ГЛ1. 1 тарау. Жиындар теориясыны элементтері жиыны жиыныны жиыншасы болан жадайда жиыны жиынын амтиды

• Название: 1 тарау. Жиындар теориясыны элементтері жиыны жиыныны жиыншасы болан жадайда жиыны жиынын амтиды
• Дата: 20.10.2022
• Размер: 1.5 Mb.
• Имя файла: ГЛ1.doc
• Тип: Документы; #745532
• страница: 2 из 4

§3. Саналымды жиындар
1 – анықтама. Ақырсыз жиыны берілсін. Егер

эквиваленттілігі орындалатын болса, онда жиынын «саналымды жиын» немесе «қуаты жиын» деп атаймыз.

Төменде жазуы жиынының саналымды жиын екенін білдіретін болады. жазуында арқылы жиынының ші нөмірге сәйкес элементі белгіленген.

Мысал келтірейік. Бүтін сандар жиыны ( жиыны) – саналымды жиын:

теңдігін қанағаттандыратын функциясы және жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады.

Келесі теоремада ақырсыз, бірақ саналымды емесжиын бар екені көрсетіледі.

1– теорема. сегменті саналымды жиын емес.

Дәлелдеуі. Кері жорып, сегменті саналымды жиын болсын дейік және

осы сегменттің ші нөмірге сәйкес элементін арқылы таңбалайық.

Енді сегментін ұзындықтары бірдей үш сегментке бөлеміз: . элементі осы сегменттердің кемінде бірінде жатпайды. Сол сегментті арқылы белгілейік те, сегментін де ұзындықтары бірдей үш сегментке бөлейік және арқылы элементі жатпайтын сегменттің бірін белгілейік. Осылай жалғастыра берсек, , шарттарын қанағаттандыратын тізбегін аламыз. Сегменттер ұясы туралы теорема (қараңыз, [5], 76 – бет) бойынша сегментінің

әрқайсысында жататын жалғыз нүктесі бар болады. Ал нүктесі сегментінде жататындықтан, жоруымыз бойынша, қайсыбір үшін теңдігі орындалады. Бұдан қайшылыққа келеміз: және . Ендеше, сегменті саналымды жиын емес.

Енді саналымды жиындардың қасиеттерін келтірейік.

2 – теорема. Егер ақырлы және саналымды жиындары қиылыс – пайтын болса, онда жиыны саналымды жиын болады.

Дәлелдеуі. болсын. Егер болса, онда

теңдігін қанағаттандыратын функциясы және жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады.

3 – теорема. Егер ақырлы жиындары өзара қиылыспайтын

болса, онда жиыны саналымды жиын болады.

Дәлелдеуі. Егер әрбір үшін болса,

онда теңдігі бойынша

анықталған функциясы және жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады.

3 – теорема былай да айтылады:Өзара қиылыспайтын ақырлы жиындар – дың саналымды бірігуі – саналымды жиын.

4 – теорема. Егер саналымды жиындары өзара қиылыс – пайтын болса, онда жиыны саналымды жиын болады.

Дәлелдеуі. жиынының –ші нөмірге сәйкес элементін арқылы белгілейік, яғни болсын.

жиыны элементті, өзара қиылыспайтын , ,..., ,... жиындарының саналымды бірігуі болады. Ендеше, 3 – теорема бойынша жиыны – саналымды жиын.

4 – теорема былай да айтылады: Өзара қиылыспайтын саналымды жиын – дардың ақырлы бірігуі – саналымды жиын.

5 – теорема. Егер саналымды жиындары өзара қиылыс – пайтын болса, онда жиыны саналымды жиын болады.

Дәлелдеуі. Саналымды жиынының – ші нөмірге сәйкес элементін арқылы, ал жоғарғы және төменгі индекстерінің қосындысы санына тең барлық элементтерінің жиынын арқылы таңбалайық. жиындары ақырлы және өзара қиылыспайды. Демек, 3 – теорема бойынша жиыны – саналымды жиын. Ендеше, теңдігіне жүгініп, « жиыны саналымды жиын» деген қорытындыға келеміз.

