Задачи для ГТ, ГТБ. 1 семестр. 1. кинематика поступательного движения радиусвектор точки

• Название: 1. кинематика поступательного движения радиусвектор точки
• Анкор: Задачи для ГТ, ГТБ. 1 семестр.doc
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: Задачи для ГТ, ГТБ. 1 семестр.doc
• Тип: Документы; #11588
• страница: 1 из 4

1. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Радиус-вектор точки: , где -единичные векторы для осей х,y,z; rx=х, ry=y, rz=z – проекции на координатные оси или декартовы координаты точки.

Вектор скорости точки:

Средняя скорость движения: , где S- путь, пройденный точкой за время t.

Средняя скорость перемещения: , где -модуль перемещения за время .

Ускорение точки:

Пройденный путь: , где V-модуль скорости.

Тангенциальное ускорение:.

Нормальное ускорение: , где R-радиус кривизны траектории.

Полное ускорение: .

1.1. Материальная точка движется вдоль прямой так, что ее ускорение растет линейно и за первые 10 с достигает значения 5 м/с². Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки, 2) пройденный точкой путь. Ответ: V=25 м/с, S=83,3 м.

1.2. Точка движется по окружности радиусом 4 м по закону , где S – пройденный путь, А=8 м, В=2 м/с², t- время. Определить, в какой момент времени нормальное ускорение равно 2 м/с². Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки в этот момент времени. Ответ: t=0,71 с, a_τ =4 м/с², V=2,8 м/с, a=4,5 м/с² .

1.3. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением , где А= 6 м, В=3м/с, С= 2 м/с², D=1м/с³. Определить для тела в интервале времени от t₁=1с до t₂= 4с: 1) среднюю скорость движения, 2) среднее ускорение. Ответ: V=28 м/с, а=19м/с².

1.4. Движение точки задано уравнением , где А=4м/с, В = - 0,05 м/с² . Построить графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения точки в интервале времени от t₁=0 до t₂=80с.

1.5. При движении тела в плоскости вектор скорости изменяется по закону . Найти: 1) перемещение тела за первые 4 с движения, 2) ускорение, 3) уравнение траектории. Ответ: ∆r=40м, а=5м/с², y = -1,33x.

1.6. Движение материальной точки задано уравнением , где – радиус-вектор точки, А= 0,5 м, ω= 5 рад/с. Найти уравнение и нарисовать траекторию движения точки, определить модуль скорости и модуль нормального ускорения. Ответ:, V= 2,5 м/с, а_n = 12,5 м/с².

1. 7. Точка движется в плоскости по закону: , . Найти путь, пройденный точкой за 10 с, угол между векторами скорости и ускорения, уравнение траектории движения . Ответ: .

1.8. Радиус-вектор частицы определяется выражением , где - единичные вектора осей Х, Y, Z. Вычислить: 1) путь S, пройденный частицей за первые 10с, 2) модуль перемещения ∆r за тоже время, 3) ускорение частицы. Ответ: S=500м, ∆r=500м, а=10 м/с².

1.9. Точка движется в плоскости по закону: ; . Найти путь, пройденный телом за 2с; угол между векторами скорости V и ускорения а; траекторию движения . Ответ: .

1.10. Радиус-вектор, определяющий положение движущейся частицы, изменяется по закону: Найти для этой частицы скорость, путь и перемещение спустя 2 с после начала движения. Ответ: V=9,5 м/с, 12,6 м.

1.11. Точка движется так, что вектор её скорости V меняется со временем по закону (м/с). Найти модуль перемещения за первые 4с её движения; модуль скорости в момент времени t=4c. Ответ: = 46,3 м, V = 33 м/с.

1.12. Точка движется в плоскости по закону: . Найти уравнение траектории и изобразить ее графически; вектор скорости и ускорения в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения составляет угол π/4 с вектором скорости . Ответ: ; , , t₀=0,75c.

1.13. Радиус-вектор частицы изменяется по закону . Найти вектор скорости , вектор ускорения ; модуль вектора скорости V в момент времени t = 2с. Ответ: ,, V=5,7 м/с.

