Примеры задач. Примеры решения задач. 1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма

• Название: 1. Генеральная совокупность и выборка. Статистический ряд. Статистическая функция распределения. Гистограмма
• Анкор: Примеры задач
• Дата: 05.06.2022
• Размер: 0.96 Mb.
• Имя файла: Примеры решения задач.pdf
• Тип: Документы; #571091
• страница: 2 из 4

Интервальные оценки параметров распределения.
Доверительный интервал
В ряде задач требуется не только найти с помощью статистических данных точечную оценку

a
для параметра a распределения, но и оценить ее точность и надежность, так как в силу случайности a приближенная замена
a на a может привести к серьезным ошибкам. Для определения точности оценки в математической статистике используют доверительные интервалы, для определения надежности - доверительные вероятности.

Пусть для параметра a распределения случайной величины Х получена несмещенная оценка a . Задаем достаточно высокую вероятность

(напри- мер,
95
,
0


) и находим такое значение

> 0, для которого
γ
ε)
a
a
P(




. Данное равенствоможно переписать в другом ви- де:
γ
ε)
a
a
-ε
a
P(






и истолковать следующим образом: неизвест- ное значение параметра а с вероятностью

попадает в интервал
ε)
a
-ε
a
(
I
γ



,

. Или говорят, интервал

I с высокой вероятностью

по- крывает неизвестный параметр a .
Интервал

I называется доверительным интервалом; центр его на- ходится в точке a , радиус его

.
Вероятность

называется доверительной вероятностью или надеж-
ностью.
Итак, доверительный интервал

I - это интервал с центром в точ-
ке a и радиусом

, который с высокой вероятностью (надежностью) по-
крывает неизвестный параметр
а
.
Найти доверительный интервал – это значит, по статистическим дан- ным найти центр интервала a и радиус его

> 0.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения случайной величины с известным

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвест- ным математическим ожиданием
a
и известной дисперсией

2
. Пусть произ- ведено n независимых опытов и на основании статистических данных полу- чено выборочное среднее:
1 1


n
i
X
n
x
Тогда доверительный интервал имеет вид:
n
t
x
a
n
t
x








Значение t находим по таблице приложения из выражения
2
)
(



t
;
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
нормального распределения с неизвестным

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с не- известным

имеет вид:
n
S
t
x
a
n
S
t
x








, где

t – коэффициент Стьюдента (находим по таблице приложения).
Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического
отклонения

нормального распределения

Пусть исследуемая случайная величина X генеральной совокупности распределена по закону N(a,

). По статистическим данным найдено “исправ- ленное” среднее квадратическое отклонение S. Требуется найти для него до- верительный интервал с надежностью

Требуется найти такое

> 0, чтобы выполнялось равенство:






)
|
(|
S
P
Доверительный интервал для оценки среднего квадратического откло- нения

нормального распределения ищем по формуле
)
1
(
)
1
(
q
S
a
q
S






, q– находим по таблице приложения
Пример 7. С целью определения среднего трудового стажа на предпри- ятии методом случайной повторной выборки проведено обследование трудо- вого стажа рабочих. Из всего коллектива рабочих завода случайным образом выбрано 400 рабочих, данные о трудовом стаже которых и составили выбор- ку. Средний по выборке стаж оказался равным 9,4 года. Считая, что трудовой стаж рабочих имеет нормальный закон распределения, определить с вероят- ностью 0,97 границы, в которых окажется средний трудовой стаж для всего коллектива, если известно, что

= 1,7 года.
Решение. Признак Х – трудовой стаж рабочих. Этот признак имеет нормальный закон распределения с известным параметром

= 1,7, параметр
а неизвестен. Сделана выборка объемом n = 400, по данным выборки найдена точечная оценка параметра а: x
в
= 9,4. С надежностью

= 0,97 найдем интервальную оценку параметра ген
x
a

по формуле:
n
t
x
x
n
t
x








в ген в
По таблице значений функции Лапласа из уравнения
Ф(t)

2 97
,
0
= 0,485 находим t
=
2,17; тогда:
,
400 1,7 2,17
+
9,4 400 7
,
1 17
,
2 4
,
9
ген





x
9,4 – 0,18 <
x
ген
< 9,4 + 0,18.
Итак, 9,22 <
x
ген
< 9,58, то есть средний трудовой стаж рабочих всего коллектива лежит в пределах от 9,22 года до 9,58 года (с надежностью

=
0,97).
С изменением надежности

изменится и интервальная оценка.
Пусть

= 0,99, тогда Ф(t) = 0,495, отсюда t = 2,58. Тогда:
,
20 1,7 2,58
+
9,4 20 7
,
1 58
,
2 4
,
9
ген





x

или 9,4 – 0,22 <
x
ген
< 9,4 + 0,22 .
Окончательно: 9,18 <
x
ген
< 9,62.
Пример 8.Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным

=3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по его выборочному среднему
1
,
4

x
, если из- вестны объем выборки
36

n
и
95
,
0


Решение. Воспользуемся формулой:
)
|

(|



a
a
P
=2Ф(


n

)=

,
t =


n

,
475
,
0
)
(
,
2
)
(




t
t

. Значение t находим на таблице для функции Лапласа: t = 1,96. Тогда
n
t




=
36 3
96
,
1

=0,98. Таким образом, получим доверительный интервал:
)
08
,
5
;
12
,
3
(
)
98
,
0 1
,
4
;
98
,
0 1
,
4
(





I
Пример 9.С целью определения средней продолжительности рабочего дня на предприятии методом случайной повторной выборки проведено об- следование продолжительности рабочего дня сотрудников. Из всего коллек- тива завода случайным образом выбрано 30 сотрудников. Данные табельного учета о продолжительности рабочего дня этих сотрудников и составили вы- борку. Средняя по выборке продолжительность рабочего дня оказалась рав- ной 6,85 часа, а S = 0,7 часа. Считая, что продолжительность рабочего дня имеет нормальный закон распределения, с надежностью

= 0,95 определить, в каких пределах находится действительная средняя продолжительность ра- бочего дня для всего коллектива данного предприятия.
Решение. Признак Х – продолжительность рабочего дня. Признак имеет нормальное распределение с неизвестными параметрами. Сделана выборка объемом n = 30, по выборочным данным найдены точечные оценки параметров распределения: x
в
= 6,85; S = 0,7. С надежностью

= 0,95 найдем интервальную оценку параметра ген
x
a

по формуле:
,
в ген в
n
S
t
x
x
n
S
t
x








t

находим по таблице распределения Стьюдента, t

= t(0,95; 30) = 2,045.
Тогда:
30
,7 0
2,045
+
,85 6
30 7
,
0 045
,
2 85
,
6
ген





x
, или 6,85 – 0,26 <
x
ген
< 6,85 + 0,26 .

Итак, 6,59 <
x
ген
< 7,11 , то есть с надежностью

= 0,95 средняя продолжительность рабочего дня для всегоколлектива лежит в пределах от
6,59 до 7,11 ч.
Пример 10. Случайная величина X имеет нормальное распределение.
По выборке объемом n = 15 найдены выборочная средняя
;
3
,
18

x
“исправ- ленное” среднее квадратическое отклонение
6
,
0

S
; Определить интерваль- ную оценку математического ожидания с доверительной вероятностью
95
,
0


Решение. По таблице приложения находим
15
,
2
)
15
(
95
,
0

t
Тогда
33
,
0 15 6
,
0 15
,
2




n
S
t


. Получим доверительный интервал
)
63
,
18
;
97
,
17
(
)
33
,
0 3
,
18
;
33
,
0 3
,
18
(





I
Пример 11. По данным 16 независимых равноточных измерений физи- ческой величины найдено выборочное среднее
451
,
35

x
и “исправленное” среднее квадратическое отклонение
62
,
3

S
. Требуется оценить истинное значение случайной величины с надежностью
95
,
0


Решение. Истинное значение измеряемой величины равна ее математи- ческому ожиданию a . Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном

) для нормального распределения при помощи доверительного интервала. Доверительный интервал находим, пользуясь таблицей распределения Стьюдента. По

=0,95 и
16

n
, находим
13
,
2


t
Имеем
93
,
1 4
/
62
,
3 13
,
2 16
/
62
,
3 13
,
2
/






n
S
t

)
381
,
37
;
521
,
33
(
)
93
,
1 451
,
35
;
93
,
1 451
,
35
(





I
Пример 12. Количественный признак генеральной совокупности рас- пределен по нормальному закону N(a,

). По выборке объема
16

n
найдено
“исправленное” среднее квадратическое отклонение
24
,
1

S
. Найти довери- тельный интервал для этой оценки с надежностью
95
,
0


Решение. По таблице приложения по
95
,
0


и
16

n
найдем
44
,
0

q
Доверительный интервал имеет вид:
79
,
1 69
,
0
)
44
,
0 1
(
24
,
1
)
44
,
0 1
(
24
,
1








).
Проверка статистических гипотез
При исследовании случайной величины X на основании статистических данных довольно часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности, или, если закон распределения известен, его параметры. В