5 – теорема былай да айтылады: Өзара қиылыспайтын саналымды жиын – дардың саналымды бірігуі – саналымды жиын.

6 – теорема. Әрбір ақырсыз жиынының саналымды жиыншасы бар болады.

Дәлелдеуі. және болсын. Әрбір үшін

арқылы жиынының элементін белгілеп, жиынын қарастырсақ, теорема дәлелдеуін аламыз, өйткені, жиыны біріншіден, жиынының жиыншасы; екіншіден, бір элементті жиын – дарының саналымды бірігуі ретінде 3 – теорема бойынша саналымды жиын.

6 – теорема былай да айтылады: Әрбір ақырсыз жиыннан саналымды жиын бөліп алуға болады.

7 – теорема. Саналымды жиынның кез келген ақырсыз жиыншасы – саналымды жиын.

Дәлелдеуі. арқылы саналымды жиынының ақырсыз жиыншасын белгілейік. 6 – теорема бойынша ақырсыз жиынынан саналымды жиынын бөліп алуға болады. Әрине, . Енді кірістірулерін ескеріп, 3– теореманы (§2) қолдансақ, эквиваленттілігін аламыз.

8 – теорема. Ақырсыз жиыны мен ақырлы немесе саналымды жиыны үшін болады.

Дәлелдеуі. Теорема дәлелдеуін жағдайында жүргізейік. 6 – теорема бойынша ақырсыз жиынынан саналымды жиынын бөліп алуға болады. 2 – ші, 4 – ші теоремалар бойынша . және теңдіктерінің оң жақтарына зер салайық: және .

Ендеше, 2– теорема (§2) бойынша

9 – теорема. Ақырсыз, саналымды емес жиыны мен ақырлы немесе саналымды жиыншасы үшін болады.

Дәлелдеуі. жиыны ақырсыз жиын болады, кері жағдайда теңдігінен « жиыны – ақырлы немесе саналымды жиын» деген қайшылыққа келер едік. 8 – теорема бойынша ақырсыз \ жиыны мен ақырлы немесе саналымды жиыны үшін . 3 – теореманы пайдаланып, рационал сандар жиынының саналымды жиын екеніне көз жеткізейік.

10 – теорема. Рационал сандар жиыны – саналымды жиын.

Дәлелдеуі. Рационал сандар жиынын әдеттегідей арқылы белгілейік. Ал арқылы қысқартылмайтын, шарттарын қанағаттандыратын бөлшектерінің жиынын таңбалайық. жиындары ақырлы, өзара қиылыспайды. 3 – теорема бойынша жиындарының

саналымды бірігуі саналымды жиын болады. Ендеше, жиыны – саналымды жиын, өйткені, .

2 – анықтама. сегментінде анықталған функциясы берілсін. Егер үшін теңсіздігі орындалатын болса, онда функциясы « сегментінде кемімейтін (өспейтін) функция» деп аталады. Кемімейтін, өспейтін функцияның әрқайсысы «монотонды функция» деп аталады.

11 – теорема. сегментінде монотонды функцияның үзіліс нүкте – лерінің жиыны ақырлы немесе саналымды жиын құрайды.

Дәлелдеуі. Дәлелдеуді кемімейтін функциясы үшін жүргізейік. Әрбір нүктесінде функциясының нақты мәнді оң жақты және сол жақты шектері бар болады. Бұл шектер математикалық анализде және символдары арқылы белгіленген еді. функциясының үзіліс нүктелері жиынын арқылы таңбалап,



жиындарын қарастырайық.

жиыны , , , жиындарының бірімен беттеседі (Осыны тексеріңіз).

Ендеше, жиындарының әрқайсысы ақырлы жиын екенін ескерсек, « жиыны – не ақырлы, не саналымды жиын» деген қорытындыға келеміз.
§4. Континуалды жиындар
1 – анықтама. жиыны берілсін. Егер эквиваленттілігі орында – латын болса, онда жиынын «континуалды жиын» немесе «қуаты континуум жиын» (қысқаша: «қуаты жиын») деп атаймыз.

жазуы жиынының континуалды жиын екенін білдіреді. Континуалды жиындардың мысалдарын келтірейік.

1– теорема. , , , аралықтары – континуалды жиындар.