1.14. Точка начинает двигаться по плоскости из начала координат с ускорением . Найти вектора скорости и перемещения в зависимости от времени и уравнение траектории . Ответ: ,, .

1.15. В течение времени τ скорость тела задается уравнением (0 ≤ t ≤ τ). Определить среднюю скорость движения и среднее ускорение за промежуток времени от начала движения до τ. Ответ: .

1.16. Точка движется в плоскости по закону: . Найти уравнение траектории и изобразить ее графически; вектор скорости и ускорения в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения составляет угол π/6 с вектором скорости . Ответ:, , t₀=0,93c.

1.17. Точка движется в плоскости по закону: . Найти путь, пройденный точкой за первые 10с движения; угол между векторами скорости и ускорения ; уравнение траектории движения . Ответ: .

1.18. Точка движется так, что ее вектор скорости меняется со временем по закону (м/с). Найти модуль перемещения точки за первые 2с её движения и модуль скорости в момент времени t=2c. Ответ: 16 м; 21,6 м/с.

1.19. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где α- постоянная, - постоянный вектор. Найти: 1) вектор скорости и ускорения частицы в зависимости от времени, 2) промежуток времени ∆t, по истечении которого частица вернется в исходную точку, 3) путь, который пройдет точка за время ∆t. Ответ: .

1.20. Точка движется в плоскости хоу по закону: . Найти уравнение траектории и изобразить ее графически; вектор скорости и ускорения в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения составляет угол π/3 с вектором скорости . Ответ:

1.21. Частица движется так, что ее радиус-вектор изменяется по закону: (м). По какому закону изменяется вектор скорости и вектор ускорения частицы? Найти модуль вектора скорости V в момент времени t = З с и перемещение тела ∆r за первые 4с движения. Ответ: ; V=18,4 м/с; ∆r = 50,6 м.

1.22. В плоскости движется точка так, что скорость ее изменяется по закону . Определить: 1) ускорение точки, 2) скорость через 5 с после начала движения, 3) перемещение за 5 с движения. Ответ: 2 м/с², 10 м/с, 25 м.

1.23. Точка движется в плоскости по закону: . Найти путь, пройденный телом за 10с; угол между векторами скорости и ускорения ; траекторию движения . Ответ: .

1.24. Точка движется в плоскости по закону: . Найти уравнение траектории и изобразить ее графически; вектор скорости и ускорения в зависимости от времени; момент времени t₀, в который вектор ускорения составляет угол π/3 с вектором скорости . Ответ: .

1.25. Частица движется по оси Х так, что ее скорость меняется по закону , где β - постоянная. Имея в виду, что в момент времени t=0 частица находится в точке Х=0, найдите: 1) зависимость от времени скорости и ускорения частицы, 2) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые S метров пути. Ответ:


3. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: , где ε- угловое ускорение, Jz- момент инерции тела относительно оси z.

Момент инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс: кольца радиуса R сплошного диска(цилиндра) тонкого стержня

3.1. На обод маховика диаметром 60см намотан шнур, к концу которого привязан груз с массой 2 кг. Определить момент инерции маховика, если он вращаясь равноускоренно под действием груза, за время t=3c приобрел угловую скорость 9 рад/с. Ответ: 1,78 кг∙м².

3.2. Вал в виде сплошного цилиндра массой m₁=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m₂=2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе? Ответ: 2,8 м/с².

3.3. С какими ускорениями будут двигаться тела в предыдущей задаче и какой будет сила натяжения нити, если в оси цилиндра действует сила трения, создающая тормозящий момент 1,2 Н∙м, а радиус цилиндра равен 0,1м? Ответ: 1,14 м/с²; 22,3 Н.

3.4. Массы грузов, показанных на рис.1, m₁=1,5 кг, m₂=2 кг, масса блока m₃=1кг. Коэффициент трения между грузом m₁ и горизонтальной поверхностью стола, по которому этот груз движется, равен µ=0,2. С каким ускорением движутся грузы? Ответ: 8 м/с².

3.5. На горизонтальной поверхности стола находится тележка с массой m₁=5кг. К тележке привязали легкую нить, которую перебросили через блок (масса m₃=2 кг, радиус 0,1 м), а к концу ее прикрепили гирю с массой m₂=3 кг (рис. 1). Какую кинетическую энергию будет иметь эта система тел спустя 0,5 с после начала движения? Трением пренебречь. Ответ: 12,5 Дж.

