3. 2 Д_рістер материалдарын о_у_а методикалы_ жетекшілік 1-Та_ыр. 3. 2 Дрістер материалдарын оуа методикалы жетекшілік 1Таырып. Метрикалы кеістіктер
![]()
|
Дәрістерді оқуға Форма әдістемелік жетекшілік ФМО ПГУ 7 18 207 ![]() математика кафедрасы3.2 Дәрістер материалдарын оқуға методикалық жетекшілік 1-Тақырып. Метрикалық кеңістіктер. 1-дәріс. Дәріс мазмұны. Метрикалық кеңістіктің анықтамасы, мысалдары. Метрикалық кеңістік кез келген Х жиынында құрылады. Анықтама 1. Х жиынының кез келген х және у элементтерінде, төмендегі аксиомаларды қанағаттандыратын теріс емес ![]() 1. ![]() 2. ![]() 3. Х жиынының кез келген x, y, zэлементтерінде ![]() осы элементтердің арасындағы қашықтық деп аталады. Анықтама 2. Элементтерінің арасындағы қашықтық анықталған Х жиыны метрикалық кеңістік деп аталады. Сонымен, метрикалық кеңістік – жиын мен осы жиында анықталған қашықтықтан тұратын қосақ: ![]() Метрикалық кеңістіктердің жиі кездесетін мысалдары: ![]() Метрикалық кеңістіктерде үшбұрыш аксиомасының орындалатынын тексергенде жиі қолданылатын теңсіздіктер: 1. Коши-Буняковский теңсіздігі: ![]() және оның салдары: ![]() 2. Гельдер теңсіздігі: ![]() ![]() 3. Минковский теңсіздігі: ![]() Осы теңсіздіктердің дәлелдеуін білу керек (1, 62-65 беттер). 2-дәріс. Метрикалық кеңістіктеріндегі топологикалық ұғымдар. Метрикалық кеңістіктердегі топологикалық ұғымдарға шар және шар арқылы анықталатын нүктенің маңайы жатады. Ашық, тұйық жиындар және жиынның тұйықтамы туралы ұғымдар. Осы жиындардың қасиеттері мен олардың арасындағы байланыстар туралы теоремалар. Метрикалық кеңістіктердің негізгі типтері: * толық метрикалық кеңістік, * сепарабельді метрикалық кеңістік. Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек: - метрикалық кеңістік және осындай кеңістіктегі тополгиялық ұғымдарды (шар, нүктенің маңайы, олардың жиі қолданылатын метрикалық кеңістіктердегі мысалдары) - жиынның ішкі, сыртқы, шектік, оңаша нүктеледің анықтамаларын. - метрикалық кеңістіктегі ашық, тұйық жиындарды, мысалдарын; - жиынның тұйықтамын; - метрикалық кеңістіктегі ашық және тұйық жиындар туралы теоремаларды; - берілген жиында тығыз және барлық жерде тығыз жиындар туралы ұғым; - толық және және сепарабельді кеңістіктер және олардың мысалдары. Екінші тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған 3-дәріс. Толық метрикалық кеңістіктер туралы теоремалар. Анықтама 1. R=(X, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 2. Барлық фундаменталды тізбектері өз ішінде жинақталатын R=(X, ![]() Теорема 1. Толық метрикалық кеңістіктегі радиусы нөлге ұмтылатын, бірінің ішінде бірі орналасқан тұйық шарлар тізбегінің қиылысуы бос жиын болмайды. Бұл теорема бірінің ішінде бірі орналасқан сегменттер туралы лемманың кез келген тұйық кеңістіктегі жалпылануы болып табылады. Қысылған бейнелер принципі. Анықтама 3. R=(X, ![]() ![]() ![]() ![]() теңсіздігін қанағаттандыратын ![]() Теорема (Қысылған бейнелер принципі). Толық R метрикалық кеңістікте анықталған кез келген қысылу бейтеленуінің тек қана бір қозғалмайтын нүктесі болады. Бұл принципті, әдетте, польша математигінің атымен Банах теоремасы деп атайды. (1, стр., 67-97 беттер). ![]() ![]() ![]() Толық емес метрикалық кеңістіктің толықтамасы. Толық емес Q кеңістігін толық ![]() ![]() Изометрлі метрлік кеңістіктер. Анықтама 2. Егер ![]() ![]() Анықтама 3. Егер ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() * Толық емес метрикалық кеңістікті толықтау. Метрикалық кеіңстікті толықтау теоремасының дәлелдеуін