фывфыв. 1 механика механика изучает законы и свойства механического движения. Механическим движением тела называется изменение положения тел или частей тела в пространстве относительно друг друга стечением времени
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
. H - ? , 2 t - ? , 2 V - ? , s - Решение. Выберем начало оси ОХ на поверхности Земли, а саму ось направим вертикально вверх (рис. 22). Время отсчитываем с момента броска тела. Тогда начальная координата тела 0 x = проекция начальной скорости на ось ОХ 0x 0 V = V . Проекция ускорения x a = – g . Тогда проекции на ось Ох кинематического уравнения движения тела и его скорости имеют вид 0 gt x = h + V t – 2 , x 0 V = V – gt . Определим максимальную высоту подъема Н. В этой точке 1 (самой верхней точке траектории) скорость тела становится равной нулю. Тогда для этого момента времени 1 t имеем 2 1 0 1 gt H = h + V t – 2 , 0 1 0 = V – gt . Исключив из этих уравнений 1 t , получим +Рисунок 21 Рисунок 22 21 Для определения времени полета и конечной скорости рассмотрим точку 2. Координата этой точки равна нулю, а проекция скорости отрицательна x=0 , x 2 V = – V . Тогда 2 2 – 0 2 gt 0=h+V t 2 , 2 0 2 – V =V – Из квадратного уравнения для имеем два корня 0 0 2 V ± V +2gh t Поскольку время не может быть отрицательным (отрицательное время соответствовало бы событиям, произошедшим до броска тела, а они нам неизвестны) выбираем такое решение при котором 2 t >0 2 0 0 2 V + V +2gh t Используя это значение, получим для скорости падения тела на Землю +Графики движения тела показаны на рисунке 23. 9.2. С высокого обрыва безначальной скорости падает камень. Какую скорость он будет иметь через сот начала падения { 30 мс 9.3. В некоторый момент времени скорость падающего тела равна 6 мс. Какой будет скорость тела через 2 с {26 мс 9.4. Шарик отпустили безначальной скорости с высоты 125 м. а) в какой момент времени шарик упадет на Землю {5 с б) в какой момент времени высота шарика уменьшится в 2 раза С какой скоростью движется шарик на этой высоте {3,54 c ; 35,4 мс в) в какой момент времени скорость шарика достигнет половины максимальной скорости На какой высоте он находится в этот момент {2,5c; мс 9.5. Шарик отпустили безначальной скорости с высоты Н. Через какое время 1 t высота, на которой находится шарик, будет составлять половину первоначальной высоты С какой скоростью движется шарик на этой высоте { 1 t H / g = ; 1 V gH = } 9.6. Шарик отпустили безначальной скорости с высоты Н. Через какое время 1 t после начала движения скорость шарика будет составлять половину его максимальной скорости На какой высоте он будет находиться в этот момент { 1 t H / 2g = ; h 3H / 4 = } 9.7. Шарик отпустили безначальной скорости с высоты Н. На какой высоте будет находиться шарик в момент времени, равный половине времени падения Какова его скорость в этот момент { h 3H / 4 = ; 1 v gH / 2 = } 9.8. Тело, брошенное вертикально вверх из точки, находящейся над землей на высоте 8 м, падает на землю через 2 с после броска. С какой скоростью брошено тело {6 мс 9.9. Тело брошено вертикально вверх с высоты 40 мс начальной скоростью 5 мс. На какой высоте окажется тело через 2 с {30 мс Рисунок 23 22 9.10. С высоты 25 м тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 мс. Через сколько секунд оно упадет на землю {4,2 c} 9.11. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на Землю через 5 с. Какова была начальная скорость тела На какую высоту оно поднялось {25 мс, 31,25 м 9.12. С какой скоростью надо бросить тело вертикально вверх с поверхности земли, чтобы время от момента броска до момента падения тела на землю равнялось 3 с {15 мс 9.13. С неподвижного аэростата, находящегося на высоте 1125 м, произведен вертикально вниз выстрел, причем пуля вылетела со скоростью 200 мс. За какое время и с какой скоростью пуля достигнет Земли {5 c , 250 мс 9.14. Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли. Во сколько раз скорость тела меньше первоначальной скорости на высоте, составляющей 8/9 максимальной высоты подъема {3} Задача 10.1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 мс. Какой путь пройдет тело за третью секунду своего движения Дано 0 V = мс, 1 t = 2 c , 2 t = 3 c ; S -? Решение. Движение прямолинейное с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения и описывается уравнениями 2 0 0 at r = r + V t + 2 , 0 V=V +at . Спроецируем их на ось О 2 x 0 0x a t x=x +V t+ 2 , x 0x x V =V +a t . Определим начальные условия. Подставляя значения начальных условий, получим 2 0 gt x = V t - 2 , x 0 V =V - gt . Отметим, что третья секунда полета начинается в момент времени 1 t = t = 2 c и заканчивается в момент 2 t = t = 3c . Значит нужно найти путь, пройденный телом в промежуток времени от 1 t до 2 t . В момент 1 t = t тело будет находиться в точке с координатой 1 x = x , а в момент 2 t = t в точке с координатой 2 x = x . Определим координаты им 2 м Как видно координаты этих точек равны друг другу. То есть это одна точка, в которой тело находилось дважды сначала, двигаясь вверх (в момент 1 t ) затем двигаясь вниз (в момент. При этом в некоторый момент 3 t тело находилось в наивысшей точке траектории с координатой 3 x . Таким образом, путь, пройденный телом за третью секунду движения, будет равен ( ) 3 1 s = 2 x - x . Координату определим, рассмотрев точку 3 (скорость в этой точке равна нулю = t , 3 x = x , x V = 0 . Для точки 3 имеем 2 3 3 0 3 gt x = V t - 2 , 0 3 0=V -Найдя 0 3 V t = g , получим 0 3 V x = 2g и значение пути 2 2 0 1 0 1 V gt S = 2 - V t + =2,5 м 2g 2 Ответ: 2,5 м Задача 10.2. Рисунок 24 23 Тело падает на Землю с некоторой высоты безначальной скорости. Первую половину пути тело двигалось со средней скоростью 12,5 мс. С какой высоты падало тело? С какой скоростью тело падает на Землю Определить среднюю скорость на всем пути движения тела. Дано ср1 V = см - ? ср V - Решение. Движение прямолинейное равнопеременное. Описывается уравнениями 0 0 2 at r = r + V t + 2 , 0 V=V +at . Спроецируем эти уравнения на ось ОХ, которую выберем вертикально вверх, а начало ее на поверхности Земли (см. рис, получим 0 x 0x 2 a t x=x + V t + 2 , 0x x x V =V +a t . Начальные условия 0 0x x x = H, V = 0, a = – Таким образом, кинематические уравнения движения тела имеют вид 2 gt x=H – 2 , V = – gt x . Условием задачи задана средняя скорость движения тела на первой половине пути, то есть от начальной точки с координатой до точки 1 с координатой H x = 2 . Рассмотрим точку 1: в этой точке тело находится в момент времени 1 t = t , имеет координату H x = Поэтому для этой точки имеем 2 H gt = H - 2 Средняя скорость на каком-либо участке пути равна по определению: пол пол cp S V = В нашем случае пол, пол t . Таким образом: ср1 1 H V = 2t и 1 ср1 H t = 2V . Используя эти выражения, получим искомую высоту: ср1 2 4V H= = м g . Для нахождения скорости в момент падения на Землю рассмотрим точку 2. Этому соответствует момент времени 1 t = t , координата x = 0 , скорость x 2 V = – V . Подставив эти значения в уравнения движения, получим для точки 2: 2 2 gt 0=H – 2 , 2x 2 V = – gt . Соответственно, 2 2H t = g и 2x V -35,36 м/c ≈ Знак минус означает, что скорость в точке 2 направлена вниз. Определим среднюю скорость на всем пути. Полный путь тела пол H , полное время движения пол t и, следовательно, ср ср1 2 H gH V = = = V 2 м Обратите внимание средняя