|
|
ГЛ1. 1 тарау. Жиындар теориясыны элементтері жиыны жиыныны жиыншасы болан жадайда жиыны жиынын амтиды
1 – ТАРАУ. ЖИЫНДАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
 жиыны  жиынының жиыншасы болған жағдайда « жиыны жиынын қамтиды» немесе « жиыны жиынымен қамтылады» деп айтатын боламыз. жиынының толықтауыш жиынын (қысқаша: толықтауышын)  символымен белгілейміз.
§1. Жиынның супремумі мен инфимумі
Алдағы тарауларда жиынның супремумі мен инфимумінің қасиеттерін жиі пайдаланатын боламыз.
Жоғарыдан (Төменнен) шенелген жиынының супремумін (инфимумін), яғни, жиынының жоғарғы (төменгі) шекараларының ең кішісін (үлкенін)  ( ) символымен белгілейміз. Жоғарыдан (Төменнен) шенелмеген жиыны үшін  ( ) теңдігі жазылады.
1 – теорема. Ең үлкен (ең кіші) элементі бар жиыны үшін  ( ) теңдігі орындалады.
Дәлелдеуі. теңдігін тексерейік. Бір жағынан,  саны – жиынының жоғарғы шекарасы, ал  саны – жиынының жоғарғы шекараларының ең кішісі. Демек,  .
Екінші жағынан, саны – жиынының элементі, ал саны – жиынының жоғарғы шекарасы. Ендеше,  .
Соңғы теңсіздіктерден: . теңдігі де осылай көрсетіледі.
2 – теорема. Егер  ( ) саны жиынының жоғарғы (төменгі) шекара – сы болса, онда  ( ).
Дәлелдеуі. ( ) саны – жиынының жоғарғы (төменгі) шекара – лары жиынының ең кішісі (үлкені). Ендеше, ( ).
3 – теорема. Егер жиыны жоғарыдан (төменнен) шенелген болса, онда  саны үшін  ( ) теңсіздігі орындалатындай  ( ) элементі табылады.
Дәлелдеуі. саны үшін  ( ) саны жиынының жоғарғы (төменгі) шекарасы емес. Демек, қайсыбір ( ) элементі
үшін  ( ) теңсіздігі орындалады.
4 – теорема.  жиындары үшін  және 
теңсіздіктері орындалады. Басқаша айтқанда, жиын кеңейген сайын супремум өседі, ал инфимум кемиді.
Дәлелдеуі. Егер жиыны жоғарыдан шенелген болса, онда  нақты сан болады және жиынының кез келген  элементі  теңсіздігін қанағаттандырады. кірістіруінен жиынының әрбір  элементі үшін  теңсіздігі орындалатындығы шығады. Соңғы теңсіздік пен 2– теоремадан . Ал жиыны жоғарыдан шенелмеген болса, онда теңсіздігі әлбетте орындалады, өйткені,  . теңсіздігі де осылай көрсетіледі.
5 – теорема. , жиындары берілсін. Егер кез келген  және  элементтері үшін  теңсіздігі орындалса, онда  .
Дәлелдеуі. теңсіздігі бойынша әрбір элементі – жиынының жоғарғы шекарасы. Демек, барлық үшін  теңсіздігі орындалады. Енді 2 – теореманы ескерсек, теңсіздігінен теңсіздігін аламыз.
6 – теорема. Егер жиыны шенелген болса,онда а) әрбір  үшін  ; ә) әрбір үшін  ; б) әрбір  үшін  ; в) әрбір үшін  .
Дәлелдеуі. а) жағдайын дәлелдейік.  ,  ,  болсын. Енді  теңсіздігі де,  теңсіздігі де орындалмай – тынына көз жеткізейік. Егер болса, онда  саны үшін
 теңсіздігі орындалатын  элементі табылады (қараңыз, 3– теорема). Демек, қайсыбір  үшін  теңсіздігін жаза аламыз. Ал бұл теңсіздік  теңдігінен шығатын  теңсіздігіне қайшы. Ендеше, теңсіздігі орындалмайды. Егер болса, онда  саны үшін
теңсіздігі орындалатын  элементі бар болады. Ал  элементі  жиынында жататынын ескерсек,  теңсіздігі  теңдігінен шығатын  теңсіздігіне қайшы. Ендеше,  теңсіздігі де орындал – майды. Сонымен, және сандары үшін теңсіздігі де, теңсіздігі де орындалмайды екен. Демек,  . ә), б), в) жағдайлары да осылай дәлелденеді.
