1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия

• Название: 1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия
• Анкор: Bilety_po_matanu.docx
• Дата: 21.04.2018
• Размер: 7.57 Mb.
• Имя файла: Bilety_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #18317
• страница: 1 из 4

1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

Область определения функции z - совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию < r

2. Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных. (см1)

3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки М(х,у) к точке М₀(х₀,у_о), если для любого числа Е>0 найдётся такое число r>0, что для любой точки М(х,у), для которых верно условие ММ₀

Записывают:

Пусть точка М₀(х₀,у₀) принадлежит области определения функции f(x,y). Тогда функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если , причём точка М(х,у) стремится к точке М₀(х₀,у₀) произвольным образом.

Если в какой-либо точке условие не выполняется, то эта точка разрыва функции f(x,y). Это может быть в случаях:

1. 
   Функция z=f(x,y) не определена в точке М₀(х₀,у_о)
   
2. 
   Не существует предел в точке М₀(х₀,у_о),
   
3. 
   Этот предел существует, но не равно f(х₀,у_о)
   

4. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные, полный дифференциал.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:, где А₁, А₂, …, А_m – некоторые не зависящие от ∆х₁, ∆х₂, …, ∆х_m числа, а α₁, α₂, …, α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при ∆х₁=∆х₂=…∆х_m=0.

Частная производная функции z=f(x,y) по х – предел отношения частного приращения функции по х к приращению Δх при Δх→0, если он существует и конечен: =

Частная производная функции z=f(x,y) по y- – предел отношения частного приращения функции по y к приращению Δy при Δy→0, если он существует и конечен:: =

Полный дифференциал функции z=f(x,y) - главная линейная относительно и ∆у часть приращения функции ∆z в точке (х,у).

dz= (x,y)dx+ (x,y)dy

Если функция f(x,y) определена в некоторой области D, то её частные производные f’x(x,y), f’y(x,y), тоже будут определены в той же области или её части. Будем называть эти производные производными I-ого порядка. Производные этих функций производными II-ого порядка.

; ;

; .

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.

Точка max М₀ – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), верно неравенство f(x₀,y₀)≥f(x,y)

Точка min М₀ – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), верно неравенство f(x₀,y₀)≤f(x,y)

Необходимое условие: если функция f(x,y) в точке (х₀,у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны 0

f´_y(x₀,y₀)=0, f´_x(x₀,y₀)=0,

либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х₀, у₀) будут называть критической точкой.

Достаточное условие: пусть в окрестности критической точки (х₀,у₀) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Рассмотрим выражение:

1. 
   Если ∆(х₀,у₀)>0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x,y) имеет экстремум,
   

Если (x₀, y₀)<0 – max, если (x₀, y₀)>0 – min.

2. 
   Если ∆(х₀,у₀)<0, то в точке (х₀,у₀) функция f(x,y) не имеет экстремума.
   
3. 
   Если ∆=0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
   

6. Неопределенный интеграл и его свойства.

Неопределённый интеграл для функции f(x) - совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X

Обозначается символом , где С – производная постоянная, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx–подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Свойства:

1) Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению:





2) Определённый интеграл от производной некой функции равен самой функции + произвольная постоянная C:



3) Неопределённый интеграл от дифференциала некой функции равен этой функции + произвольная постоянная С:



4) Постоянный множитель А (А≠0) можно выносить за знак неопределённого интеграла:



5) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций (если каждый из них существует):



7. Таблица интегралов.

8. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное, подстановки, по частям, разложение дроби на простейшие, тригонометрических функций.

1) Непосредственное интегрирование заключается в преобразовании подынтегральной функции к табличному виду с использованием основных свойств интеграла.

2) Замена переменной (метод подстановки) в неопределённом интеграле состоит в том, что при вынесении интеграла вместо переменной х вводится новая переменная t, связанная с x определённой зависимостью x=γ(t), где γ(t) монотонна и дифференцируема, тогда справедливо равенство

3) Интегрирование по частям: если функции u= γ(u) и u=Ψ(х) непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, то справедлива формула:



Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Применяется для интегрирования произведений и таких функций, как lnx, arcsinx, arccosx, степенной и тригонометрической, степенной и обратной, степенной и логарифмической и других функций.

4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) , где m, n – натуральные числа (m≥2, n≥2, b²-4ac<0)

Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Если – правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)=, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

=+…+…+++…++++…+ , где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты А_i, B_i, M_i, N_i находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.

5) Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграла вида , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg=t

В результате подстановки: sinx== cosx== x=2arctg(t) dx=

Интегралы вида

1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n - нечетное положительное число, то подстановка sin x=t

Если m - нечетное положительное число, то подстановка cos x=t

2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

sinx*cosx=½sin(2x)
Интегралы вида , , . Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул:







9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Геометрический смысл определенного интеграла:

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная сверху кривой y=f(x), снизу – отрезком [a;b], слева – прямой х = а, справа – прямой х = b.