скорость на разных участках одного движения разная. Ответ 62,5 м, 35,36 мс, 17,68 мс. Падающее безначальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало телом. Падающее с некоторой высоты безначальной скорости тело прошло последние 25 м пути за 1 с. Найти высоту, с которой падало телом Рисунок 25 24 10.5. Падающее безначальной скорости тело за последнюю секунду своего движения пролетело половину всего пути. Найти время полета и высоту, с которой упало тело. {3,5 см. Тело падает безначальной скорости с высоты 80 м. Какой путь оно пройдет в последнюю секунду падениям. Тело падает с высоты 500 м безначальной скорости. Какое расстояние тело пройдет за последнюю секунду своего падениям. Тело, падающее безначальной скорости с некоторой высоты прошло последние 30 м за время равное 0,5 с. Определить высоту, с которой начало падать тело, и время падениям. Груз падает с некоторой высоты безначальной скорости. За 5 с до падения на Землю величина его скорости равна 150 мс. С какой высоты падал груз {2000 м 10.10. Тело начало падать с высоты H безначальной скорости. В некоторый момент времени падающее тело находилось на высоте 1100 м, а спустя 10 с после этого – на высоте 120 м над поверхностью Земли. С какой высоты H падало телом. Тело, падающее с некоторой высоты безначальной скорости, за время τ после начала движения проходит расстояние в пять раз меньшее, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту H, с которой падало тело. { ( ) ( ) 2 H g 11 21 / 25 = τ + } 10.12. Определить, насколько метров путь, пройденный падающим безначальной скорости телом, в течении десятой секунды, больше пути, пройденного телом в течении предыдущей секунды. Начальная скорость тела равна нулю. {10 м 10.13. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 сего скорость уменьшилась вдвоем. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 50 мс. Каков модуль полного перемещения и путь, пройденный телом по истечении 10 сот начала движениям. Камень, брошенный вертикально вверх, дважды был на одной и той же высоте — спустя 0,8 и 1,5 с после начала движения. Чему равна эта высотам. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 21 мс. Определить время между моментами прохождения телом половины максимальной высоты. {3 c} 10.17. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 мс. Некоторую точку тело проходит дважды с интервалом времени 2 с. Определить высоту этой точки. {40 м 10.18. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 мс. Какой путь пройдет тело за третью секунду своего движениям. С балкона бросают камень вертикально вверх. Через 1 с камень оказывается на максимальной высоте, а еще через 3 с камень падает на Землю. На какой высоте находится балкон. {40 м 10.20. С балкона высотой 25 м тело брошено вертикально вверх со скоростью 15 мс. Какой путь пройдет телок моменту падения на Землю {47,5 м 10.21. Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх со скоростью 30 мс. Найдите путь, пройденный телом за 4 сот начала движениям. Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх со скоростью 20 мс. Найдите путь, пройденный телом за 3 сот начала движениям. Тело, падая безначальной скорости, достигает Земли за с. За какое время оно достигло бы Земли, если его бросить стой же высоты вертикально вверх с начальной скоростью 30 мс {8 с 10.24. С вертолета, находящегося на высоте 300 м выпал груз. Через какое время груз достигнет Земли, если вертолет поднимается со скоростью 5 мс. {8,3 c} Криволинейное движение тела под действием силы тяжести. Задача 11.1. Тело бросили с высоты h , сообщив ему скорость в горизонтальном направлении. Определить величину скорости и угол, под которым