3. 2 Д_рістер материалдарын о_у_а методикалы_ жетекшілік 1-Та_ыр. 3. 2 Дрістер материалдарын оуа методикалы жетекшілік 1Таырып. Метрикалы кеістіктер

• Название: 3. 2 Дрістер материалдарын оуа методикалы жетекшілік 1Таырып. Метрикалы кеістіктер
• Дата: 08.12.2020
• Размер: 494 Kb.
• Имя файла: 3. 2 Д_рістер материалдарын о_у_а методикалы_ жетекшілік 1-Та_ыр.doc
• Тип: Документы; #158512
• страница: 2 из 3

Төртінші тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған.

7,8-дәрістер. «Сызықты нормаланған метрикалық кеңістіктегі компактылық» тақырыбына екі дәріс төрт жаттығу сабақ бөлінген. Бұл тақырыпта студенттер шенелген, жете шенелген, компакт, шалакомпакакт жиындар туралы ұғымдарды игеруі керек. Бұл тақырыптағы негізгі мәселе метрикалық кеңістіктегі жиындардың компакт немесе шалакомпакакт болу критерийлерін игеру. Осымен қатар, жеке метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт болу шарттарын игеру. Жиынның метрикалық кеңістіктегегі компакт болу белгісі – Хаусдорф теоремасы. Бұл жалпылама теореманы жеке қарастырылатын метрикалық кеңістікте қолдану көптеген қиын мәселелерді шешуді керек қылады. Сондықтан жекелеген метрикалық кеңістікте қолдануға қолайлы критерилер қалаптасқан. Мысалы кеңістігіндегі жиын компакт болуы үшін оның шенеулі болуы жеткілікті, ал кеңістігіндегі жиын компакт болуы үшін Арцель теоремасының шарттары орындалуы керек.

Осы тақырып бойынша студенттер білуі керек:

- шенелген және жете шенелген жиындар ұғымын;

- метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт болу шартын (Хаусдорф теоремасын).

- шала компактылық критериін;

- жекелеген метрикалық кеңістіктегі жиынның компактылық шарттарын;

- Арцел теоремасын;

- ақырлы өлшемді кеңістіктегі жиынның компакт болу шартын.

Әдебиет: Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа, «НАУКА» М. 1965. (Гл. 5. пп.1, 2, стр. 228-256).
Бесінші тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған.

9-дәріс. Сызықты функционалдар.

Анықтама 1. Сызықты нормаланған кеңістікте анықталған функционалы сызықты деп аталады, егер бұл функционал

1) аддитивті ,

2) біртекті болса.

Функционалдың геометриялық мағынасы (1, стр. 147).

Сызықты функционалдың ядросы. Сызықты функционалы шартын қанағаттандыратын сызықты L кеңістігінің барлық нүктелер жиыны осы функционалдың ядросы деп аталады да, деп белгіленеді.

Тапсырма 1. -тің L кеңістігінің ішкеңістігі болатынын көрсетіңіздер.

2. Покажите, что -тің коөлшемі 1-ге тең болатынын көрсетіңіздер.

Анықтама 2. Сызықты нормаланған L кеңістігінде анықталған функционал , осы кеңістіктің нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер кез келген санына сәйкес санын, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық нүктелерінде теңсіздігі орындалса.

Анықтама 3. Нормаланған сызықты кеңістікте анықталған функционалы шенеулі деп аталады, егер осы кеңістікте теңсіздігін қанағаттандыратын М саны табылса L.

Анықтама 4. теңсіздігін қанағаттандыратын М санының ең кіші мані функционалының нормасы деп аталады да . символымен белгіленеді.

Сонымен, , барлық нүктелерінде.

Сызықты функционал нормасының геометриялық мағынасы

Егер гипержазықтығының координат басынан қашықтығы d болса, онда , болатынын дәлелдеңіздер. сызықты функционал -тің нормасы d қашықтығына кері сан. (1, стр. 204-208).

Сызықты функционалдың үзіліссіздігі мен шенеулілігі өзара эквиваленті ұғымдар.

Теорема 1. Егер сызықты функционал сызықты L кеңістігінің қандайда болмасын бір нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл функционал осы кеңістікте үзіліссіз болады.

Теорема 2. Әрбір үзіліссіз функционал шенеулі және шенеулі функционал үзіліссіз болады

Хан–Банах теоремасы. Нақты нормаланған сызықты E кеңістігінің сызықты L ішкеңістігінде анықталған шенеулі сызықты функционалының Е кеңістігне дейінгі сызықты созындысын, нормасын өзгертпей анықтакға блады. Демек, егер бұл созынды болса, онда барлық нүктелерде теңдігі орындалады және болады.

СӨЖ тапсырма:

* сызықты функционалдың анықтамасы;

* сызықты функционалдың ядросы;

* сзықты функционалдың геометриялық мағынасы;

* -тің коөлшемі;

* сызықты функционал үзіліссіздігінің анықтамасы;

* шенелгендік және үзіліссіздік;

* сызықты функционалдың нормасы және оның геометриялық мағынасы;

* Берілген сызықты кеңістіктің сызықты ішкеңістігінен берілген кеңістікке дейінгі сызықты функционалдың жалғасы туралы Хан – Банах теремасы.
Шешуге ұсынылатын есептер. И.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С.Соболева, Задачи и упражнения по функциональному анализу.