Определенный интеграл – площадь криволинейной трапеции

Достаточное условие существование определенного интеграла: если функция y=f(x) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Обязательная составляющая криволинейной трапеции – нижнее основание в виде [a;b] и верхняя часть в виде кривой y=f(x).

Пусть функция f(x) определена на [a;b]. Разобьем этот промежуток на n произвольных частей точками x₀, x₁, x₂,…x_n, полагая, что a=x₀12<…n_-1n=b

В каждом из полученных частичных промежутков [xi;xi+1], где i=0,1,2…выберем произвольную точку Ę_i (x_i≤Ę_i≥x_i+1)

Вычислим значения функций f(Ę) и умножим его на разность x_i+1-x_i=Δ x_i. После этого составим сумму:

Если существует конечный предел интегральной суммы при λ→0, не зависящий ни от способа дробления промежутка [a;b] на части, ни от выбора точки Ę_i, то этот предел – определенный интеграл функции f(x)по промежутку [a;b]: I=

10. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1) Если переставить пределы интегрирования, то изменится лишь знак:



2) Каковы бы ни были а и b, всегда имеет место равенство:



3) Постоянный множитель А выносится за знак определенного интеграла:



4) Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:



5) Если f(x) – неотрицательная на [a;b], функция и нижний предел меньше верхнего предела (a<b), то и сам интеграл – число неотрицательное, т.е.:



Замечание: если f(x) ≤0 на [a;b] и a≤0

Если f(x) ≥0 на [a;b] и a>b имеем ≤0

Если f(x) ≤0 на [a;b], то ≥0

6) Если a ≤ b, а f(x) и u·g(x) - две непрерывные функции, которые на [a, b] удовлетворяют условию f(x) ≤ g(x), то:

, т.е. неравенство почленно интегрируется.

7) Если a ≤ b и f(x) непрерывна на [a, b], то:

, т.е. абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла абсолютной величины подынтегральной функции.

8) Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a;b], то:



9) Теорема о среднем:

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то существует хотя бы одна точка С на этом отрезке, такая, что справедливо равенство:



Замечание: формула справедлива также для a>b, кроме a
Если a>b, то:

, (b=
Отсюда

Геометрический смысл:

Если f(x) >=0 на отрезке [a;b], то интеграл левой части есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), а правая часть – площадь прямоугольника с тем же основанием и h=f(c). Для площади криволинейной трапеции всегда есть равновеликий ей прямоугольник с тем же основанием и h, равной ординате этой кривой.

10) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен 0.

=0

Определенный интеграл как функция верхнего предела:

В отличие о неопределенного интеграла, определенный интеграл – это число, величина которого зависит только от пределов a и b. Если изменить верхний предел, то величина интеграла изменится.

Интеграл с переменным верхним пределом есть функция своего верхнего предела Ф(х):



Теорема: производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в верхнем пределе.



Если функция f(x) – непрерывна, то она имеет первообразную F(x), равную определенному интегралу.

11. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА (основная формула интегрального исчисления (!) )

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и F(x) - некоторая первообразная функции f(x), То:



Формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:



12. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1) Метод замены переменной. Пусть функция x=φ(t) имеет производную во всех точках отрезка [α;β] и отображает этот отрезок на отрезке [a,b] таким образом, что a= φ(α) и b=φ(β). Тогда



2) Интегрирование по частям

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках отрезка [a,b]. Тогда:



3) Метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , где m, n–натуральные числа (m≥2, n≥2, b²-4ac<0)

Дробь - правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Если – правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)=, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

=+…+…+++…++++…+ , где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты А_i, B_i, M_i, N_i находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.

5)Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграла вида , где R – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg=t

В результате подстановки: sinx== cosx== x=2arctg(t) dx=

Интегралы вида

1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n - нечетное положительное число, то подстановка sin x=t

Если m - нечетное положительное число, то подстановка cos x=t

2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

sinx*cosx=½sin(2x)
Интегралы вида , , . Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул:







13) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

а) Пусть f(x) положительна и непрерывна на [a;b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x) выражается определенным интегралом: (выше оси Ox)


б) Пусть функция y=f(x) отрицательна и непрерывна на [a;b], т.е. кривая y=f(x) и криволинейная трапеция лежат под осью Ох. Тогда:



в) Общий случай, когда некоторые части кривой лежат над осью Ох, а другие – под осью Ох. Площадь криволинейной трапеции - алгебраическая сумма площадей тех частей фигуры, которые расположены над Ох, и тех ее частей, которые под Ох, причем первые входят в сумму с «+», а вторые – с «-».

Тогда:



г) Пусть фигура ограничена сверху и снизу кривыми y₁=f₁(x), y₂=f₂(x) и f₁(x)≤f₂(x), a≤x≥b, где f₁(x), f₂(x) – непрерывные функции. Тогда:

f₁(x), f₂(x) – отрицательные значения