она направлена к горизонту в момент времени, равный половине времени падения тела на землю. Дано h, V 0 , t A = 0,5 ⋅t пад . V A - ?, β-?. Решение. Тело движется с постоянным ускорением – ускорением свободного падения. Запишем зависимость радиус вектора тела и его скорости от времени 2 at r=r +V t+ 0 0 2 , V=V +at 0 . Для описания движения тела брошенного горизонтально в поле силы тяжести Земли необходимо ввести две оси координат в проекциях на эти оси уравнения движения имеют вид 2 a t x x = x +V t + 0 0x 2 , 2 a t y y = y +V t + 0 0y 2 , V =V + a t x 0x x y 0y y V =V + a Начальные условия для этого случая 0 0 0x 0 0Y Y x = 0; y = h; V = V ; V = 0; a = 0; a = – g Подставляя начальные условия в уравнения движения получим 0 x=V t , 2 gt y=h – 2 , 0 V = V x , Y V = – gt . Сначала определим момент времени падения пад t . Для этого рассмотрим точку с координатой y = 0 . Для этой точки имеем соотношение пад 2 gt 0=h – 2 , откуда пад 2h t = g . Теперь рассмотрим точку A, в которой находится тело в момент времени пад t t = 2 . Необходимо определить величину скорости и ее направление в пространстве в этот момент времени (угол β ). Запишем для этого момента соотношения: Ax 0 V =V , пад Ay t V = – g 2 ⋅ . Тогда 2 пад 2 2 2 Ax Ay 0 A g t V = V +V = V + 4 , Ay пад Ax 0 V gt tg β= = Ответ = V + 0 A 2 , 2gh α=arctg Задача 11.2. Тело бросили горизонтально с высоты h=100 мс начальной скоростью 5 мс. Записать уравнение траектории движения тела. Определить дальность полета. Решение. Зависимости координат брошенного тела от времени, с учетом начальных условий (см. предыдущую задачу, имеют вид 0 x = V t , 2 gt y=h Исключая из этих уравнений время (выразив t из первого уравнения и подставив во второе) получим зависимость координаты y от координаты x: 2 2 0 gx y h 2V = − . Это и есть уравнение траектории. Подставив числа получим 2 y 100 0, 2 x = − ⋅ . При y 0 = , x L = , где L - дальность полета тела. Подставляя значения координат в уравнение траектории получим 0 L V 2h g = = 22,4 м. Ответ 2 y 100 0, 2 x = − ⋅ ; 22,4 м. Рисунок 26 Рисунок 27 26 11.3. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью 40,0 мс, на высоте 500 м сброшен груз безначальной скорости относительно вертолета. На каком расстоянии по горизонтали от места выброса упадет груз Сколько времени он будет падать {400 м 10 c} 11.4. Камень, брошенный горизонтально со скоростью 15 мс, упал на землю со скоростью 25 мс. Сколько времени длился полет камня {2c} 11.5. С вышки брошен камень в горизонтальном направлении. Через с камень упал на землю на расстоянии 40 мот основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня. {20 мс 28,3 мс 11.6. Камень бросили горизонтально с балкона, и через 4 сон упал на Землю на расстоянии 10 мот балкона по горизонтали. С какой скоростью брошен камень {2,5 мс 11.7. Пуля вылетает из горизонтально расположенного ружья со скоростью 300 мс. На каком расстоянии от меставыстрела упадет пуля, если высота ружья над поверхностью Земли равна 1,2 мм. Дальность полета тела, брошенного горизонтально со скоростью 5 мс, равна высоте, с которой его бросили. Чему равна эта высотам. Из окна, расположенного на высоте 5 мот земли, горизонтально брошен камень, упавший на расстоянии мот дома. С какой скоростью был брошен камень {8 мс 11.10. Тело, брошенное горизонтально со скоростью 20 мс упало на землю через 3 с. На каком расстоянии от точки броска произойдет падением. Летящий на высоте м со скоростью мс самолёт сбрасывает грузна палубу корабля, идущего в том же направлении со скоростью 36км/ч. Каким должно быть расстояние (по горизонтали) между самолетом и кораблём, чтобы груз попал на палубу кораблям. Тело бросили горизонтально со скоростью 40 мс с некоторой высоты. Определить величину и направление его скорости через три секунды. м arctg(-0,75)= -37 0 } 11.13. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью 40,0 мс, на высоте 500 м сброшен груз безначальной скорости относительно вертолета. С какой скоростью, и под каким углом к горизонту груз упадет на Землю {108 мс -68 0 } 11.14. Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через 0,5 сна расстоянии 5 м по горизонтали от места бросания. Найти угол между вектором скорости и горизонтом в момент падения. {arctg(-0,5)=- 26,6 0 } 11.15. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 15 мс. Определить эту высоту, если относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 30 0 . {3,75 м 11.16. Тело брошено горизонтально с высоты мс некоторой скоростью V 0 . Найти эту скорость, если известно, что относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 45 0 {20 мс 11.17. Два камня брошенные горизонтально с разных высот упали в одну точку. Во сколько раз отличаются начальные скорости камней, если высоты, с которых бросали камни, отличаются в 4 раза. Камни бросают из точек, лежащих на одной вертикали. {16} 11.18. На каком расстоянии друг от друга упали на землю камни, брошенные водном направлении из точки, находящейся на высоте 125 мс горизонтальными скоростями, отличающимися на 16 мс. {80 м 11.19. Дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении, равна половине высоты, с которой брошено тело. Определить угол, который образует с горизонтом скорость тела при его падении назем- лю? {-76 0 } 11.20. С самолета, летящего горизонтально на высоте 500 м со скоростью 180 км/час, выпал груз. На какой высоте скорость груза будет составлять с горизонтом угол 60 0 ? {125 м 11.21. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты H со скоростью 10 мс. Определить эту высоту, если на высоте 10 м скорость тела составляла с горизонтом угол 60 0 . {25 м 11.22. Из вертолета, движущегося горизонтально со скоростью 40,0 мс, на высоте 500 м сброшен груз безначальной скорости относительно вертолета. Через какое время после выброса его скорость составляла с горизонтом угол 45 0 ? {4 c} 11.23. Тело брошено горизонтально с высоты 40 мс некоторой скоростью V 0 . Найти эту скорость, если на высоте 20 м скорость тела составляла с горизонтом угол 45 0 . {20 мс 11.24. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 10 мс. Написать уравнение траектории движения тела, если известно, что на высоте 10 м скорость тела составляла с горизонтом угол 60 0 {y = 25 – 0,05 x 2 } 11.25. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 15 мс. Написать уравнение траектории движения тела, если известно, что относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 30 0 . {y = 3,75 – 0,022 x 2 } 11.26. Дано уравнение движения тела, брошенного горизонтально y = 25-0,05 x 2 . Определить, под каким углом к горизонту направлена скорость тела на высоте м. {-60 0 } 11.27. Тело бросили горизонтально с некоторой высоты со скоростью 15 мс. Написать уравнение траектории движения тела в виде y=f(x), если известно, что относительно горизонта величина угла, под которым тело упало на Землю, равна 30 0 . {y = 3,75 – 0,022·x 2 } 27 11.28. Написать уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально, которое через 4 с упало на расстоянии 100 мот места броска. {y = 80 – 0,022·x 2 } 11.29. Тело брошено горизонтально с высоты 45 мВ некоторый момент времени скорость составляла сгори- зонтом угол 30 0 , а через 1 с скорость составила с горизонтом угол 60 0 . Под каким углом к горизонту тело упадет на землю {-74 0 } Задача 12.1. Определить максимальную высоту и дальность