7 – теорема. Егер жиыны жоғарыдан шенелгенболса, 1)  ;
2)  шарттарын қанағаттандыратын саны жиынының супремумі болады.
Дәлелдеуі.  және  теңсіздіктерінің орындалмайтынын көрсетсек болғаны. Егер теңсіздігі орындалады десек, онда
 айырмасы оң болады. 3 – теоремадағы  саны ретінде 
санын алсақ,  теңсіздігіне келеміз. Ал 
теңсіздігі 1) шартындағы  теңсіздігіне қайшы. Ендеше,
теңсіздігі орындалмайды.
Енді теңсіздігі орындалады деп, 2) шартындағы саны ретінде  санын алсақ,
теңсіздігіне келеміз. Бұл теңсіздік жиынының супремумі анықтамасына қайшы. Демек, теңсіздігі орындалмайды. Сонымен,  теңсіздігі де,  теңсіздігі де орындалмайтынын көрсеттік.
Ендеше,  .
8 – теорема. Егер жиыны төменненшенелген болса, 1)  2) шарттарын қанағаттандыратын  саны жиынының инфимумі болады.
Дәлелдеуі.  санын санына, санын санына алмастырып, 7– теореманы дәлелдеу жолын қайталаймыз.
§2. Эквивалентті жиындар
 жиынын «ақырсыз көп элементі бар жиын» немесе «ақырсыз көп элементті жиын» (қысқаша: «ақырсыз жиын») деп атауға болады, өйткені, әрбір  үшін жиынында жататын  элемент көрсете аламыз. Мысалы, әрбір үшін  ,  ,  ,..., ,  нүктелері жиынында жатады.  жиынын алсақ та, әрбір үшін жиынында жататын элемент көрсете аламыз: әрбір үшін ,  ,  ,  нүктелері жиынында жатады. Бұдан әрі әрбір үшін құрамында элемент бар болатын жиынды ақырсыз жиын деп атаймыз. Ал ақырсыз емес жиынды ақырлы жиын деп атайтын боламыз.
Әрбір ақырлы жиын үшін «жиынның қанша элементі бар», ал әрбір ақырсыз жиын үшін «жиынның элементтері қаншалықты көп» деген сұрақ қойылады. Қуат сөзін қолданып, «жиынның қанша элементі бар», «жиынның элементтері қаншалықты көп» сұрақтарын ықшам түрде кез келген ақырлы, не ақырсыз жиын үшін «жиынның қуаты қандай?» деп қоюға болады. Неміс математигі Г. Кантор (1845 –1918) жиынының қуатын  символымен белгілеген (қараңыз, [2], 26 – бет). Бұл белгілеу қазіргі кезде де пайдаланылады. Әрине,  жиыны үшін  . Натурал сандар жиынының қуатын  әрпімен, ал нақты сандар жиынының қуатын  әрпімен белгілеу қалыптасқан.
Кез келген жиынның қуатын анықтау мәселесі «эквивалентті жиындар» ұғымы арқылы шешіледі
жиынының әртүрлі элементтеріне жиынының әртүрлі элементтерін сәйкес қоятын және  теңдігін қанағаттандыратын әрбір  функциясы және жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады. Яғни, жиынының әрбір элементіне жиынының бір элементі және керісінше, жиынының әрбір элементіне жиынының бір элементі сәйкес қойылады.
Анықтама. Арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылған жиындарды эквивалентті жиындар деп атаймыз.
 жазуы және жиындарының эквивалентті жиындар екенін білдіреді.
Мысал.  , өйткені,  теңдігі бойынша анықталған функциясы  және  жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады.
