1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия

• Название: 1. Определение функции нескольких переменных. Основные понятия
• Анкор: Bilety_po_matanu.docx
• Дата: 21.04.2018
• Размер: 7.57 Mb.
• Имя файла: Bilety_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #18317
• страница: 3 из 4

Пример 3 . В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до центра круга больше половины?

Пример 4. Два лица и условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

26. Элементы комбинаторики: Размещение, перестановка, сочетания.

1) Перестановкой называется установленный в конечном множестве порядок.

Число всех различных перестановок вычисляется по формуле



2) Размещением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество основного множества , содержащее m элементов.


3) Сочетанием из n элементов по m называется всякое неупорядоченное подмножество основного множества, содержащее элементов.


27. Элементы комбинаторики: правила суммы и произведения.

ПРАВИЛО СУММЫ

Если объект А может быть выбран m способами , а объект В – другими n способами, причем А и В несовместны, то выбор либо А либо В осуществляется m+n способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если объект А может быть выбран m способами и после каждого из этих выборов объект В может быть выбран n способами, то выбор упорядоченной пары (А;В) может быть осуществлен m*n способами.

28. Алгебра событий: сумма, произведение событий. Противоположные события. Примеры.

О. Суммой двух событий А и В называется событие, заключающееся в наступлении или А или В или обоих событий вместе. Обозначение: А+В.

(иначе А+В – наступление хотя бы одного из событий)

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие - попадание 1-го стрелка в мишень и событие - попадание 2-го стрелка в мишень. Сумма событий – это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.


О. Произведением А и В называется событие, заключающееся в совместном наступлении А и В. Обозначение: А*В

Пример 1. Если А —деталь годная, В — деталь окрашенная, то — деталь А*В годна и окрашена.

Пример 2. Например, если   А;В;С появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то  — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
О. Пусть А – некоторое событие. Под событием , противоположным ему, понимается событие, состоящее в том, что А не наступило. Обозначение:

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то противоположное событие — промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

29. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Если события А и В несоместны, то вероятность того, что осуществляется одно из этих событий, равна сумме их вероятностей.

Р(А+В) = Р(А) – Р(В)

Следствие: Сумма вероятностей событий , образующих полную группу равна 1

Р(А₁) + Р(А₂)+….+Р(А_n) = 1

В частности : Р(А) +Р() = 1

30. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

О. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Пример 1. Монета брошена два раза. Вероятность появления "герба" в первом испытании (событие A) не зависит от появления или не появления "герба" во втором испытании (событие B). В свою очередь, вероятность появления "герба" во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события A и B независимые.

О. События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого.

О.Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Пример 1. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Пример 2. Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:а) была извлечена черва;б) была извлечена карта другой масти.

31. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

О. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:


О. Если события А и В независимы, то вероятность их совмещения равна произведению вероятности этих событий : Р(АВ) = Р(А)* Р_а(В)

32. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Пусть А и В – произвольные события. Вероятность того, что осуществится хотя бы 1 из этих двух событий, равна сумме их вероятностей без вероятности их совмещения:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

( Если события А и В несовместны то вероятность их совмещения равна 0 тогда получим: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) )

33. Формула полной вероятности и формулы Байеса.

Формула полной вероятности: вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:





События В_1,В_2,….В_n – гипотезы
Формула Байеса: пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событийB₁, B₂,…, B_n, образующих полную группу. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:



Допустим, что испытание произведено и событие А наступило. Определим, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Согласно теореме умножения имеем:



Тогда,

Используя формулу полной вероятности получаем:

Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
34. Повторные независимые испытания: постановка задачи, формула Бернулли.

Некоторые испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом исходе не зависит от исходов других испытаний.

Постановка задачи: пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р, а вероятность непоявления события А также постоянна и равна q=1-р. Тогда вероятность того, что в этой серии событие А наступит ровно k раз, равна:

- Формула Бернулли

Число испытаний не больше 10.
Схема Бернулли: 1)Испытание с 2 исходами 2) Испытания независимы 3)Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна
35. Локальная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.

Если испытания удовлетворяют схеме Бернулли, причем число испытаний n достаточно велико (больше 10), а вероятность появления события А в каждом испытании отлична от 0 и 1, то для вычисления вероятности появления события А в n испытаниях ровно k раз, используют приближенную формулу из локальной теоремы Муавра-Лапласа:

причем

Функция (х) – четная, т.е. (-х)= (х), значения этой функции табулированы
36. Интегральная теорема Муавра-Лапласа: формулировка теоремы, приближенная формула.

