1. 2 Построение временных и частотных характеристик объекта по каналу управления при наличии и отсутствии запаздывания
![]()
|
1.2 Построение временных и частотных характеристик объекта по каналу управления при наличии и отсутствии запаздывания.Построение переходной функции ![]() Так как запаздывание только сдвигает переходную функцию на время , то вывод переходной функции будем делать для аналогичного звена без запаздывания, а «» - учтем в окончательной формуле. Таким образом, передаточная функция объекта имеет вид: ![]() Входной сигнал ![]() Изображение выходного сигнала имеет вид: ![]() Определим характер переходного процесса по дискриминанту характеристического полинома ![]() ![]() Так как дискриминант меньше нуля, значит корни комплексные и переходная функция объекта по каналу управления имеет колебательный характер. Определим корни характеристического полинома. Для этого воспользуемся функцией solve в среде Mathcad. ![]() Так как вещественная часть корней отрицательная, колебания носят затухающий характер. При этом частота колебаний должна быть равна 0,07198 Для построения переходной функции воспользуемся обратным преобразованием Лапласав среде Mathcad ![]() Теперь учтем влияние запаздывания и построим переходную функцию по каналу управления при наличии запаздывания и при его отсутствии. ![]() Рисунок 1.1 – Переходная функция каналу управления. Однако одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и характера входного воздействия x(t), что неудобно при сопоставлении динамических свойств различных элементов. Поэтому было решено характеризовать эти свойства элемента только одним решением дифференциального уравнения, полученным при нулевых начальных условиях и одном из типовых воздействий: единичном ступенчатом, дельта-функции, гармоническом, линейном. Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция h(t). Переходная функция h(t) элемента – изменение во времени выходной величины y(t) элемента при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть задана: · в виде графика; · в аналитическом виде. Переходная функция, как и любое решение неоднородного (с правой частью) дифференциального уравнения (2.19), имеет две составляющие: · вынужденную hв(t) (равна установившемуся значению выходной величины); · свободную hс(t) (решение однородного уравнения). Вынужденную составляющую можно получить решая уравнение (2.19) при нулевых производных и x(t) = 1 ![]() Свободную составляющую получаем решая уравнение (2.19) при нулевой правой части hс(t) = ![]() где pk – k-й корень характеристического уравнения (в общем случае комплексное число); Сk - k-я постоянная интегрирования (зависит от начальных условий). Характеристическое уравнение – алгебраическое уравнение, степень и коэффициенты которого совпадают с порядком и коэффициентами левой части линейного дифференциального уравнения вида (2.19) a0 pn + a1 pn –1 +…+ an = 0. (2.22) Построение амплитудно-частотной характеристики Передаточная функция канала: ![]() Так как запаздывание не влияет на амплитудно-частотную характеристику, то его можно исключить из передаточной функции: ![]() Сделаем замену ![]() ![]() Находим выражение для АЧХ объекта по каналу управления ![]() ![]() Построим АЧХ ![]() Рисунок 1.2 – Амплитудно-частотная характеристика объекта по каналу управления 1. ЧХ ![]() ![]() ![]() 2. ЧХ ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство периодичности функций следует из того, что их аргумент ![]() ![]() ![]() В зависимости от используемой шкалы частот период ЧХ, АЧХ и ФЧХ равен ![]() ![]() ![]() Если коэффициенты ПФ вещественные (а другие не рассматриваются), то АЧХ будет четной, а ФЧХ –нечетнойфункцией частоты [1]: ![]() ![]() Напомним, что четнойназывается такая функция, которая не изменяет своего значения при изменении знака переменной. Если же при изменении знака переменной изменяется знак функции, а ее абсолютное значение сохраняется неизменным, то такая функция называется нечетной. На практике представляют интерес графики АЧХ и ФЧХ в основнойполосе частот Получим частотную характеристику ![]() ![]() ![]() Выполнив замену ![]() запишем частотную характеристику в виде ![]() Раскроем экспоненты по формуле Эйлера, например, в знаменателе ![]() после чего выделим вещественные и мнимые части в числителе и знаменателе (1.74): ![]() где индексы «ч» и «з» означают числитель и знаменатель. Определим модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) частотной характеристики ![]() ![]() ![]() Полученные выражения используются для расчета АЧХ и ФЧХ в основной полосе частот. Построение фазо-частотной характеристики ФЧХ при отсутствии запаздывания: ![]() При ![]() ![]() ![]() Следовательно, при ![]() ![]() А при ![]() ![]() Внесение запаздывание добавляет линейно убывающие фазовые сдвиги и выражение для ФЧХ изменится следующим образом: При ![]() ![]() А при ![]() ![]() Построим графики ФЧХ объекта по каналу управления с запаздыванием и без. ![]() Рисунок 1.3 – ФЧХ объекта по каналу управления. Построение ФЧХ коэффициента передачи: Для построения ФЧХ непосредственно на основе схемы необходимо сохранить характер реактивного сопротивления. Поэтому эквивалентные схемы изобразим не для = 0, а для 0, не для a для
В соответствии с определением коэффициента передачи по напряжению ![]() Следовательно, ![]() ![]() Для удобства положим ![]() ![]() ![]() Построим векторные диаграммы для схемы рисунка 2.7а и б, соответственно:
Исходя из рис.2.8а, разность фаз между входным и выходным напряжениями составило 00, т.е. ![]() ![]()
Построение амплитудно фазовой характеристики При наличии запаздывания ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Без запаздывания ![]() Построим графики АФХ ![]() Рисунок 1.4 – АФХ объекта по каналу управления 1.3 Построение временных и частотных характеристик объекта по каналу возмущения 1Построение переходной функции Передаточная функция ![]() Так как запаздывание только сдвигает переходную функцию на время , то вывод переходной функции будем делать для аналогичного звена без запаздывания, а «» - учтем в окончательной формуле. Таким образом, передаточная функция объекта по этому каналу имеет вид: ![]() ![]() Изображение выходного сигнала имеет вид: ![]() Знаменатель этой дроби уже представлен в виде простейших множителей, поэтому сразу находим значение коэффициентов разложения ее на сумму дробей. ![]() ![]() Приводим левую часть к общему знаменателю: ![]() Следовательно: ![]() при свободном члене: ![]() ![]() при ![]() ![]() ![]() при ![]() ![]() ![]() Получаем: ![]() Находим оригинал: ![]() Учтем явление запаздывания: ![]() Таким образом, при ![]() ![]() ![]() Построим переходную функцию: ![]() Рисунок 1.5 – Кривая разгона объекта по каналу возмущения 1 Пусть теперь f(t) непериодическая функция и пусть при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем предельное выражение ряда Фурье f(t). Так как функция f(t) известна, то коефициенты ряда можно найти по ф.(43). Если выполнять интегрирование (43) при известной функции f(t), то получим ![]() Учитывая ф.(47) можно записать в виде: ![]() Обозначив ![]() ![]() Формула (49) представляет интеграл Фурье, где F(jω) - коефициетная функция, так как выполняет ролькоефициентов обычного родаФурье и может быть выражена через f(t). Действительна при ![]() 64. Формула (49) представляет интеграл Фурье, где F(jω) - коефициетная функция, так как выполняет ролькоефициентов обычного родаФурье и может быть выражена через f(t). Действительна при ![]() Подставив значение ![]() ![]() или (51) ![]() Формула (51) называется интегралом Лапласа. Интеграл Фурье и интеграл Лапласа являются двумя взаемно обратными преобразователями, тоесть первое является решением второго и наоборот. Интеграл Фурье и Лапласа можно обьеденить в одно уравнение ![]() ![]() Для практическаго решения задач пользуемся более удобным ![]() Это уравнение называют двойным интегралом Фурье. Представление f(t) двойным интегралом Фурье получим при условии ![]() Если это уравнение не выполняемо, то чтобы применить (52), необходимо предварительно умножить f(t) на функцию ![]() ![]() ![]() Так как его условия выполняются представим его двойным интегралом Построение амплитудно-частотной характеристики Передаточная функция канала: ![]() Исходя из понятия амплитуды комплексного числа, определим АЧХ как: ![]() Используя среду Mathcad,рассчитаем и построим график АЧХ объекта по каналу возмущения 1. ![]() Рисунок 1.6 – АЧХ объекта