ГЛ1. 1 тарау. Жиындар теориясыны элементтері жиыны жиыныны жиыншасы болан жадайда жиыны жиынын амтиды

• Название: 1 тарау. Жиындар теориясыны элементтері жиыны жиыныны жиыншасы болан жадайда жиыны жиынын амтиды
• Дата: 20.10.2022
• Размер: 1.5 Mb.
• Имя файла: ГЛ1.doc
• Тип: Документы; #745532
• страница: 3 из 4

§5. Сандық түзудегі тұйық, ашық жиындар
1 – анықтама. нүктесінің маңайы деп осы нүктені қамтитын кез

келген интервалды атаймыз және оны арқылы белгілейміз.

Сонымен, нүктесінің маңайы деп ұштары теңсіздіктерін қанағаттандыратын интервалы аталады.

2 – анықтама. нүктесі және жиыны берілсін. Егер нүктесінің әрбір маңайында жиынының нүктесінен өзге қайсыбір нүктесі жататын болса, онда нүктесін « жиынының шектік нүктесі» деп атаймыз.

2 – анықтама былай да айтылады: Егер нүктесінің кез келген маңайы мен жиынының қиылысуы бос жиын болмаса, онда нүктесін « жиынының шектік нүктесі» деп атаймыз.

1– ескерту. Шектік нүкте жиында жатуы да, жатпауы да мүмкін. Мәселен, нүктесі жиынының шектік нүктесі және . нүктесі де жиынының шектік нүктесі, бірақ .

2 – ескерту. Шектік нүктесі жоқ жиындар бар. Мәселен, кез келген ақырлы жиынның шектік нүктесі жоқ.

Енді шектік нүктенің кейбір қасиеттерін келтірейік.

1 – теорема. Егер нүктесі жиынының шектік нүктесі болса, онда кез келген маңайының жиынымен қиылысуы ақырсыз жиын болады.

Дәлелдеуі. Кері жорып, қайсыбір маңайының жиынымен қиылысуыақырлы жиын болады дейік. Енді жиынының элементтерін арқылы белгілеп,



санын анықтасақ, интервалының жиынымен қиылысуы бос жиын болар еді. Бұл « нүктесі – жиынының шектік нүктесі» деген тұжырымға қайшы.

Бұл теорема былай да айтылады: Егер нүктесі жиынының шектік нүктесі болса, онда нүктесінің әрбір маңайында жиынының шексіз көп нүктесі жатады.

2 – теорема. Егер нүктесі жиынының шектік нүктесі болса, онда нүктесіне жинақталатын тізбегі табылады.

Дәлелдеуі. 1 – жағдай: Егер нүктесі жиынында жататын болса, онда әрбір мүшесі нүктесі болатын тізбегінің шегі нүктесі болады;

2 – жағдай: Егер нүктесі жиынында жатпайтын болса, онда мүшесі жиынында жататын тізбегі үшін теңдігі орындалады.

3 – анықтама. жиынының шектік нүктелерінің жиыны « жиынының туынды жиыны» деп аталады және символы арқылы белгіленеді.

3 – теорема. Егер болса, онда .

Дәлелдеуі. Әрбір нүктесінің кез келген маңайының жиынымен қиылысуы бос жиын болмайтындықтан

. Ендеше, .

4 – теорема. Әрбір жиындары үшін

Дәлелдеуі. жиынының жиынымен қамтылатынын тексерсек болғаны, өйткені , . Кері жорып, қайсыбір нүктесі жиынында жатып, жиынында жатпайды дейік. Ал нүктесі жиынында жатпаса, жиынында да, жиынында да жатпас еді. Демек, қайсыбір және сандары үшін сәйкесінше және теңдіктері орындалады. Ендеше, санынасәйкес интервалының жиынымен қиылысуы бос жиын болады. Ал бұл тұжырым кірістіруіне қайшы. Демек, .

4 – анықтама. жиыны берілсін. Егер жиыны жиынымен қамтылатын болса, онда жиыны тұйық жиын деп аталады.

Тұйық жиындардың мысалдарын келтірейік.1) сегменті, жиыны, кез келген ақырлы жиын – тұйық жиындар; 2) Әрбір үшін жиыны – тұйық жиын;

3) Әрбір үшін жиыны ( жиынының тұйықталуы) – тұйық жиын, өйткені,

4) Тұйық жиынның тағы бір мысалы – Кантор жиыны. Бұл жиын сегментінен өзара қиылыспайтын интервалдарын алып тастау арқылы алынады. Сонымен, Кантор жиыны – жиыны. интервалдары былай анықталады: 1– ші қадамда сегментін ұзындықтары тең үш интервалға бөліп, арқылы ортаңғы интервалын белгілейміз. 2 – ші қадамда сегментінде қалған және сегменттерінің әрқайсысын ұзындықтары тең үш интервалға бөліп, ортаңғы және интервалдарын және арқылы белгілейміз. 3 – ші қадамда алдыңғы екі қадамда жасалған әрекеттерді қайталасақ,

, , , интервалдарын аламыз. Осылай жалғастыра берсек, әрбір мүшесі интервал болатын тізбегіне келеміз.

5 – анықтама. нүктесі берілсін. Егер нүктесінің қайсыбір маңайы жиынымен қамтылатын болса, онда нүктесін « жиынының ішкі нүктесі» деп, ал әрбір нүктесі ішкі нүкте болатын жиынды ашық жиын деп атаймыз. Ашық жиындардың мысалдарын келтірейік. 1) интервалы – ашық жиын, өйткені, әрбір үшін интервалы кірістіруін қанағаттандырады; 2) жиыны – ашық жиын.