полета тела, брошенного с высоты 20 мот поверхности Земли под углом к горизонту. Начальная скорость тела 30 мс. Дано м, V =30 мс, α=60 ; H-? Решение. Кинематические уравнения для движения с постоянным ускорением 2 0 0 at r r V t 2 = + + , 0 V=V +a t . Спроецируем эти уравнения на оси координат : x 0 0x 2 a t x = x + V t + 2 , y 0 0y 2 a t y = y + V t + 2 , x 0x x V =V + a t , Y 0Y Y V = V + a Начальные условия для данной ситуации 0 0 x = 0; y = h ; 0x 0 V =V cos α ; 0y 0 V =V sin α ; a = 0; a = – g x y ; С учетом начальных условий 0 x = V cos α t ⋅ , 2 0 gt y h V sin t 2 = + α ⋅ − , 0 V =V cos α x , y 0 V =V Траекторией движения тела является парабола (рисунок 28). В верхней точке параболы касательная к ней горизонтальна (параллельна оси О. Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории движения, следовательно, в верхней точке мгновенная скорость параллельна оси О. Пусть в момент времени H t = t тело находится в точке с координатой y = H . В этой точке проекция на ось Y вектора мгновенной скорости Y V =0 и уравнения движения для этой точки имеют вид H H 0 2 gt H = h + V sin α t – 2 ⋅ , H 0=V sin α-gt 0 . Откуда получаем sin α t = 2g и 0 2 2 V sin α H = h + 2g . Для определения дальности полета рассмотрим точку с координатами x=L; y=0 . Для этой точки уравнения движения будут выглядеть следующим образом cos α и 2 L L gt 0=h+V sin α t - 0 2 ⋅ , где L t - момент времени, в который тело находится в рассматриваемой точке (то есть время полета тела. Решая последнее уравнение имеем два корня 2 2 V sin α ± V sin α+2gh 0 0 t = g , из которых Рисунок 28 28 физический смысл имеет только положительный. Таким образом окончательно получаем L 2 2 V sin α+ V sin α+2gh 0 0 t = g и 0 0 0 2 2 V cos α V sinα+ V sin α+2gh L = Подставляя числа получим мм Ответ 42,5 мм. Задача 12.2. Тело брошено вверх под углом к горизонту с начальной скоростью V0 . Вывести уравнение траектории движения тела и нарисовать ее для двух случаев 1) тело брошено с поверхности Земли 2) тело брошено с высоты над землей. Дано 0 V , α, h; y = y(x) . Решение. Движение тела будет происходить в вертикальной плоскости (перпендикулярной поверхности Земли. Для описания такого движения выберем систему координат следующим образом ось О направим горизонтально вдоль поверхности земли, ось О вертикально вверх. Начало системы координат выберем на поверхности земли. Мы будем искать уравнение траектории в виде зависимости координаты y от координаты x , то есть будем искать функцию вида y y(x) = . Любое движение в поле силы тяжести земли (независимо от направления движения) является движением с постоянным ускорением – ускорением свободного падения. Запишем зависимость радиус вектора тела от времени 0 0 2 a t r = r +V t + 2 и спроецируем его на оси координат 2 a t x x = x + V t + 0 и 0 y 0y 2 a t y = y + V t + 2 . Преобразуем эти уравнения для случая, когда бросают с поверхности Земли, определив начальные условия x = 0; y = 0 0 0 ; V = V cos α 0x 0 ; V = V sin α 0y 0 ; a = 0; a = – g x y ; Подставляя начальные условия, получаем уравнения = V cos α t ⋅ , 0 2 gt y = V sin α t Эти уравнения определяют траекторию движения тела в параметрической форме. Исключив из них переменную 0 x t = V cos α , получим явную зависимость координаты от координаты. Это уравнение является уравнением параболы, проходящей через начало координат, ветви которой направлены вниз (коэффициент при 2 x отрицательный. Парабола изображена на рисунке 29, где показаны также максимальная высота полета (точка y = H – вершина параболы) и дальность полета (точка x = L, y = 0 ). Рисунок 29 29 Рассмотрим второй случай, когда тело бросают с высоты h . В этом случае начальные условия имеют вид 0 x = 0; y = h ; 0x V =V cos α 0 ; 0y 0 V =V sin α ; x y a = 0; a = – g ; Получим 0 x=V cos α t ⋅ , 0 2 gt y=h + V sin α t – 2 ⋅ . Исключая время получим уравнение траектории 2 g y = – x + tg α x + h 2 2 2V cos α 0 ⋅ . Это уравнение параболы, которая пересекает ось в точке y = см. рис 30). Замечание. При α=0 2 2 0 g y = – x + Этот случай соответствует броску с высоты в горизонтальном направлении. Траектория представляет собой параболу с вершиной в начальной точке. 