3.6. На горизонтальной поверхности стола находится тележка с массой m₁=0,5 кг. К тележке привязали легкую нить, которую перебросили через блок (масса m₃=0,2 кг, радиус 0,1 м), а к концу ее прикрепили гирю с массой m₂=0,3 кг (рис. 1). В оси блока действуют силы трения, создающие тормозящий момент М_торм=0,1 Н∙м. Коэффициент трения между поверхностью стола и тележкой равен µ=0,1. Какую кинетическую энергию будет иметь эта система тел спустя 0,5 с после начала движения? Ответ: 0,3 Дж.

3.7. На блок с массой m₁=5 кг и радиусом 10 см намотана нить, к концу которой привязан груз с массой m₂=1 кг. При поступательном движении груза вниз на вращающийся блок со стороны оси действует сила трения, создающая тормозящий момент М_торм=0,5 Н∙м. С каким ускорением будет при этом опускаться груз? Ответ: 1,43 м/с²

3.8. На вал в виде цилиндра с горизонтальной осью вращения намотана невесомая нить, к концу ее прикреплен груз. Какую угловую скорость будет иметь вал спустя 2с после начала движения груза, если масса вала 4 кг, его радиус 20 см, масса груза 0,2 кг, действием сил трения на движущиеся тела можно пренебречь. Ответ: 8,9 рад/с.

3.9. Гиря массой 1 кг опускается вертикально на легкой нити с высоты 0,5 м. Верхняя часть нити намотана на цилиндрический блок с массой 0,8 кг и радиусом 0,15 м. Блок вращается вокруг горизонтальной оси, со стороны которой на блок действует сила трения, создающая тормозящий момент М_торм=0,2 Н∙м. Сколько времени до остановки будет вращаться блок после того, как гиря упадет на землю? Ответ: 0,75 с.

3.10. На цилиндрический блок массой 1 кг с горизонтальной осью вращения намотана невесомая нить, которая переброшена через второй такой же блок, находящийся на одном горизонтальном уровне с первым. К концу нити привязали груз массой 0,8 кг и отпустили. С какими ускорениями будут двигаться тела системы? Какой будет сила натяжения нити между блоками? Ответ: 4,4 м/с², 2,2Н.

3.11. Найти ответы на вопросы предыдущей задачи, если в осях блоков действуют силы трения, создающие тормозящие моменты по 0,1Н∙м, а радиусы блоков равны 0,1 м. Ответ: 3,2 м/с², 1,6 Н.

3.12. Система тел состоит из двух грузов с массами m₁=2кг, m₂=3 кг и блока в форме цилиндра массой m₃=4 кг, закрепленного на вершине наклонной плоскости с углом наклона α=30⁰ и легкой нерастяжимой нити, которая перекинута через блок и своими концами прикреплена к грузам m₁ и m₂ (рис.2). Определить ускорение груза m₂ в процессе движения всех тел. Трением пренебречь. Ответ: 2,8 м/с².

3.13. Каким станет ускорение грузов задачи 3.12, если между телом m₁ и наклонной плоскостью будет действовать сила трения с коэффициентом µ=0,5? Ответ: 1,6 м/с².

3.14. Во сколько раз отличаются силы натяжения вертикального и наклонного участков нити в задаче 3.12 в случаях, когда: 1) трения нет, 2) вдоль наклонной плоскости действует сила трения с коэффициентом µ=0,2? Ответ: 0,73, 0,67.

3.15. Вычислить кинетическую энергию всех тел системы, описанной в задаче 3.12, спустя 0,5 с после начала ее движения, если в оси блока действует сила трения, создающая тормозящий момент М_торм=0,5Н∙м, а радиус блока равен 8 см. Ответ: 3,15 Дж.

3.16. Для системы тел, изображенных на рис.2, известно, что α=20⁰, m₁=2 кг, масса блока m₃= 2 кг, коэффициент трения между наклонной плоскостью и грузом m₁ равен µ=0,1. Какой по массе груз m₂ нужно прикрепить к вертикальному участку нити, чтобы он двигался с ускорением 1 м/с²? Ответ: 1,1 кг.

