ГЛ1. 1 тарау. Жиындар теориясыны элементтері жиыны жиыныны жиыншасы болан жадайда жиыны жиынын амтиды
 Скачать 1.5 Mb.
|
|
3 – ескерту. Ашық та емес, тұйық та емес жиындар бар. Мәселен,  аралығы – ашық жиын да, тұйық жиын да емес.5 – теорема. Егер  ашық жиын болса, онда  жиыны тұйық жиын болады.Дәлелдеуі. Кері жорысақ, жиынының жиынында жататын шектік нүктесі бар болады. Сол нүктені  арқылы белгілейік. жиынының кез келген нүктесі ішкі нүкте екенін ескерсек, нүктесінің қайсыбір  маңайы жиынының жиыншасы болады. Демек,  теңдігі орындалады. Бұл теңдік нүктесінің жиынының шектік нүктесі екеніне қайшы. Ендеше, жиыны – тұйық жиын. 5 – теореманы былай да айтуға болады: ашық жиынның толықтауышы – тұйық жиын. 6 – теорема. Егер  тұйық жиын болса, онда  жиыны ашық жиын болады. Дәлелдеуі. Егер жиыны тұйық болса, онда  жиынының әрбір нүктесі жиынының шектік нүктесі болмайды. Демек,  нүктесінің жиынымен қиылыспайтын қайсыбір  маңайы бар болады, яғни,  . Бұл теңдік бойынша  . Сонымен, жиынының әрбір нүктесінің ішкі нүкте екеніне көз жеткіздік. Ендеше, жиыны – ашық жиын. 6 – теореманы былай да айтуға болады: тұйық жиынның толықтауышы – ашық жиын. 4 – ескерту.  жиыны, бос жиын – әрі ашық, әрі тұйық жиындар (жоғарыдағы мысалдарды, 5 – ші , 6 – шы теоремаларды қараңыз). 7 – теорема. а) Ашық  жиындарының ақырлы бірігуі де, саналымды бірігуі де – ашық жиын; ә) Ашық  жиындарының ақырлы қиылысуы – ашық жиын. Дәлелдеуі. а) жағдайында жиындардың бірігуі мен ашық жиын анықтамаларын қолданамыз. ә) жағдайын қарастырайық.  болсын. Кез келген  элементі ашық жиындарында жататындықтан,  ,  ,...,  шарттарын қанағаттандыратын  маңайлары табылады. Ал  ,  сандары бойынша анықталған  интервалы жиынымен қамтылады. Ендеше, жиыны – ашық жиын. 5 – ескерту. Ашық жиындардың саналымды қиылысуы ашық жиын бола бермейді. Мысалы,  жиындары үшін  . Ал бір элементті  жиыны – тұйық жиын.(5 – 7) – теоремалар мен  ,  теңдіктерінен мына теореманы аламыз:8 – теорема. а) Тұйық жиындардың ақырлы қиылысуы да, саналымды қиылысуы да – тұйық жиын; ә) Тұйық жиындардың ақырлы бірігуі – тұйық жиын. Келесі теоремада  – дегі ашық жиынның құрылымы беріледі.9 – теорема. Әрбір ашық жиын өзара қиылыспайтын қайсыбір интервалдардың ақырлы немесе саналымды бірігуі болады. Дәлелдеуі. Ашық  жиыны берілсін.  арқылы  кірістіруін қанағаттандыратын барлық  маңайларының бірігуін белгілейік. Ұштары  , теңдіктері бойынша анықталған  интервалы жиынымен беттеседі (Осыны дәлелдеңіз.). Ал  және  нүктелеріне сәйкес  және  интервалдары беттеседі немесе қиылыспайды. Енді интервалдары арасынан өзара қиылыспайтын  интервалдарын бөліп алсақ, теорема дәлелдеуін аламыз, өйткені, біріншіден, интервалдарының жиыны не ақырлы, не саналымды жиын болады (әрбір интервалында қайсыбір рационал сан жатады); екіншіден, интервалдарының бірігуі жиынымен беттеседі. Жаттығулар мен есептер 1. Натурал сандар және жұп сандар жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатыңыз. 2.  және  аралықтары арасында өзара бірмәнді сәйкестік құрыңыз. 3. Иррационал сандар және нақты сандар жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік құрыңыз. 4. Кез келген екі нүктесінің арақашықтығы 1 – ден артық жиынның ақырлы немесе саналымды жиын екеніне көз жеткізіңіз. 5. Егер  саналымды емес, ал  жиыны саналымды болса, онда  жиыны саналымды жиын бола ма?6. Саналымды  жиындары үшін  жиыны саналымды жиын екеніне көз жеткізіңіз. 7. Дәлелдеңіз: а) Алгебралық сандар жиыны – саналымды жиын; ә) Коэффициенттері рационал көпмүшеліктер жиыны – саналымды жиын; б)  жиыны – континуалды жиын; в) Кантор жиыны – континуалды жиын.8. Дәлелдеңіз: Әрбір  саны үшін  жиыны – ашық жиын. 9.  сегменті бос емес, қиылыспайтын екі тұйық жиынның бірігуі болуы мүмкін бе? 10. Дәлелдеңіз: Егер  болса, онда  .11. Әрбір мүшесі нақты сандар жиынында жататын тізбектер жиынының қуаты континуум екенін дәлелдеңіз. 12. Комплекс сандар жиынының қуаты қандай? 13. Жай сандар жиынының саналымды жиын екеніне көз жеткізіңіз. 14. және  аралықтары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнататын үзіліссіз функция бар ма? 15. Дәлелдеңіз: Әрбір  үшін  жиыны – тұйық жиын. |