Дәлелдеуі. теңдігі бойынша анықталған функциясы және аралықтары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады. Демек, жиыны – континуалды жиын. Ал қалған аралықтар үшін

, ,

теңдіктері орындалады. Ендеше, 8 – теорема (§3) бойынша , , аралықтары – континуалды жиындар.

2 – теорема. , , , , , , , аралықтары – континуалды жиындар.

Дәлелдеуі. , , аралықтарының континуалды жиындар екенін көрсетсек жеткілікті, өйткені, қалған аралықтар осы аралықтарға бір немесе екі нүктені қосқаннан алынады.

( , )

теңдігі бойынша анықталған функциясы ( , )

және аралықтары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады.

3 – теорема. Әрбір мүшесі натурал сандар жиынында жататын тізбек – тер жиыны – континуалды жиын.

Дәлелдеуі. Әрбір мүшесі натурал сандар жиынында жататынтізбектер жиынын арқылы таңбалайық, яғни, .

( немесе ) қатарының қосындысы екілікбөлшек деп аталып, символымен белгіленеді. нүктесін

немесе

(1)

қатарларының қосындысы түрінде жазуға болады. Мәселен, немесе . Егер (1) түріндегі қатарларды қолданбайтын болсақ, онда

(2)

эквиваленттілігін аламыз.

Әрбір қосындысы теңдігін қанағаттандыратын индекстерінің өспелі тізбегі бойынша бірмәнді анықталады, яғни,

. (3)

Ал нүктесінде ,

теңдігін қанағаттандыратын функциясы және жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады. Демек, .

(2), (3) және эквиваленттіліктерінен 1 – теорема (§2) бойынша эквиваленттілігі шығады.

4 – теорема. _, жиындары үшін жиыны – континуалды жиын.

Дәлелдеуі. Алдыңғы теорема бойынша және . Егер

және тізбектері және элементтеріне сәйкес тізбектер болса, онда әрбір элементіне

тізбегін сәйкес қоятын функциясы және жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады. Ендеше, .

5 – теорема. Өзара қиылыспайтын континуалды жиындардың ақырлы бірігуі – континуалды жиын.

Дәлелдеуі. және болсын. теңдігі бойынша әрбір үшін . Енді және теңдіктерін ескеріп, 2 – теореманы (§2) қолдансақ

болғаны.

6 – теорема. Өзара қиылыспайтын континуалды жиындардың саналымды бірігуі – континуалды жиын.

Дәлелдеуі. және болсын. теңдігі бойынша әрбір үшін . Енді және

теңдіктерін ескеріп, 2 – теореманы (§2) қолдансақ болғаны.

Келесі теоремада саналымды да емес, континуалды да емес ақырсыз жиын бар екені көрсетіледі.

7 – теорема. сегментінде анықталған барлық функциялардың

жиыны саналымды жиын да, континуалды жиын да емес.

Дәлелдеуі. жиынының саналымды жиын емес екеніне көз жеткізейік. Кері жорып, « жиыны – саналымды жиын» дейік. Енді

жиынын қарастырсақ, қайшылық аламыз. Бір жағынан, эквиваленттілігі мен 1– теорема (§3) бойынша жиыны саналымды жиын емес. Екінші жағынан, жиыны – саналымды жиынының ақырсыз жиыншасы ретінде 7 – теорема (§3) бойынша саналымды жиын. Демек, жиыны саналымды жиын емес.

жиынының континуалды жиын емес екеніне көз жеткізейік. Кері жорып, эквиваленттілігі орындалады дейік. 1 – теорема бойынша . Демек, 2 – параграфтағы 1 – теоремаға жүгінсек, . жиынының нүктеге сәйкес элементін арқылы белгілеп, квадратында анықталған функциясын қарастырайық. функциясы жиынында жататындықтан, қайсыбір саны үшін теңдігі орындалады. Соңғы теңдіктегі саны ретінде санын алсақ, қайшылыққа келеміз:



Демек, жиыны континуалды жиын емес. Сонымен, жиыны саналымды жиын да, континуалды жиын да емес екен.

жиынының қуатын әрпімен белгілеу қалыптасқан, яғни, .