фывфыв. 1 механика механика изучает законы и свойства механического движения. Механическим движением тела называется изменение положения тел или частей тела в пространстве относительно друг друга стечением времени
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
1 МЕХАНИКА Механика изучает законы и свойства механического движения. Механическим движением тела называется изменение положения тел или частей тела в пространстве относительно друг друга стечением времени. Очевидно, что характер движения тела определяется телом, относительно которого рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета. Для задания положения тела необходима также система координата для отсчета времени – способ отсчёта времени. Все это вместе (тело отсчета, система координат и способ отсчёта времени) образуют систему отсчета. Причем тело отсчета в выбранной системе координат имеет постоянные координаты. В механике часто используются следующие упрощенные модели реальных тел абсолютно твердое тело и материальная точка. Абсолютно твердым телом называется тело, у которого расстояние между двумя любыми его точками остается постоянным в процессе движения. Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого пренебрегается по сравнению с другими наиболее характерными размерами, имеющимися в данной рассматриваемой задаче. Любое механическое движение твердого тела можно представить в виде суперпозиции совмещения) двухосновных видов механического движения поступательного и вращательного. Поступательным движением называется такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается в пространстве параллельно самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, двигаются по параллельным траекториями в каждый момент времени имеют одинаковые как по величине, таки по направлению скорости и ускорения. Поэтому рассмотрение поступательного движения всего тела можно свести к изучению движения какой-либо точки этого тела. Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки тела описывают в пространстве окружности, центры которых лежат на одной прямой, асами окружности находятся в плоскостях, перпендикулярных этой прямой. КИНЕМАТИКА Кинематика – раздел механики, в котором изучается механическое движение материального тела без рассмотрения причин, по которым это движение происходит. Введем основные понятия, которыми необходимо будет пользоваться в дальнейшем. Будем рассматривать движение тела, пользуясь декартовой прямоугольной системой координат (рис. Линия, которую описывает движущаяся точка в пространстве, называется траекторией. Положение тела на траектории движения однозначно определяется радиус-вектором. Радиус- вектор – это вектор, проведенный изначала координат в точку нахождения тела. В процессе Под телом, в рамках кинематики, мы будем понимать материальную точку Рисунок 1 2 движения его длина и направление изменяются, а его начало неподвижно. Если радиус- вектор спроецировать на оси координат, то его проекции будут, очевидно, равны соответствующим координатам точки нахождения тела. Начнем наблюдать за телом, когда оно находится в точке А (рис. Пусть в показания часов в этот момента радиус-вектор тела равен r A . Тело движется вдоль траектории от точки А к точке В. Когда тело находится в точке В показание часов равно В, а радиус- вектор r B . Показание часов это и есть момент времени. В большинстве задач момент времени равный нулю будет совпадать с моментом начала движения, то есть часы включаются в тот момент, когда начинается рассмотрение движения. Тело двигалось из А в В в течении интервала (промежутка) времени B A Δt=t – t . Если бы показание часов в точке А было равно нулю, то интервал времени был бы равен показанию часов в точке В. Чаще всего таки поступают при решении задач за начало отсчета времени берут момент, когда тело находится в начальной точке. В начальный момент движения радиус вектор A r , в конце B r . Разность этих двух векторов B A Δr=r -r называется перемещением тела. Перемещение – вектор, проведенный изначальной точки движения в конечную точку (см. рис. Модуль перемещения измеряется в метрах. Проекции вектора перемещения на оси координат О и О равны соответственно =Δx=x -x , B A y Δr =Δy = y – y . В общем случае модуль вектора