3.17. Невесомая нить намотана на цилиндр радиусом 30 см и массой 2 кг, переброшена через невесомый блок, находящийся на одном горизонтальном уровне с цилиндром, а к концу ее прикреплена гиря с массой 0,5 кг. Найти кинетические энергии цилиндра и гири через 0,5 с после начала движения системы тел. Трением в осях цилиндра и блока пренебречь. Ответ: 1,3 Дж, 0,6 Дж.

3.18. Через блок в виде однородного сплошного цилиндра с горизонтальной осью вращения массой 160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 200 г и 300 г. Пренебрегая трением в оси блока, определить ускорения грузов и силы натяжения нитей. Ответ: 1,5 м/с, 2,3 Н, 2,5 Н.

3.19. Определить ускорения грузов предыдущей задачи, если в оси блока действует сила трения, создающая тормозящий момент М_торм=0,04Н∙м, а радиус блока равен 10 см. Ответ: 1 м/с.

3.20. Дан блок массой М=2кг и радиусом R=0,6м и бруски массами m₁=2кг, m₂=3кг (рис.3). Найдите угловое ускорение блока и натяжение нити между 1 и 2 брусками. Ответ: 13,6 рад/с², 4,9Н.

3.21. Легкая нить переброшена через цилиндрический блок радиусом 10 см и массой 0,8 кг с горизонтальной осью вращения. К концам нити прикрепили грузы с массами 0,5 и 0,4 кг. Пренебрегая трением в оси блока, найти скорости вращения блока и движения грузов спустя 1 с после начала движения. Ответ: 7,5 рад/с, 0,75 м/с.

3.22. Найти ответы на вопросы предыдущей задачи, если в оси блока будет действовать сила трения, создающая тормозящий момент 0,04 Н∙м. Ответ: 7,2 рад/с, 0,72 м/с.

3.23. Невесомая нить переброшена через блок массой m₃=2 кг, имеющий форму цилиндра. К концам нити прикреплены грузы с массами m₁=2кг и m₂=1 кг. Определить ускорение грузов в процессе движения тел. Трением пренебречь. Ответ: 2,45 м/с² .

3.24. С каким ускорением будут двигаться грузы предыдущей задачи, если в оси блока действует сила трения, создающая тормозящий момент М_торм=0,1 Н∙м, а радиус блока равен 5 см? Ответ: 1,95 м/с².

3.25. Каким должен быть момент сил трения в оси блока m₃ задачи 3.23, чтобы ускорения грузов m₁ и m₂ в процессе их движения оказалось равным 0,7 м/с²? Радиус блока 5 см. Ответ: 0,35 Н∙м.

3.26. Блок массой 0,4 кг, имеющий форму диска (цилиндра), вращается вокруг горизонтальной оси под действием силы натяжения нити, которая переброшена через блок и к концам которой подвешены грузы с массами 0,3 и 0,7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока. Ответ: 3,9 Н, 4,6 Н.

3.27. Система тел, описанная в задаче 3.26, приобрела через секунду после начала движения кинетическую энергию 2,4 Дж. Найти по этим данным момент сил трения, действующих в оси блока. Радиус блока равен 5 см. Задачу решить с применением законов Ньютона. Ответ: 1,5Н.

7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА

Правило сложения скоростей: , где -скорости тел(частиц) в двух инерциальных системах координат, движущихся относительно друг друга со скоростью V. Релятивистское сокращение длины и замедление хода движущихся часов: , , где - собственная длина, - собственное время движущихся часов. Релятивистская масса и релятивистский импульс: , , где -масса покоя частицы. Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы: , , где -энергия покоя частицы.

7.1. Объём воды в океане составляет V=1,37·10⁹ км³. На сколько изменится масса воды в океане, если повысить ее температуру на 1^оС. Плотность морской воды ρ =1030 кг/м³. Ответ: m=6,59·10⁷ кг.

7.2. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта q/m=0,88·10¹¹Кл/кг. Определите релятивистскую массу электрона и его скорость. Ответ: m=2m₀; v=0,87