физика. 1. Элементы Кинематики
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
Тема 4. Механика твердого тела Вопрос 1. Момент инерции. При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерциисистемы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс и материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами . В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 15). Рис. 15. Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины с внутренним радиусом r и внешним . Момент инерции каждого полого цилиндра (так как то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где - масса всего элементарного цилиндра; его объем Если - плотность материала, то Тогда момент инерции сплошного цилиндра но так как - объем цилиндра, то его масса а момент инерции Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями: Приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m масса тела). Таблица 1
Вопрос 2. Кинетическая энергия вращения. Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него. Разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами находящиеся на расстоянии от оси. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами опишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости . Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова: (34) Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов: или . Используя выражение (34), получаем , где - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела (35) Из сравнения формулы (35) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно следует, что момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении. Формула (35) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: где т - масса катящегося тела; - скорость центра масс тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; - угловая скорость тела. Вопрос 3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 16): Рис. 16. Рис. 17. Здесь М - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы (36) где a - угол между r и F; - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы. Моментом силы относительно неподвижной осиz называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 17). Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z. Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью: Найдем выражение для работы при вращении тела. Рис. 18. Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии r, а - угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: (37) Учитывая (36), можем записать где - момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: или Учитывая, что получаем (38) Уравнение (38) представляет собой уравнение динамикивращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси. Вопрос 4. Момент импульса и закон его сохранения. При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси. Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точка О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А; - импульс материальной точки (рис. 19); L - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р. Модуль вектора момента импульса где а - угол между векторами r и р; l - плечо вектора р относительно точки О. Рис. 19. Моментом импульса относительно неподвижной осиz называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса не зависит от положения точки О на оси z. При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса некоторой скоростью Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора . Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен (39) и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: Используя формулу получим т. е. (40) Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (40) по времени: Это выражение - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. В замкнутой системе момент внешних сил , откуда (41) Выражение (41) представляет собой законсохранения момента импульса:момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса - фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол). Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 2). Таблица 2
Вопрос 5. Деформации твердого тела. Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. Деформация называется упругой,если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации,которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига. Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S, к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы в результате чего длина стержня меняется на величину (рис. 20). Естественно, что при растяжении положительно, а при сжатии отрицательно. Рис. 20. Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением (42) Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным,если же по касательной к поверхности - тангенциальным. Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация) (43) а относительное поперечное растяжение (сжатие) где d - диаметр стержня. Деформации и всегда имеют разные знаки (при растяжении положительно, а отрицательно, при сжатии отрицательно, a положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь и : где - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона. Английский физик Р. Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение и напряжение прямо пропорциональны друг другу: (44) где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из выражения (44) видно, что модуль Юнгаопределяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице. Из формул (43), (44) и (42) вытекает, что или (45) где k - коэффициент упругости. Выражение (45) задает закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до некоторого предела. Связь между деформацией и напряжением представляется в виде диаграммы напряжений, качественный ход которой мы рассмотрим для металлического образца (рис. 21). Из рисунка видно, что линейная зависимость установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности . При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость уже нелинейна) и до предела упругости остаточные деформации не возникают. Рис. 21. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, а параллельной ей - CF. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация ( ), называется пределомтекучести - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести(или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими,для которых же она практически отсутствует - хрупкими.При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим. Вычислим потенциальную энергию упруго растянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации: . где х - абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до . Согласно закону Гука, Поэтому т. е. потенциальная энергия упруго растянутого стержня пропорциональна квадрату деформации Практическое занятие по решению задач: 1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону Найти величину и направление полного ускорения точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения для момента времени . Дано: Найти: Решение: Точка описывает окружность радиуса r. Полное ускорение точки , движущейся по криволинейной траектории, равно геометрической сумме векторов тангенциального и нормального ускорений, угол между которыми равен . Величина полного ускорения: Тангенциальное и нормальное ускорения выражаются формулами угловая скорость тела, угловое ускорение, r расстояние точки от оси вращения. Подставляя эти выражения в формулу для полного ускорения, получим: Угловая скорость равна первой производной от угла поворота по времени: При значение Угловое ускорение это первая производная от угловой скорости по времени: Тогда Из рисунка видно, что угла между направлением и равен: Угол Угол между и будет равен: 2. Маховик массой 4 кг свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, делая 720 об/мин. Массу маховика можно считать распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое делает маховик до полной остановки. Дано: Найти: M, N. Решение: для определения тормозящего момента M нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения (1) где J момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; изменение угловой скорости за время причем конечная угловая скорость, а начальная; M тормозящий момент сил, действующих на тело. По условию задачи так как конечная угловая скорость Выразим начальную угловую скорость через число оборотов маховика в единицу времени, тогда Момент инерции маховика где m масса маховика, а R его радиус. Зная все величины, можно определить тормозящий момент: откуда Угол поворота (угловой путь ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения , (2) где угловое ускорение. По условию задачи: Тогда выражение (2) может быть записано так: (3) Формула (3) может быть также получена по значению средней угловой скорости. Выразив значение через число полных оборотов N и через число оборотов маховика в единицу времени, найдем . Отсюда определим число полных оборотов N: 3. Два маховика в виде дисков одинаковых радиусов и масс были раскручены до скорости вращения 480 об/мин и предоставлены самим себе. Под действием сил трения валов о подшипники первый остановился через 80 с, а второй сделал 240 оборотов до остановки. У какого маховика момент сил трения валов о подшипники был больше и во сколько раз? Дано: Найти: . Решение: момент сил трения первого маховика найдем, воспользовавшись основным уравнением динамики вращательного движения где время действия момента сил трения; J момент инерции маховиков ; начальная и конечная угловые скорости маховиков; масса. Тогда Момент сил трения второго маховика выразим через связь между работой A сил трения и изменением его кинетической энергии : , где угол поворота; N число оборотов маховика. Легкая нить с прикрепленным к ней грузом массой 2 кг намотана на сплошной вал радиусом 10 см. При разматывании нити груз опускается с ускорением Определить массу и момент инерции вала. Дано: Найти: Решение: вал приходит во вращение под действием момента силы M, равного масса груза, опускающегося с ускорением a, r - радиус вала. Согласно уравнению динамики вращательного движения, где J момент инерции вала, угловое ускорение. Отсюда Момент инерции сплошного цилиндра (вала) определяется по формуле , откуда 4. Шар и полный цилиндр одинаковой массы катятся равномерно без скольжения по горизонтальной поверхности и обладают одинаковой кинетической энергией. Во сколько раз отличаются их линейные скорости? Дано: . Найти: . Решение: Кинетическая энергия тела, участвующего одновременно в двух движениях, складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движений Учитывая, что момент инерции полого цилиндра равен шара , а связь угловой и линейной v скоростей выражения для полого цилиндра и шара будут иметь вид По условию задачи , откуда Скорость шара в 1,2 раза больше скорости цилиндра. 5. Шар массой 20 г, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массой 40 г. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю ε своей кинетической энергии первый шар передал второму? Дано: Найти: Решение: Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением: (1) где кинетическая энергия первого шара до удара; скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем u2. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим: (2) По закону сохранения механической энергии: (3) Решая совместно уравнения (2) и (3), найдем Подставив выражение для u2 в формулу (1) и сократив на v1 и m1, получим Задание для самостоятельной работы: 1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент времени. 2. К ободу однородного сплошного диска радиусом приложена постоянная касательная сила . При вращении диска на него действует момент сил трения . Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 3. Человек массой , стоящий на краю горизонтальной платформы массой , вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой, определить, с какой частотой n2 будет тогда вращаться платформа. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||