перемещения можно найти по формуле B A B A 2 2 Δr= (x -x ) +(y -y Путь s - сумма длин участков траектории от точки А до точки В, измеряется в метрах. Путь величина всегда положительная и неубывающая. В общем случае Δr S ≤ , прич м знак равенства справедлив только при движении тела вдоль прямой в одну сторону. Задача 1.1. На рис показана траектория A-B-C движения материальной точки из А в С. Насколько процентов путь, пройденный точкой, больше модуля е перемещения, если АВ = ВС= 20 м, а ОВ = 12 м Дано АВ = ВС = L=20 м ВО = H = 12 м S- Δr Решение Путь точки равен S = АВ + ВС = 2L, а модуль перемещения 2 2 Δr =AC=2 L -Отсюда находим 2 2 2 2 2L-2 L -H L- L -H a = 100% = 100% = 25% 2 2 2 2 2 L -H L -Ответ 25%. Рисунок 2 Рисунок 3 3 1.2. Человек прошел по проспекту 240 м, затем повернул на перекрестке и прошел в перпендикулярном направлении еще 70 м. Насколько процентов путь, пройденный человеком, больше модуля его перемещения. Вертолет пролетел на север в горизонтальном полете 18 км, затем повернул строго на восток и пролетел еще 24 км. Вычислить пройденный путь и модуль полного перемещения. {42 км, 30 км 1.4. Мяч упал с высоты 3 м вертикально вниз, отскочил от пола и был пойман после отскока на высоте 1 м. Во сколько раз путь, пройденный мячом, больше модуля перемещения мяча {2} 1.5. Турист поднялся на возвышенность высотой 10 ми с углом при основании 30°, а затем спустился с этой же высоты по уклону с углом при основании 60° . Чему равны путь и модуль перемещения туристам м 1.6. Камень, брошенный с высоты 10 м над поверхностью Земли вертикально вверх, достигает максимальной высоты 30 ми падает на Землю. Определить путь, пройденный камнем и модуль его полного перемещениям м 1.7. Самолет пролетел по прямой 600 км, затем повернул под прямым углом и пролетел еще 800 км. Чему равен модуль вектора перемещения самолета {10 км 1.8. Определить путь и перемещение конца минутной стрелки длиной 2 см за 15 мин. {3,14 см 2,83 см 1.9. Движущийся автомобиль сделал разворот, описав половину окружности. Во сколько раз путь, пройденный при этом автомобилем, больше модуля перемещения {1,57} 1.10. Перемещение тела, движущегося по окружности, оказалось равным радиусу окружности. Определить путь, пройденный телом. Радиус окружности 1 мм. Небольшое тело движется по окружности, имеющей радиус 1 м. Определить путь и модуль перемещения тела за время, в течении которого оно совершило 0,25 оборотам м 1.12. Искусственный спутник движется по круговой орбите радиусом 40000 км с периодом обращения 1 сутки. Определить путь и величину перемещения спутника за 12 часов. {1,257 10 км 8 10 км 1.13. Камень бросают с башни высотой 8 м под некоторым углом к горизонту, ион падает на Землю на расстоянии мот башни. Определить модуль полного перемещения камням. Автомобиль проехал 500 м по прямой горизонтальной дороге. Затем он проехал помосту, который представляет собой дугу окружности (радиус окружности 500 мс углом раствора 60 и далее по прямой проехал еще 500 м. Определить путь, пройденный автомобилем и модуль его перемеще- ния.{1523,3м;1500м} 1.15. Локомотив, двигаясь прямолинейно, проехал путь 3 км, затем совершил поворот, описав четверть окружности радиусом 1 км,и проехал дальше еще 9 км. Вычислить пройденный путь и модуль полного перемещения. {13,57 км 10,8 км 1.16. Тело переместилось из точки Ас координатами (-4; 3) в точку В с координатами (4; 3), а затем - в точку С с координатами (4; -3). Определить его путь и перемещение. Координаты заданы в метрах. {14 мм. Тело переместилось из точки с координатами х см, у 0 в точку с координатами х = 1 см и у см, а затем - в точку с координатами х = - 2 см и у = - 1 см. Постройте графики сего помощью определите путь и модуль перемещения тела. {5,02 см 4,12 см Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве стечением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями Вектор средней скорости ср V – векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло cp Δr V Вектор средней скорости ср V совпадает понаправлению с вектором перемещения Средняя скорость прохождения пути (средняя путевая скорость) – скалярная величина, равная отношению пройденного пути к тому промежутку времени, за который этот путь пройден 1 2 1 2 ΔS S +S +…+Sn