игеру. * Бірінің ішңнде бірі орналасқан шарлар туралы теорема. Осы дәріс бойынша игерілуі тиіс тұжырымдар мен теоремалар: * определение Фундаменталды тізбектің анықтамасы; * толық метрикалық кеңістіктің анықтамасы; * бірінің ішінде бірі орналасқан шарлар туралы теорема; * қысылу бейнелеудің анықтамасы; * қысылған бейнелер принципі (Банах теоремасы); * толық емес метрикалық кеңістіктің толықтамасы; * толық және толық емес метрикалық кеңістіктердің мысалдары; * изометрлі метрлік кеңістіктер, мысалдары; * толық емес метрикалық кеңістікті толықтау процесі. 4-дәріс. Сызықты кеңістіктер 1. Сызықты кеңістіктің анықтамасы. Сызықты кеңістік деп (СК) элементтерін қосу мен санға көбейту амалдарына қатысты тұйық жиынды айтады. Сонымен (СК): ![]() ![]() ![]() ![]() Элементті санға көбейту мына аксиомаларды мына аксиомларды қанағаттандыруы керек: ![]() Егер СК нақты санға көбейту амалы анықталса, онда СК нақты, ал кешен санға көбейту амалы анықталса кешен СК деп аталады 2. СК мысалдары: 1. ![]() 3. Изоморфты СК анықтамасы. ![]() ![]() 4. Изоморфты СК мысалдары. Мұндай СК қарапайым мысалдарына ![]() ![]() ![]() 5. СК сызықты тәуелді элементтер жүйесі. 6. СК сызықты тәуелсіз элементтер жүйесі. 7. СК кеңістіктің өдшемділігі. 8. СК базисі. 9. СК ішкеңістігі. 10. Меншікті ішкеңістік. 11. Меншікті ішкеңістіктің мысалдары. 12. ![]() 13. Фактор-кеңістік. 14. Сызықты функционал. 15. Сызықты функционалдың геометриялық мағынасы. Әдебиет (1, Гл. 111,п.1, стр.159-161) 4-дәріс бойынша ОСӨЖ тапсырма: осы дәрістің пункттеріндегі ұғымдарды игеру. Үшінші тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған 5-дәріс. Нормаланған СК (НЛП). СК элементінің нормасы. Ішкеңістік, оның өлшемділігі. Тізбек элементтерінің нормасы бойынша жинақтылық. Банах кеңістігі. Гельдер және Минковский теңсіздіктері. Банах кеңістіктерінің мысалдары. Лебегтің қосындыланатын функциялар кеңістігі ![]() ![]() Нормаланған СК тақырыбына бір дәрәс және 2 жаттығу сабағы бөлінген. Осы тақырыл бойынша суденттер білуі керек. - нормаланған СК ұғымын; - элементтің нормасын; - НСК-тегі элементтер тізбегі жинақтылығынын; - ішкеңістік және оның өлшемділігін; - Банах кеңістігін; - Гельдера және Минковский теңсіздіктерін; - Банах кеңістігінің мысалдарын; - Лебегтің ![]() - Лебегтің қосындыланатын функциялар кеңістігі ![]() ![]() - Евклид кеңістігін; - Гильберт кеңістігін; - вектор ұзындығын; - векторлар арасындағы бұрыштың анықтамасын және Банах кеңістігінде ортогонал дерлік элементтер жүйесінің бар болатындығын. 6-дәріс. Гильберт кеңістігі. Изоморфизм туралы теорема Дәріс мазмұны. Гильберт кеңістігінің анықтамасы, мысалдары. Изоморфизм туралы теорема. Ішкеңістік, ортогонал толықтауыш, тура қосынды. Понятия о комплексных Кешен Евклид кеңістігі туралы ұғым (әдебиет 1, 111 т., 6 – 9 пп, стр.180 – 190 беттер). Анықтама. Шексіз өлшемді толық евклид кеңістігі Гильберт кеңістігі деп аталады. Толығырақ, ![]() ![]() СӨЖ тапсырма. Өздік жұмыста төмендегі ұғымдар мен тұжырымдарды игеру керек: * Гильберт кеңістігінің анықтамасын; * Гильберт кеңістігінің мысалдарын; * Гильберт кеңістіктерінің изоморфтылығы туралы теореманы; * Гильберт кеңістігінің сепарабельді болатындығы туралы теореманы; * ішкеңістік және оның ортогонал толықтауышын; * Гильберт кеңістігінің ортонормаланған ішкеңістіктер жүйесін * Гильберт кеңістігін ортонормаланған ішкеңістіктердің қосындысы ретінде өрнектеу; * Евклид кеңістігінің сипаттаыш қасиеті. Жаттығу сабақтарында 6-дәрістің теориялық материялдары талқыналады. |