Эквивалентті жиындардың бірінде қанша элемент болса, екіншісінде сонша элемент бар болады. Сондықтан эквивалентті жиындарды «қуаттары бірдей (тең) жиындар» немесе «теңқуатты жиындар» деп те атайды.
Енді « жиынының қуаты қандай ?» деген сұраққа былай жауап береміз:
1) Егер және  жиындары эквивалентті жиындар болса, онда
« жиынының қуаты – ге тең» дейміз;
2) Егер және  жиындары эквивалентті жиындар болса, онда « жиынының қуаты » дейміз;
3) Егер және  жиындары эквивалентті жиындар болса, онда « жиынының қуаты континуум» (қысқаша: « жиынының қуаты ») дейміз.
Ал және  , және  жиындары арасындағы өзара бірмәнді сәйкестіктер жиынының элементтері қаншалықты көп екені туралы жаңа мәлімет бермейді, өйткені,  (келесі параграфтағы мысалды және 10 – теореманы қараңыз.).
Қуаты ( ) жиынды саналымды (континуалды) жиын деп те атайды. «Әрбір ақырсыз жиын не саналымды, не континуалды жиын болады» деп қателікке ұрынбау керек ( 4 – параграфтағы 7– теореманы қараңыз.).
Енді эквивалентті жиындардың алдағы материалдарды баяндауда қажет болатын қасиеттерін келтірейік.
1 – теорема. Егер және  болса, онда  болады.
Дәлелдеуі. арқылы  эквиваленттілігін, ал  арқылы эквиваленттілігін беретін функцияларды белгілесек, онда әрбір элементіне  элементін сәйкес қоятын  функциясы және  жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады. Ендеше, ( және )  .
Егер әрбір  нөміріне  жиыны сәйкес қойылған болса, онда жиындарының кемінде бірінде жататын (әрқайсысында жататын) элементтер жиынын  символы арқылы белгілеп, « жиындарының ақырлы бірігуі (қиылысуы)» деп айтамыз.
Егер әрбір  нөміріне жиыны сәйкес қойылған болса, онда жиындарының кемінде бірінде жататын (әрқайсысында жататын) элементтер жиынын  ( ) символы арқылы белгілеп, « жиындарының саналымды бірігуі (қиылысуы)» деп айтамыз.
Егер қайсыбір тұжырым жиындарының ақырлы бірігуі (ақырлы қиылысуы) үшін де, саналымды бірігуі (саналымды қиылысуы) үшін де орындалатын болса, онда және ( ) символдарының орнына  ( ) символын пайдаланамыз. Кейде ( ) символы  ( ) символына алмастырылып, « жиындарының қосындысы (көбейтіндісі)» деп те аталады.
2 – теорема. Егер  ,  жиындары  , 
( ) және  шарттарын қанағаттандыратын болса, онда
 .
Дәлелдеуі.  арқылы  эквиваленттілігін беретін функцияны белгілейік.  нүктесінде  теңдігін қанағаттандыратын функциясы және  жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатады.
3 – теорема.  жиындары берілсін. Егер  болса, онда  болады.
Дәлелдеуі.  арқылы эквиваленттілігін беретін функцияны белгілейік.   теңдігі бойынша анықталған   тізбегін қарастырайық. Әрбір  үшін  жиыны  жиынын қамтитындықтан,
 . (1)
эквиваленттілігі орындалады.  жиынын қарастырсақ, мына теңдіктерді жаза аламыз:
 ,
 .
(1) эквиваленттілігі бойынша
  .
Енді  эквиваленттілігін ескеріп, 2 – теоремаға жүгінсек, 
эквиваленттілігін аламыз.
Төмендегі 4 – теорема «Кантор – Бернштейн теоремасы» деген атауға ие (қараңыз, ([3], 34 – бет), ([4], 11– бет)).
4 – теорема. Егер  ( ) және  ( ) болса, онда болады.
Дәлелдеуі. арқылы эквиваленттілігін беретін функцияны белгілейік.  жиыны үшін  , өйткені,  ,  . Ал  жиындары 3 – теорема шарттарын қанағаттандырады. Ендеше,  . Енді эквиваленттілігін ескерсек, .
|
|
|
Скачать 1.5 Mb.