V = = ср Δt t +t +Совет Решая задачи на определение средней скорости необходимо помнить очевидную, в общем-то, вещь значение средней скорости больше самой минимальной скорости тела на данном участке и меньше максимальной min cp max V V V ≤ ≤ . Часто учащиеся допускают ошибку считают, что средняя скорость является средним арифметическим начальной и конечной скоростей. Это действительно имеет место в некоторых частных случаях, но 4 пользоваться этим не следует. Единственным определением средней скорости прохождения пути является вышеприведённая формула. Задача 2.1. Определить среднюю скорость автомобиля на всем участке движения в следующих двух случаях a ) Первую половину пути он движется со скоростью 40 мс, а вторую половину со скоростью 20 мс. b ) Первую половину времени автомобиль движется со скоростью 40 мс, а вторую половину времени со скоростью 20 мс. Дано V 1 = 40 м V 2 = 20 мс. V ср1 -? V ср2 -? Решение. a. Обозначим весь путь, пройденный телом за S. Тогда, пользуясь определением средней скорости, имеем 1 2 ср1 S V = t +t , где S t = 1 и S t = 2 2V2 - времена прохождения первой и второй половины пути, соответственно. Тогда 1 2 ср1 1 2 1 2 S 2V м +V c 2V 2V = ≅ + b. Обозначим полное время движения автомобиля за Полный путь будет состоять из двух частей первая часть пути t S =V 1 1 2 , пройденная автомобилем за первую половину времени со скоростью 1 V , и вторая часть пути t S =V 2 2 2 , пройденная автомобилем за вторую половину времени со скоростью V2 . По определению средней скорости имеем мс ср2 t Ответ a) 26,7 мс b) 30 мс. Задача 2.2. Поезд прошел путь 200 км. В течение 1 часа он двигался со скоростью 100 км/ч, затем сделал остановку на время 30 мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью 40 км/ч. Определить среднюю скорость движения поезда. Дано S = 200 км =2⋅10 м, t 1 ч с, t 2 =30 мин = 1800 с, V 1 = 30 мс, V 2 = 10 мс V ср -? Решение. По определению средней скорости S +S +S S 1 2 3 V = = ср t t + t + t 1 2 3 . По условию задачи выделим три участка. На первом участке S 1= V 1 t 1 . S 2 =0 (поезд сделал остановку. Третий участок S 3 = S – (S 1 +S 2 ) =S-(V 1 t 1 + 0) поезд прошел за время S3 t = Средняя скорость на всем пути 1 1 1 2 3 S V = =13,7 мс +t +Ответ 13,7 мс 2.3. Велосипедист движется по траектории в форме окружности с постоянной по модулю скоростью. Чему равно отношение средней скорости прохождения пути, равного половине окружности, к модулю средней скорости перемещения {1,57} 2.4. Найти среднюю скорость тела в двух случаях а) первую четверть времени тело двигалось со скоростью 7,0 мс, оставшееся время – со скоростью 4,0 мс б) первую четверть пути тело двигалось со скоростью 7,0 мс, оставшуюся часть пути – со скоростью 4,0 мс. {a) 4,75 мс б) 4,48 мс 2.5. Найти среднюю скорость автомобиля, если первую треть пути он движется со скоростью 20 мс, вторую треть пути – со скоростью 24 мс, а последнюю треть пути со скоростью 30 мс {24 мс 5 2.6. Первые 20% всего пути тело двигалось со скоростью 10 мс, следующие 50% пути - со скоростью 12 мс, оставшуюся часть пути - со скоростью 15 мс. Найти среднюю скорость движения на всем пути. {12,25 мс 2.7. Первые 25% всего пути тело двигалось со скоростью 3 мс, вторые 25% всего пути - со скоростью 6 мс, оставшуюся часть пути - со скоростью V. Найти эту скорость, если известно, что средняя скорость движения тела на всем пути оказалась равной 4 мс. {4 мс 2.8. Велосипедист проехал за 5 секунд 40 м, за следующие 10 секунд – 100 ми за последние 5 сек – 60 м. Найти среднюю скорость прохождения всего пути. {10 мс 2.9. В течение первых 5 часов поезд двигался со средней скоростью 54 км/ч, а затем в течение 4 часов — со средней скоростью 18 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за все время движения. {10,55 мс 2.10. Первые 3/4 времени своего движения поезд шел со скоростью 72 км/ч, остальное время — со скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения поезда на всем пути {17,5 мс 2.11. Первую половину пути тело двигалось со скоростью V 1 , а вторую – со скоростью на 4 мс большей, чем V 1 . Средняя скорость движения тела на всем пути оказалась равной 3 мс. Найти скорость движения тела на второй половине пути. {6 мс 2.12. Средняя скорость поезда на всем пути равна 