12.3. Тело брошено с поверхности Земли под углом 30 к горизонту. Полное время полета оказалось равным с. Найти начальную скорость тела. мс 12.4. Диск, брошенный с поверхности Земли под углом 45 к горизонту, достиг наибольшей высоты м. Какова наибольшая дальность полета дискам. Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 20 с. Какой наибольшей высоты достиг снаряд. {500 м 12.6. Камень, брошенный с поверхности Земли под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 20 м. Найдите время полета камня. {4 с 12.7. Тело брошено с поверхности Земли под некоторым углом к горизонту. Определить угол, под которым бросили тело, и начальную скорость, если известно, что в наивысшей точке траектории, находящейся на высоте 5 м, тело имело скорость мс. {14,14 мс 45 0 } 12.8. Тело брошено с поверхности Земли под некоторым углом к горизонту. Определить угол, под которым тело упало на Землю, если известно, что в наивысшей точке траектории, находящейся на высоте м, тело имело скорость 5 мс. {-60 0 } 12.9. Тело брошено с поверхности Земли под некоторым углом к горизонту. Определить дальность пол- та тела, если известно, что в наивысшей точке траектории, находящейся на высоте 20 м, тело имело скорость 4 мс. м 12.10. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 10 мс под углом 45° к горизонту. Через какое время оно окажется на высоте, равной половине максимальной {0,21 c; 1,21 c} 12.11. Камень, брошенный под углом к горизонту, упал на землю со скоростью м/с.Чему равны дальность и высота полета камня, если его максимальная скорость вовремя полета вдвое больше минимальной скорости {8,7 мм. Камень брошен с поверхности Земли под углом α к горизонту. Найти отношение дальности полета к максимальной высоте подъема, если sinα = 0,8. {3} 12.13. Дальность полета тела равна максимальной высоте его подъема над поверхностью Земли. Под каким углом брошено тело с поверхности Земли {76 0 } 12.14. Камень брошен с поверхности Земли под углом 53 к горизонту. Найти отношение максимальной высоты подъема к дальности полета. {0,33} 12.15. Небольшое тело бросают с поверхности Земли со скоростью мс под углом 60 к горизонту. Через какое время скорость тела будет составлять угол 30 с горизонтом с 12.16. Лягушка прыгает под некоторым углом к горизонту и через 0,6 с приземляется на расстоянии 80 см от места прыжка. Определить скорость лягушки в момент прыжка. {3,28 мс 12.17. Какую минимальную скорость мальчик должен сообщить мячу, чтобы перебросить его на другой берег реки шириной 12 м. {11 мс 12.18. Под каким углом к горизонту брошено тело с поверхности земли, если начальная точка, наивысшая точка траектории и точка падения на землю образуют равносторонний треугольник. {74 0 } 12.19. Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 10 мс под углом 60° к горизонту. Написать уравнение траектории его движения. {y = -0,2x 2 +1,7x} Рисунок 30 30 12.20. Из одной и той же точки с поверхности земли одновременно бросили два тела. Первое бросили вертикально вверх со скоростью 6 мс, второе – под углом 30º к горизонту с такой же по модулю скоростью. Найти расстояние между телами через 0,2 см. С высоты 2 м под углом 45 к горизонту брошен камень, который падает на землю на расстоянии 43 м по горизонтали от места бросания. Найти время полёта камня с Движение двух тел. Задача 13.1. Тело бросают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 мс. Одновременно с высоты 50 м над поверхностью Земли бросают второе тело вертикально вниз с начальной скоростью 5 мс. Определить время и место их встречи. 