этих случаях выдвигают гипотезы о виде предполагаемого распределения
или о предполагаемой величине параметра известного распределения.
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределе- ния или о параметрах известных распределений. Нулевой (основной) назы- вают выдвинутую гипотезу
H
0
. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу
H
1
, которая противоречит основной.
Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что мате- матическое ожидание a нормального распределения равна 5, то конкури- рующая гипотеза состоит в предположении, что
5

a
. Кратко это записыва- ют так:
5
:
0

a
H
;
5
:
1

a
H
Проверку выдвинутой гипотезы осуществляют статистическими мето- дами, поэтому ее называют статистической проверкой гипотез.
Статистическим критерием (или просто критерием) называют слу- чайную величину
K
, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Часто критерием служит случайная величина, распределенная по закону

2
или закону Стьюдента.
Наблюдаемым значением
K
наб называют значение критерия, вычислен- ное по выборке, т.е. получают частное (наблюдаемое) значение критерия, вычисленное с помощью частных значений, входящих в критерий величин.
После установления
K
, множество его значений разбивается на два пересе- кающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при ко- торых нулевая гипотеза отвергается, другое - при которых она принимается.
Критической областью называют множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью допустимых значений (область принятия гипотезы) назы- вают множество значений критерия, при которых нулевую гипотезу прини- мают.
Идея метода статистических гипотез состоит в следующем: если на- блюдаемое значение критерия принадлежит критической области - нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение принадлежит области до- пустимых значений - нулевую гипотезу принимают.
Критическая область и область принятия гипотезы представляют собой интервалы, поэтому существуют точки, которые их разделяют.
Критическими точками
k
кр называют точки, разделяющие критиче- скую область и область принятия гипотезы.
Различают односторонние критические области (правосторонние и ле- восторонние) и двусторонние.
Правосторонней называют критическую область определяемую нера- венством
K
k

кр
, где
k
кр
> 0.
Левосторонней называют критическую область, определяемую нера- венством
K
k

кр
, где
k
кр
< 0.
Двусторонней называют критическую область, определяемую нера- венствами
K
k K
k


1 2
,
, где
k
k
1 2

. В частности, если критические точки

симметричны, двусторонняя критическая область определяется неравенства- ми
K
k
 
кр
,
K
k

кр
, или
| |
K
k

кр
Гипотезы о виде предполагаемого закона распределения
Критерий
2

: (“хи-квадрат”) Пирсона – наиболее часто употребляе- мый критерий, может применяться для проверки гипотезы о любом законе распределения. Независимо от того, какое распределение имеет Х, распреде- ление случайной величины
2

:
2





s
i
i
i
i
m
m
m
1
т
2
т э
2
)
(

, где э
i
m
– эмпирические частоты, т
i
m – теоретические частоты; при


n
стремится к

2
–
распределению с k степенями свободы.
Теоретические частоты определяются, исходя из предположения о за- коне распределения генеральной совокупности, в данном случае о нормаль- ном законе. Так как
n
m
p
i
i

, где р
i
– теоретическая вероятность, то
i
i
p
n
m


т
Для дискретного ряда:
)
(
в
i
i
u
f
h
p



, где в

в
i
i
x
x
u


,
2 2
2 1
)
(
u
e
u
f




–дифференциальная фун- кция нормированного нормального распределения, шаг
1



i
i
x
x
h
, в
x – вы- борочная средняя, в
σ
– выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для интервального ряда:





















в в
1
в в
1
)
(


x
x
Ф
x
x
Ф
x
X
x
P
p
i
i
i
i
i
, где Ф(t)
–
функция Лапласа.
Рассчитав теоретические частоты, находят
2
набл„

. Из специальной таблицы
критических точек распределения

2
по заданному уровню значимости

(достаточно малая вероятность) и числу степеней свободы k находят
2
крит

(

, k) – границу правосторонней критической области. Здесь
k = s – r – 1, где s – число различных значений x
i
дискретного или число ин- тервалов (x
i–1
–
x
i
) непрерывного признака Х, r – число параметров предпола- гаемого закона распределения, для нормального распределения r = 2, отсюда
k = s – 3. Затем сравнивают
2
набл„

и
2
крит

(

, k) и делают вывод.
При формулировке вывода руководствуются следующим правилом:

если наблюдаемое значение критерия
2
набл„


2
крит

(

, k), то нет основа-
ний отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения признак Х

имеет нормальный закон распределения, расхождение между эмпириче- скими и теоретическими частотами (
m
i
э и
m
i
т
) случайное;

если наблюдаемое значение критерия
2
набл„


2
крит

(

, k), то нулевая ги-
потеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, рас-
хождение между эмпирическими и теоретическими частотами (
m
i
э и т
i
m
) значимо.