12 мс, причем 40% всего пути он двигался со скоростью в два раза меньшей, чем на оставшемся пути. Каковы скорости поезда на этих участках {8,4 мс мс 2.13. Первую половину пути поезд шел со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Какова скорость на каждом участке пути, если средняя скорость прохождения всего пути равна 12 мс {15 мс, мс 2.14. Найти среднюю скорость движения тела, если известно, что первую половину пути тело двигалось со скоростью, меньшей средней скорости на 2 мс, а вторую – со скоростью, на 3 мс большей средней скорости. {12 мс 2.15. Первую треть пути автомобиль двигался со скоростью 10 мс, вторую треть пути – со скоростью , в два раза меньшей, чем на оставшейся части пути. Найти скорости, с которыми двигался автомобиль на каждом участке, если средняя скорость движения автомобиля на всём пути оказалась равной 15 мс. мс, мс 2.16. Катер прошел первую половину пути со средней скоростью в три раза большей, чем вторую. Средняя скорость на всем пути составляет 6 км/ч. Какова средняя скорость катера на первой половине пути {3,3 мс 2.17. Автомобиль проехал расстояние 30 км с постоянной скоростью 20 мс, затем разгрузился и вернулся в начальный пункт со скоростью 25 мс. Определить время разгрузки, если средняя скорость на всем пути оказалась равной 18 м. {10,6 мин 2.18. Велосипедист, проехав 4 км со скоростью 12 км/ч, остановился и отдыхал в течение 40 мин. Оставшиеся км пути он проехал со скоростью 8 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на всем пути. {1,66 мс 2.19. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч. Половину времени, затраченного на прохождение оставшейся части пути он шёл со скоростью 15 км/ч, а другую половину времени – со скоростью 45 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля на всём пути. {9,09 мс Скорость характеризует быстроту движения точки. В процессе движения скорость может меняться. Мгновенная скорость – скорость точки в данный момент времени. Определяется мгновенная скорость как производная радиус- вектора повремени, где dt - бесконечно малый промежуток времени, настолько малый, что в течение этого промежутка скорость можно считать неизменной, dr - вектор бесконечно малого перемещения, совершенного телом за время Мгновенная скорость – векторная величина. Вектор мгновенной скорости направлен всегда вдоль касательной к траектории движения в интересующей нас точке. Обозначим проекции вектора на оси О и О соответственно и Y V , тогда справедливо соотношение, непосредственно вытекающее из теоремы Пифагора. Если в процессе движения модуль и направление вектора мгновенной скорости остаются постоянными, то такое движение называется равномерным. Очевидно, что направление скорости будет постоянным, только если движение тела будет прямолинейным. Так что равномерным может быть только прямолинейное движение. Оно таки называется – равномерное прямолинейное движение. В случае прямолинейного равномерного движения величина скорости определяется известным выражением ΔS V= Δt , где Δt - интервал времени, за который тело проходит отрезок пути Δs . Единица измерения скорости – метр на секунду (мс. В ряде задач приходится рассматривать движение тела относительно двух систем от- счёта, которые движутся друг относительно друга. В этом случае справедлив закон сложения скоростей (для скоростей значительно меньших скорости света 0 V=V +V′ , где V, V′ - скорости тела в неподвижной и движущейся системах отсчёта, соответственно, а 0 V - скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной. Задача 3.1. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, направленные под углом к вертикали. Какова скорость капель относительно Земли, если скорость движения поезда 15 мс Дано α = 60 0 ; V 0 = 15 мс. V -? Решение По закону сложения скоростей 0 V=V +V′ , где V - скорость капель относительно неподвижной системы отсчёта-Земли, 0 V - скорость поезда (скорость движущейся системы отсчёта, связанной с поездом, относительно неподвижной Земли, V′ - скорость капель относительно движущейся системы отсчёта (связанной с поездом. Из рисунка 4 видно, что 0 1 V=V мс 3.2. Две вагонетки катятся навстречу друг другу со скоростями 0,5 мс им с. Через какое время вагонетки столкнутся, если первоначальное