Вычисление определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла Екатеринбург 2006 Вычисление определенного интеграла
![]()
|
Вычисление определенного интеграла Екатеринбург 2006 Вычисление определенного интеграла ВведениеЗадача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла: ![]() на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=xk = f(xk) = yk}. Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного – кубатурными. Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению ![]() В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу ![]() Обозначим через yi = f(xi) значение подинтегральной функции в различных точках ![]() В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Формула (1) дает ![]() где ![]() В формуле (2) величины { ![]() ![]() ![]() ![]() Подведем итог. Веса { ![]() ![]() В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член Rn[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для ![]() ![]() Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. ![]() Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул. Метод прямоугольниковОпределенный интеграл функции от функции f(x): ![]() ![]() Рис. 1 Площадь под кривой y=f(x) Для вычисления этой площади весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на n равных подинтервалов длины h=(b-a)/n. Площадь под подынтегральной кривой приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольников, как это показано на рисунке (2). ![]() Рис. 2 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле ![]() Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) – методом правых прямоугольников: ![]() Погрешность вычисления интеграла определяется величиной шага интегрирования h. Чем меньше шаг интегрирования, тем точнее интегральная сумма S аппроксимирует значение интеграла I. Исходя из этого строится алгоритм для вычисления интеграла с заданной точностью. Считается, что интегральная сумма S представляет значение интеграла I c точностью eps, если разница по абсолютной величине между интегральными суммами ![]() ![]() Метод средних прямоугольников Для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h, высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников (рисунок 3). ![]() Рис. 3 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольников ![]() ![]() n – количество разбиений отрезка [a,b]. Метод трапецийДля нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у1, у2, у3,..уn, где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4). ![]() Рис. 4 Площадь под кривой y=f(x) аппроксимируется суммой площадей прямоугольных трапеций. ![]() n – количество разбиений ![]() ![]() Погрешность формулы трапеций оценивается числом ![]() Погрешность формулы трапеций с ростом ![]() Формула СимпсонаЕсли для каждой пары отрезков ![]() ![]() В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/n. Число отрезков разбиения является четным числом. Затем на каждой паре соседних подинтервалов подинтегральная функция f(x) заменяется многочленом Лагранжа второй степени (рисунок 5). ![]() Рис. 5 Функция y=f(x) на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проинтегрируем ![]() ![]() ![]() Введем замену переменных: ![]() Учитывая формулы замены, ![]() ![]() ![]() Полученное для интеграла ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1, х3, ..., х2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2, х4, ..., х2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0=а, хn =b - коэффициент 1. Геометрический смысл формулы Симпсона: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами. Если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем ![]() где М - наибольшее значение ![]() Пример Вычислим интеграл ![]() Этот интеграл легко вычисляется: ![]() Возьмем n равным 10, h=0.1, рассчитаем значения подынтегральной функции ![]() ![]() ![]() По формуле средних прямоугольников получим Iпрям=0.785606 (погрешность равна 0.027%), по формуле трапеций Iтрап=0.784981 (погрешность около 0,054. При использовании метода правых и левых прямоугольников погрешность составляет более 3%. Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл ![]() но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х0=0, х1=1/4, х2=1/2, х3=3/4, х4=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках: у0=1,0000, у1=0,8000, у2=0,6667, у3=0,5714, у4=0,5000. По формуле Симпсона получаем ![]() Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f(4)(x)=24/(1+x)5 , откуда следует, что на отрезке [0, 1] ![]() Сравнение методов по точностиСравним методы по точности, для этого произведем вычисления интеграла функций y=x, y=x+2, y=x2, при n=10 и n=60, a=0, b=10. Точное значение интегралов составляет соответственно: 50, 70, 333.(3) таблица 1
Из таблицы 1 видно, что наиболее точным является интеграл, найденный по формуле Симпсона, при вычислении линейных функций y=x, y=x+2 также достигается точность методами средних прямоугольников и методом трапеций, метод правых прямоугольников является менее точным. Из таблицы 1 видно, что при увеличении количества разбиений n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работуНаписать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке [0, 1] с шагом ![]() ![]() ![]() f(x)= ![]() f(x)= ![]() f(x)= ![]() Выполнить вариант индивидуального задания (таблица 2) Таблица 2 Индивидуальные варианты задания
Провести сравнительный анализ методов. Вычисление определенного интеграла: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Вычислительная математика» / сост. И.А.Селиванова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 14 с. Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 230101 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» и бакалавров направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника». Составитель Селиванова Ирина Анатольевна |