01 v мм мс. встречи встречи t - ?, h − Решение. Уравнения движения тел, с учетом начальных условий имеют вид (ось О направим вертикально вверх, начало осина поверхности Земли Для первого тела 2 01 gt x V t 2 = − , для второго 2 02 gt x h V t 2 = В момент встречи встречи координаты тел становятся одинаковыми 2 встречи встречи 01 встречи 02 встречи gt gt V t h V t 2 2 − = Из этого уравнения найдем момент встречи встречи 02 h t 2 c V V = = + . Подставляя встречи водно из уравнений движения, получим координату места встречи ( ) ( ) 2 01 02 встречи 01 02 2 V V V gh м Ответ 2 см. Задача 13.2. Два тела бросили вертикально вверх с одинаковой скоростью 20 мс через 1 с одно после другого. Определить где и когда они встретятся. Дано 0 V =20 мс, τ = 1 с встречи x ? − ; встречи Решение. Здесь главное правильно составить кинематические уравнения движения. Направим ось координат ОХ вверх, а начало оси координат расположим на поверхности Земли. Тогда, с учетом начальных условий, кинематические уравнения имеют вид для первого тела 2 gt x =v t – 1 2 , для второго тела 2 gt' x =v t' – 2 В первом уравнении t – время, показываемое часами, которые запущены в момент броска первого тела. Во втором уравнении t' – время, которое показывают часы, запущенные одновременно со вторым телом. Для решения задачи нужно выбрать какие-то одни часы, например, первые. Для этого запишем связь между показаниями первых и вторых часов. Рисунок 31 31 Второе тело брошено через время после броска первого тела. Это значит, что в момент броска второго тела вторые часы показывали момент времени t' = 0 , а первые часы в этот момент показали момент времени t = τ = 1 c . Очевидно, вторые часы всегда будут отставать от первых на τ = 1 c , так, что можно записать t' = t – τ . Учитывая это, уравнения движения будет иметь вид 0 2 gt x =v t – 1 и ( ) ( ) 0 2 g t – x =v t – – 2 при t ≥ τ . Теперь отсчет времени ведется от момента броска первого тела. Встреча двух тел означает, что их координаты становятся равными в один и тот же момент времени. Обозначим этот момент времени встречи t = t , а координату тел в момент встречи встречи x = x = x 1 2 . Тогда встречи встречи встречи x = v t – 2 , встречи встречи встречи 2 g t – τ x = v t – τ Приравняв, имеем встречи встречи встречи 0 встречи 0 2 2 g t – τ gt v t = v t – τ 2 2 − − . Из последнего уравнения находим встречи t = + =2,5 c g 2 . После чего найдем встречи 2 V g τ 0 x = =18,25 м 2g 8 − Графики движения тел изображены на рис. 32. Ответ 2,5 см. Задача 13.3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V 01 = 15 мс. Через 1 с вертикально вверх бросают второе тело. Какую начальную скорость нужно сообщить второму телу, чтобы оба тела упали на Землю одновременно. Дано V 01 = 15 мс, τ = 1 с V 02 - Решение. Кинематические уравнения движения тел имеют вид (см. рис 33): 01 2 gt x =v t – 1 и ( ) ( ) 02 2 g t – x = v t – 2 2 τ τ Начало отсчета времени совпадает с моментом броска первого тела. По условию задачи оба тела падают на Землю в один и тот же момент времени падения t = t . Координаты тел в этот момент равны нулю. Поэтому для момента падения кинематические уравнения движения будут иметь вид падения 01 падения 2 gt 0 = v t 2 − , падения падения 2 g t – τ 0 = v t – τ 2 − . Приравнивая правые части уравнений, получим Рисунок 32 Рисунок 33 |