расстояние между ними 135 мс. Автомобиль, двигаясь со скоростью 45 км/ч, в течении 10 с прошел такой же путь, какой автобус, двигающийся в том же направлении с постоянной скоростью, прошел за 25 с. Найдите величину их относительной скорости. {7,5 мс 3.4. Сколько времени сидящий у окна пассажир поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого равна 36 км/ч, а длинам. Рыбак, плывя по течению реки с постоянной относительно воды скоростью, проплывая под мостом, потерял удочки. Через полчаса он заметил пропажу и повернул обратно. На расстоянии 4 км от моста он встретился судочками. Определить скорость течения реки. {4 км/ч} 3.6. Моторный катер проходит расстояние между двумя пристанями против течения за час. За такое же время это расстояние проходит по течению плот. За какое время пройдет это расстояние по течению катер {20 мин 3.7. Самолет летит их пункта А в пункт В и обратно со скоростью 600 км/час относительно воздуха. Сколько времени затратил самолет навесь полет, если вдоль линии полета непрерывно дует ветер постоянного направления со скоростью 20 мс Расстояние между пунктами 900 км. {3,04 часа 3.8. Во сколько раз время проезда одного итого же расстояния на катере туда и обратно по реке больше, чем по озеру Скорость течения реки 3 км/ч, скорость катера относительно воды в обоих случаях 10 км/ч. {2,2} 3.9. Скорость движения лодки относительно воды в два раза больше течения реки. Во сколько раз больше времени занимает поездка между двумя пунктами против течения, чем по течению {3} 3.10. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, направленные под углом 60º к вертикали. Определить скорость капель относительно Земли, если поезд движется со скоростью 36 км/ч? {5,77 мс 3.11. При горизонтальном ветре, скорость которого 10 мс, капли дождя падают под углом 30º к вертикали. При какой горизонтальной скорости ветра капли будут падать под углом 60º к вертикали {30 мс 3.12. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки 1,2 мс катер двигался перпендикулярно берегу со скоростью 3,2 мс Под каким углом к берегу должна быть направлена эта скорость {3,42 мс 69,4 0 } Рисунок 4 7 3.13. Лодка движется перпендикулярно берегу реки. Ее скорость относительно воды равна 2 мс. Определите время движения лодки к другому берегу, если ширина реки 80 м, а скорость течения 1 мс. {46,2 c} 3.14. Катер, переправляясь через реку шириной 600 м, двигался перпендикулярно течению реки со скоростью мс в системе отсчета, связанной с водой. Насколько метров будет снесен катер течением, если скорость течения 1,5 мс {225 м 3.15. Гребец сообщает лодке скорость 2 мс относительно воды. Под каким углом к течению реки он должен направить лодку, чтобы плыть точно поперек реки, если скорость ее течения 1 мс {120 0 } 3.16. Эскалатор метро спускает неподвижно стоящего человека за 90 с. По неподвижному эскалатору человек спускается за 2 мин. За какое время спустится человек по движущемуся эскалатору Скорости движения человека и эскалатора во всех случаях неизменны. {51,4 с 3.17. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нём человека в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается затри минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся вверх эскалатору {45 c} 3.18. Колонна автомашин длиной 2 км движется со скоростью 36 км/ч. Изначала колонны выезжает мотоциклист, который, достигнув ее конца, возвращается обратно. Скорость мотоциклиста постоянна и равна 54 км/ч. Сколько времени будет в пути и какой путь пройдет мотоциклист пока он снова нагонит начало колонны {8 мин 7,2 км 3.19. Два велосипедиста едут по взаимно перпендикулярным дорогам со скоростями 10,8 км/ч и 14,4 км/ч, соответственно. Чему равна их относительная скорость {18 км/ч} 3.20. Две прямые дороги пересекаются под углом 60º. От перекрестка в одну сторону удаляются по ним две машины одна со скоростью 60 км/ч, другая со скоростью 80 км/ч. Определить величину скорости, с которой одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно. {72,1 км/ч; 122 км/ч} Ускорение – векторная величина показывает, как быстро изменяется скорость тела. По определению ускорение это производная скорости повремени, где dt - бесконечно малый промежуток времени, в течение которого ускорение можно