Пусть испытания удовлетворяют схеме Бернулли, число испытаний n достаточно велико (больше 10), а вероятность появления события А в каждом испытании отлична от 0 и 1. Тогда для определения вероятности того, что событие А появится от k₁ до k₂ раз, пользуются приближенной формулой из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

_где

; ;

Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х)= -Ф(х) , значения этой функции табулированы
37. Теорема Пуассона: формулировка теоремы, приближенная формула.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала (меньше 0,01), то для вычисления вероятности того, что событие А появится ровно k раз, пользуются приближенной формулой из предельной теоремы Пуассона:



Функция табулирована. Зная значения k и λ, можно сразу найти по таблице значении функции P(k, λ), которая и будет вероятностью появления события А ровно k раз в n испытаниях.
38. Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях.

Наивероятнейшим числом появления события А в n испытаниях называется такое число появлений этого события (), вероятность которого наибольшая.

Наивероятнейшее число появлений события А в n испытаниях можно найти из неравенства:

n•p-q≤≥n•p+p
39. Случайные величины: дискретные и непрерывные. Примеры.

Под случайной величиной понимается величина, которая принимает то или другое числовое значение в зависимости от случая. Возможные значения случайной величины образуют множество Ω , которое называют множеством возможных значений случайной величины. Например, испытание – бросание игральной кости; с.в. Х – число выпавших очков; множество возможных значений – Ω = {1,2,3,4,5,6}

Дискретная с.в. – величина, множество возможных значений которой конечно и счетно.

Непрерывная с.в. – величина, которая принимает все значения из некоторого интервала (или с.в. называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей числовой оси).
Примеры не написала. Не понимаю, что имеется в виду. Может быть примеры непрерывных распределений.
40. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения с.в. – соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями с.в. и вероятностями этих значений.

Функцией распределения F(х) с.в. Х называется вероятность того, что с.в. X примет значение, меньшее х.

F(x)=P(X
Для дискретной случайной величины: F(x)=P(X

Функцию распределения называют еще интегральным законом распределения. Она обладает свойствами:

1. 
   Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. для любых х₁2 выполняется соотношение F(х₁)≤ F(х₂)
   
2. 
   F(-∞)=0, F(+∞)=1
   
3. 
   Функция распределения непрерывна слева: F(х-0)= F(х) при любых значениях х
   

Вероятность того, что с.в. Х примет значение из промежутка (a,b), вычисляется по формуле:

P(a≤X41. Свойства интегральной функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, то есть для любых х₁<х₂ выполняется соотношение F(x₁)<=F(x₂)

2. F от минус бесконечности будет равна нулю(0), от плюс бесконечности равна единице(1)

3. Функция непрерывна слева: F(x-0)=F(x) при любых значениях х.

42. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал с помощью интегральной функции распределения.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из промежутка (а,в), вычисляется по формуле:  Р(а < X < b) = F(b) – F(а).      

43. Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее вероятностный и геометрический смысл и свойства.

44. Примеры основных распределений дискретной случайной величины.

45. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (с помощью дифференциальной функции распределения).

46. Числовые характеристики дискретных случайных величин .

1. Мат ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений:

2. Дисперсия с.в. Х – это мат ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

DX=D(X) = M[X-M(X)]² = M(X²) – (MX)² = M(X²) – m(x)²

3. ?Дисперсия имеет размер квадрата с.в. для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобного использования числом?

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) случайной величины –



47. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

48. Основные свойства математического ожидания и дисперсии.

49. Нормальное распределение непрерывной случайной величины: плотность вероятности и числовые характеристики.

Говорят, что с.в х распределена нормально с параметрами «а» и «σ», если ее плотность вероятности описывается функцией:
  

где а и σ —некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

а- мат. ожидание

σ- среднее квадратическое отклонение



Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид



50. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.

Вероятность попадания нормально распределенной с.в. в интервал определяется по формуле:



где  – математическое ожидание,  – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

И   – функция Лапласа.

51. Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм.

Вероятность отклонения нормально распределенной с.в от математического ожидания по
абсолютной величине меньше, чем на ( >0), определяется по формуле:

  

где  – математическое ожидание,  – среднее квадратическое отклонение.

Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины  от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит .
Воспользуемся формулой для нахождения вероятности заданного отклонения, в которую в качестве  подставим :
Таким образом, вероятность того, что отклонение

случайной величины  по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит , составляет всего 0,0027. Такое событие, исходя их принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным.
Вывод (правило трех сигм): если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.