по каналу возмущения 1 В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций: ![]() ![]() ![]() ![]() Часто в теории цепей используют нормированную или рабочую передаточную функцию четырехполюсника: ![]() которая получается путем нормирования (1.1) множителем ![]() ![]() Как всякую комплексную величину Н можно представить в показательной форме: ![]() где ![]() Рассмотрим комплексную передаточную функцию по напряжению ![]() Подставляя в (1.5) запись комплексных действующих значений ![]() получим ![]() Из сравнения этого выражения с (1.4) видно, что ![]() т. е. модуль комплексной передаточной функции по напряжению (или комплексного коэффициента усиления по напряжению) показывает во сколько раз изменяется действующее значение (амплитуда) гармонического колебания напряжения на выходе цепи по сравнению с аналогичным значением на входе цепи, а аргумент этой функции определяет сдвиг фаз между гармоническими колебаниями напряжения на входе и выходе. Точно так же можно найти: ![]() Все сказанное выше о коэффициенте передачи по напряжению справедливо и для коэффициента передачи по току. ![]() Если мы будем изменять частоту гармонического колебания, то выражение (1.4) следует записать в виде: ![]() Функция частоты ![]() Функция частоты ![]() Комплексную передаточную функцию ![]() ![]() где Re и Im означают реальную и мнимую части комплексной величины. Из теории комплексных величин известно, что ![]() Построение фазо-частотной характеристики сходя из понятия фазы комплексного числа, определим ФЧХ как: ![]() Используя среду Mathcad,рассчитаем и построим график ФЧХ объекта по каналу возмущения 1.При этом необходимо помнить, что функция ![]() ![]() ![]() ![]() Построим график ФЧХ ![]() Рисунок 1.7 – ФЧХ объекта по каналу возмущения 1. Построение амплитудно фазовой характеристики Амплитудно-фазовая характеристика объекта по каналу возмущение 1 определяется следующим выражением: ![]() Рассчитаем и построим график АФХ в среде Mathcad ![]() Рисунок 1.8 – АФХ объекта по каналу возмущения 1 1.4 Построение временных и частотных характеристик объекта по каналу возмущения 21) Для составления передаточной функции по управлению Wy(p) необходимо положить возмущающее воздействие m1(p) =0. Wy(p) =X1(p) /u(p) Система примет вид: ![]() После математических преобразований и подстановки Cm=10; fm=10; u=220; a21=0. 025; a31=22; a32=10, получим: ![]() 2) Для составления передаточной функции по возмущению WВ(p) необходимо u(p) =0. WВ(p) =X1(p) /m1(p) Система примет вид ![]() После математических преобразований и подстановки Cm=10; fm=10; u=220; a21=0. 025; a31=22; a32=10, получим: ![]() Составим структурную схему: ![]() Рисунок 3. 1-структурная схема. ![]() На схеме и . ![]() Воспользуемся пакетом Simulink системы MatLab. ![]() Рисунок 3. 2 - схема моделирования Далее представлены показания Scope, Scope1: Scope Scope1 ![]() ![]() Рисунок 3. 3 - показания Scope, Scope1 Построение временных и частотных характеристик объекта управления Используя полученные ранее передаточные функции по управлению ![]() = ![]() и возмущению ![]() получим ЛАЧХ L(w) =20lg|W(j w) | [dB] и ЛФЧХ j(w) =arctg(“v (w) /u (w)). 1) Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ для функции по управлению: ![]() Ly(w) =20lg(0. 01) - 10lg(-0. 001936w2+(1-0. 01w2) 2) - 20lg(w) jУ(w) =-р - arctg((0. 001w2-1) /0. 001936w) Непосредственно в MATLAB набираем: a = [0. 01]; b = [0. 0002 0. 044 1 0] [h, w] = freqs(a, b); mag = abs(h); phase = angle(h); subplot(2,1,1), semilogx(w, 20*log10(mag)); grid on; ylabel('dB'); subplot(2,1,2), semilogx(w,phase*180/pi); grid on; ylabel('rad'); ![]() Рисунок 4.1 - ЛАЧХ и ЛФЧХ для функции по управлению 2) Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ для функции по возмущению: 1) ![]() LВ(w) =10lg(0. 000484+10-8w) - 20lg(w) - 10lg((1-2*10-4w) 2-0. 001936w2) jВ(w) =-(arctg0. 0045w - arctg((0. 0002w-1) /0. 001936w) Непосредственно в MATLAB набираем: a = [0. 0001 0. 0022]; b = [0. 0002 0. 044 1] [h, w] = freqs(a, b); mag = abs(h); phase = angle(h); subplot(2,1,1), semilogx(w, 20*log10(mag)); grid on; ylabel('dB'); subplot(2,1,2), semilogx(w,phase*180/pi); grid on; ylabel('rad'); ![]() Рисунок 4.2 - ЛАЧХ и ЛФЧХ для функции по возмущению |