считать постоянным, а dV - бесконечно малый вектор изменения скорости. Если в процессе движения ускорение тела постоянно по модулю и по направлению, такое движение называют равнопеременным. Равнопеременное движение может быть и прямолинейными криволинейным. В случае прямолинейного движения можно различать равноускоренное и равнозамедленное движение. При равноускоренном прямолинейном движении направления векторов ускорения и мгновенной скорости совпадают, а при равно- замедленном прямолинейном движении направления этих векторов противоположны. При равнопеременном движении ускорение можно определить по формуле B A V –V a= Δt , где A V , B V - скорости тела, соответственно, в начальной Аи конечной В точках- интервал времени движения от точки А до точки В. Если движение тела криволинейное, то, вообще говоря, ускорение направлено под некоторым углом к траектории движения (имеется ввиду угол между касательной к траектории и вектором ускорения. Совет Вообще важно помнить, что направление вектора ускорения не определяет направление движения тела. При решении задач кинематики важно знать зависимости вида r = r(t) , V = V(t) , которые позволяют определить положение и скорость тела в любой момент времени. Это и есть основная задача кинематики – определить координаты и скорость тела в любой момент времени, зная начальные условия и закон по которому движется тело. Точный вид этих зависимостей определяется характером движения тела. Рассмотрим случаи равномерного и равнопеременного движения. Прямолинейное равномерное движение – движение, при котором скорость тела постоянна по модулю и по направлению, а ускорение равно нулю V=const , a=0 8 При этом радиус вектор тела зависит от времени следующим образом 0 r=r +Vt . Это уравнение векторное. В скалярном же виде оно будет иметь вид (в проекции на ось ОХ, направленной параллельно скорости тела 0 x x=x +V t , где 0 r - радиус вектор тела в начальный момент времени t=0 , 0 x - проекция вектора на ось ОХ или, другими словами, начальная координата тела. 4.1. Две автомашины движутся по дороге с постоянными скоростями 10 мс и 15 мс. Начальное расстояние между машинами равно 1 км. За сколько секунд вторая автомашина догонит первую {200 с 4.2. Две автомашины движутся по взаимно перпендикулярным шоссейным дорогам равномерно со скоростями км/ч. и 72 км/ч. На каком расстоянии друг от друга окажутся автомобили через 10 мин. после встречи у перекрёстка? {15 км 4.3. По прямому шоссе водном направлении движутся два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 10 мс, второго 20 мс. Расстояние между мотоциклистами в первый момент времени равном. Найти время и координату места встречи мотоциклистов, приняв за начало отсчета начальное положение второго мотоциклиста. {20 см. Из города А выехали с одинаковыми скоростями два автомобиля, второй через 12 мин после первого. Они поочередно, с интервалом в 14 мин, обогнали одного итого же велосипедиста. Во сколько раз скорость автомобилей больше скорости велосипедиста {7} 4.5. Два тела движутся навстречу друг другу так, что за каждые с расстояние между ними уменьшается нам. Если эти тела будут двигаться водном направлении с прежними по величине скоростями, то за 5 с расстояние между ними увеличится нам. С какой скоростью движется каждое из тел (1,1 мс 0,5 мс) Для равнопеременного движения зависимости радиус-вектора и вектора скорости от времени имеют вид 0 2 at r = r +V t + 2 ; 0 V=V + at . Эти векторные уравнения, будучи спрое- цированными на оси координат О и О , имеют вид x 0 0x 2 a t x = x +V t + 2 , x 0x x V =V + a t y 0 0y 2 a t y = y + V t + 2 , y 0y y V =V + a Следствием этих уравнений является еще одно полезное уравнение 2 2 x 0x x V –V x = x o 2a + ; 2 2 y 0y y V –V y = y Здесь 0 x - начальная координаты тела (координата тела в момент времени 0 t = ), 0 V - вектор начальной скорости тела (вектор скорости в момент времени 0 t = ), 0x 0y V , V - его проекции на оси координат. a , a x y - проекции вектора ускорения на оси координат. В этих уравнениях x, y - координаты тела в произвольный момент времени мгновенные координаты V - вектор мгновенной скорости тела (скорости тела в момент времени t ); X V и Y V - проекции вектора мгновенной скорости на оси О и О. Необходимо понимать, что X t, x, y, V , V Y - переменные величины, а , , , , 0 0 0x 0y x y x , y V V a a - постоянные в процессе равнопеременного движения (однажды и навсегда заданные в начальной точке движения. Эти постоянные величины называются начальными условиями. 