𝑥 = 𝑙𝑡 𝜋 , то ⅆ𝑥 = 𝑙 𝜋 ⅆ𝑡 ⅆ𝑡 = 𝜋 𝑙 ⅆ𝑥 𝑡 = 𝜋𝑥 𝑙 f(x)= 𝑎 0 2 + + ∑ (𝑎 𝑘 cos ( 𝜋𝑘𝑥 𝑙 ) + 𝑏 𝑘 sin ( 𝜋𝑘𝑥 𝑙 )) ∞ 𝑘=1 𝑎 0 = 1 𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝑙 −𝑙 𝑎 𝑘 = 1 𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑘𝑥 𝑙 ⅆ𝑥 𝑙 −𝑙 𝑏 𝑘 = 1 𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑘𝑥 𝑙 ⅆ𝑥 𝑙 −𝑙 34. Ряды Фурье для функций сч тным и нечётным продолжением по периоду. 1) Пусть функция четная на [-π; π], тогда ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝜋 −𝜋 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 𝜋 0 Соответсвенно: 𝑎 𝑛 = 2 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥ⅆ𝑥 𝜋 0 𝑏 𝑛 = 1 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥ⅆ𝑥 = Итогов ряде Фурье четная функция содержит только косинусы. 2) Пусть функция нечетная на [-π; π], тогда : 𝑎 𝑛 = 1 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥ⅆ𝑥 = 0 𝜋 −𝜋 𝑏 𝑛 = 2 𝜋 ∫ Итогов ряде Фурье четная функция содержит только синусы. 35. Ряд Фурье в комплексной форме. Пусть функция периодическая и ее ряд Фурье имеет вид f(x)= 𝑎 0 2 + + ∑ (𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥) ∞ 𝑛=1 (1) Выразим cosnx и sinnx через показательные функции. 𝑒 𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 и 𝑒 −𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 = 𝑒 𝑖𝑛𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑛𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥 = 𝑒 𝑖𝑛𝑥 − Подставим в (1): f(x)= 𝑎 0 2 + + ∑ (𝑒 𝑖𝑛𝑥 ( 𝑎 𝑛 2 + 𝑏 𝑛 2𝑖 ) + 𝑒 −𝑖𝑛𝑥 ( 𝑎 𝑛 2 − 𝑏 𝑛 2𝑖 )) = ∑ 𝐶 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝑥 𝑛=+∞ 𝑛=−∞ ∞ 𝑛=1 (2) 𝐶 𝑛 = 1 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝑛𝑥 𝜋 −𝜋 ⅆ𝑥, где 𝑛𝜖ℤ 𝑒 𝑖𝑛𝑥 − гармонии 𝑛 − волновые числа(все волновые числа образуют спектр) Если f(x) -2l- периодическая, то f(x)= ∑ 𝐶 𝑛 𝑒 𝑖𝜋𝑛𝑥 𝑙 𝑛=+∞ 𝑛=−∞ 𝐶 𝑛 = 1 2𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 𝑖𝜋𝑛𝑥 𝑙 𝑙 −𝑙 ⅆ𝑥, где 𝑛𝜖ℤ 36. Ряды Фурье по ортогональной системе функций. Опр. Бесконечная система функций 𝜑 1 (𝑥), 𝜑 2 (𝑥), 𝜑 3 (𝑥), … , 𝜑 𝑛 (𝑥), … - называется ортогональной на [a,b], если для любого n и любого x из [a, b] : ∫ 𝜑 𝑛 (𝑥)𝜑 𝑘 (𝑥)ⅆ𝑥 = 0 и ∫ [𝜑 𝑘 (𝑥)] 2 ⅆ𝑥 ≠ 0 Пусть f(x) определена на [a,b] и такова, что она представим в виде ряда по элементам бесконечной ортогональной системы функций {𝜑 𝑛 (𝑥)} и этот ряд сходится к f(x). f(x)= ∑ 𝐶 𝑛 𝜑 𝑛 (𝑥) ∞ 𝑛=1 (*) умножим обе части соотношения на) и проинтегрируем на [a,b]: 𝐶 𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥)𝜑 𝑘 (𝑥)ⅆ𝑥 𝑏 𝑎 ∫ [𝜑 𝑘 (𝑥)] 2 ⅆ𝑥 𝑏 𝑎 |