№ 11.2, 11.3, 11.4, 11,5.

10-дәріс. Анықтама. Сызықты Е кеңістігінде анықталған барлық сызықты функционалдар жиыны өз кезегінде сызықты кеңістік болады (дәлелдеңіздер). Бұл кеңістік берілген кеңістікке түйіндес кеңістік деп аталады да, деп белгіленеді.

Сонымен, , мұндғы – Е кеңістігінде анықталған сызықты функционал.

Түйіндес кеңістіктегі норма: немесе . Сонымен, түйіндес кеңістіктік – нормаланған сызықты кеңістік.

Түйіндес кеңістіктегі әлді топология – осы кеңістіктегі топология бойынша жинақтылық.

Теорема 1. Түйіндес кеңістік әрқашан толық.

Түйіндес кеңістіктің мысалдары (1, стр. 215 бетке қара).

1-6 мысалдарды игеру керек.

Екінші түйіндес кеңістік. Өзіне түйіндес және рефлексивті кеңістіктер. Осындай кеңістіктердің мысалдары.

СӨЖ тапсырма:

* -ның толық сызықты кеңістік болатынын дәлклдеу;

* -дегі әлді жинақтылық;

* тұйіндес кеңістіктің мысалдары (1-6-шы мысалдар);

* екінші түйіндес кеңістік;

* өзіне түйіндес және рефлексивті кеңістіктер, мысалдары.
Алтыншы тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған

Түйіндес кеңістіктің мысалдары.

кеңістігіндегі функционалдың жалпы түрі.

кеңістігіндегі сызықты функционалды деп алайық.

Сызықты функционалдың анықтамасы бойынша, .

, деп белгілеп алсақ, болады. Енді

шарттарын қанағаттандыратын сызықты функционалддары үшін



теңдіктері орындалатынын ескеріп, функционалын



түріне келтіремізде оның нормасын анықтаймыз. Осы мақсатпен, үшін

.

теңсіздігінен төмендегі сұлбаға келеміз:

. (*)

Осымен қатар, элементі

және теңдіктері орындалатынын ескеріп, болатынын көреміз. Демек, (*) теңсіздігінде элементе теңдік орындалатынын көркміз. Сондықтан,

болады.

Сонымен біз -ге түйіндес кеңістігіне келеміз. Яғни, өлшемді евклид кецістігіне түйіндес кеңістік өлшемді евклид кецістігі болады.

СӨЖ тапсырма. кеңістіктеріне түйіндест кеңістіктерді табыңыздар.

Әдебиет. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М. 1968, 180-196 беттер.
Сегізінші тақырыпқа 2 дәріс және 4 жаттығу сабағы жоспарланған.

12-дәріс. Сызықты операторлар

Сызықты оператордың анықтамасы. Айтвлық нормаланған сызықты кеңістіктер болсын. Сызықты оператор деп мен нүктелерінде

(1)`

шартын қанағаттандыратын бейнелеуін айтамыз.

Оператордың сызықты болатынын дәлелдеу үшін (1) шартының орындалуын тексерсе жеткілікті. 1 – 7 мысалдарын шығару осы шарттың орындалуын тексеруге саяды. Оператордың үзіліссіздігі мен шенеулілігі функционалдың осындай қасиаттарінң ұқсас.

Тапсырма 1. Оператордың үзіліссіздігі мен шенеулілігінің анықтамасын жазыңыздар.

2. Сызықты кеңістіктің бір нүктесінде үзіліссіз оператор осы кеңістікте үзіліссіз болатынын дәлелдеңіздер.

3. Сызықты кеңістіктің нүктесінің қандайда болмасын бір маңайында шенеулі оператор осы нүктеле үзіліссіз болатынын және керісінше осы нүктеде үзіліссіз оператор шенеулі болатынын дәлелдеңіздер.

Операторлардың көбейтіндісі. Операторлар көбейтіндісін анықтау сұлбасы:

.

Белгілеулер : операторатормен байланысты ұғымдарды төмендегі символдармен белгілейміз.

D(A) – А операторының анықталу аймағы,

R(A) – А операторының мәндер аймағы,

Оператордың нормасы: немесе . Осы анықтамалардың эквиваленттілігін дәлелдеңіэдер.

Сызықты шенеулі операторлар кеңістігі. деп белгіленген барлық сызықты шенелген операторлар жиыны, нормаланған сызықты кеңістік болатынын дәлелдеңіздер. Операторларды қосу және санға көбейту амалдары мына: теңдіктер арқылы анықталады.

Сызықты шенелген операторлардың негізгі қасиеттерінің айтылуын В.А Треногиннің есеп кітабынан табасыздар 51, 52 беттер.

Осы қасиеттердің дәлелдеулері А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин кітабында 251-265 беттер.

СӨЖ тапсырма 1. Операторлар арасындағы қосу, санға көбейту, және операторлпрды көбейту амалдарын білу керек..

2. Шенеулі операторлар кеңістігінің анықтамасын білу керек. осындай кеңістіктің мысыалдарын игеру керек.

3. Шенеулі операторлар кеңістігінің толық болу шартын білу керек.
13-дәріс. Кері оператор, оператордың керіленуі.

X кеңістігінен Y кеңістігіне әрекет ететін А операторы берілсін.