9 При решении задач кинематики на равнопеременное движение целесообразно придерживаться следующей последовательности действий • Внимательно прочитать задачу, записать краткое условие, определить характер движения тела (прямо- или криволинейное, равномерное или равнопеременное. • Нарисовать рисунок, на котором отобразить начальное положение тела, начальную скорость, ускорение тела, примерную траекторию движения. Изобразить положение интересующих нас точек на траектории движения тела, а также отметить координаты этих точек и скорость тела в этих точках. Наш интерес к этим точкам определен условием задачи. Изобразить на рисунке оси координат. Направления координатных осей выбираются произвольно, но, конечно так, чтобы уравнения для дальнейшего решения выглядели как можно менее громоздко. Также необходимо четко указать начало координат. Если движение тела прямолинейное, то, очевидно, достаточно выбрать одну ось координат и направить ее вдоль прямой, по которой тело движется. • Записать кинематические уравнения движения 2 x 0 0x a t x = x + V t + 2 , 2 y 0 0y a t y = y + V t + 2 , x 0x x V = V + a t , y 0y y V = V + a t • При необходимости можно применить формулы 2 2 x 0x x V -V x = x o 2a + , 2 2 y 0y y V -V y = y o 2a + • Определить начальные условия значения начальных координат ( 0 0 x , y ), значения проекций начальной скорости ( 0x 0y V , V ). Определить проекции ускорения ( a , a x y ). • Подставить значения начальных условий в кинематические уравнения движения. Полученная таким образом система уравнений является системой кинематических уравнений, приспособленных для решения данной конкретной задачи. • Рассмотреть интересующие нас точки на траектории движения тела. Определить значения необходимых величин в этих точках (координат, проекций скорости) и подставить эти значения в полученные ранее кинематические уравнения движения. Теперь получатся уравнения, содержащие не переменные величины время, координаты и проекции скорости, а вполне конкретные значения, определяющие ту или иную точку траектории, в которой находится тело в некоторый конкретный момент времени. • Решить полученную систему уравнений для данной особой точки относительно неизвестных величин. Получить расчетные формулы для искомых величин. • Произвести проверку размерности (наименование величины. • Подставить численные значения, сделать расчет и проанализировать полученный результат. Задача 5.1. Спуск длиной 100 м лыжник прошел за 20 сдвигаясь с постоянным ускорением 0,3 мс. Найти скорость лыжника в конце пути. Дано 1 t =20 c , 1 x м , 2 a = мс- Уравнение движения лыжника 2 0 0 at r = r + V t + 2 , уравнение скорости 0 V = V + a t . С учётом начальных условий 0 0X 0 X x = 0, V = V , a = a , проецируя на ось X имеем 2 0 at x = V t +и 10 X 0 V = V + Интересующая нас точка на траектории движения – это точка 1. В точке 1: 1 t = t , 1 x = x , x 1 V = V . Подставим значения времени, координаты и скорости для точки 1 в кинематические уравнения движения. Получим 2 1 1 0 1 at x =V t + 2 , 1 0 1 V =V + Решив эту систему уравнений с двумя неизвестными 0 V и 1 V относительно неизвестной 1 V . В результате получим 2 1 1 1 1 2x + at м = = 8 2t с Графики движения лыжника изображены на рисунке 6. Ответ 8 мс. Задача 5.2. За 2 с тело прошло путь 10 м, причем скорость увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела и его начальную скорость. Дано 1 t =2 c , 1 x м , 1 0 V 3V = 0 V -? a-? Решение. Кинематические уравнения движения тела и его скорости имеют вид 2 0 0 at r = r + V t + 2 , x 0 V =V +at , и, с учётом начальных условий 0 0 0 x x x =0, V =v , a =a , в проекции на ось Ох 2 0 at x=V t+ 2 , Рисунок 5 Рисунок 6 Рисунок 7 11 x 0 V =V +at . В точке 1 координата тела равна пройденному пути x=x =10 ми в момент времени 1 t=t =2 c скорость по условию задачи в 3 раза больше начальной x 1 0 V =V =3V . Подставляя эти значения, получим для точки 1: 2 1 1 0 1 at x =V t + 2 , 0 0 1 3V =V +Отсюда 2 1 2 1 x мс t , 1 0 1 x v = =2,5 / с 2t м |