фывфыв. 1 механика механика изучает законы и свойства механического движения. Механическим движением тела называется изменение положения тел или частей тела в пространстве относительно друг друга стечением времени
 Скачать 1.04 Mb.
|
|
Ответ: 2,5 мс 2,5 мс. Задача 5.3. Поезд движется со скоростью 20 мс. При торможении до полной остановки он прошёл расстояние в 200 м. Определите время, в течение которого происходило торможение. Дано 0 мс м t ? = = − Решение Кинематические уравнения движения тела и его скорости имеют вид 2 0 0 at r = r + V t + 2 , 0 V=V +at , и, с учётом начальных условий (см. рисунок 8) 0 0 0 x x x =0, V =v , a = – a , в проекции на ось Ох 2 0 at x=V t – 2 , x 0 – V =V at . В точке 1 координата тела равна пройденному пути x=x =200 ми в искомый момент времени 1 t = t скорость по условию задачи равна нулю (поезд остановился) X 1 V V 0 = = . Для координаты и скорости в точке 1 имеем 2 1 1 0 1 at x V t 2 = − , 0 В этой системе уравнений две неизвестные ускорение поезда a и искомый момент остановки поезда 1 t . Исключая ускорение получим 0 1 1 V t x 2 = , откуда 1 1 0 2x t 20 Графики зависимости координаты, проекций скорости и ускорения поезда от времени представлены на рисунке 9. Ответ 20 с. Рисунок 8 Рисунок 9 12 5.4. Лыжник спускается с горы длиной 180 м. Сколько времени займет спуск, если ускорение лыжника равно мс, а начальная скорость 4 мс с 5.5. Тело начинает двигаться равноускоренно вдоль некоторой оси с начальной скоростью 10 мс. Какой должна быть величина ускорения, чтобы за 2 с оно сместилось нам относительно начальной точки движения {5 мс 5.6. Торможение поезда метро началось на расстоянии 200 мот станции. На каком расстоянии от станции окажется поезд, идущий со скоростью 30 мс, через 7 с после начала торможения с ускорением 5 мс {112,5 м 5.7. За две секунды движения тело прошло путь 20 м, при этом его скорость, не меняя направления, увеличилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Определить ускорение тела. {5 мс 5.8. За одну секунду движения тело прошло путь 10 м, при этом его скорость, не меняя направления, увеличилась в 4 раза по сравнению с первоначальной скоростью. Каково было ускорение тела {2 мс 5.9. Двигаясь с ускорением 0,5 мс, тело на пути 60 м увеличило свою скорость в 4 раза. Найдите начальную скорость тела. мс 5.10. Известно, что точка за 10 с прошла 30 м, причем ее скорость увеличилась враз. Определить ускорение, считая его постоянным. {0,4 мс Задача 6.1. Тело, двигаясь равноускоренно с начальной скоростью V 0 , приобретает, пройдя некоторое расстояние, скорость V 2 . Какова была скорость тела V 1 , когда оно прошло половину этого расстояния. Дано 0 2 1 V , V V -Решение. Применим к решению этой задачи формулу 2 2 x 0x 0 x V –V x = Учитывая, что начальные условия имеют вид 0 0x 0 x x = 0, V = V , a = см. рисунок) запишем ее для двух точек (см. рис для точки с координатой 1 x : 2 2 1x 0 x 1 x V –V x = 2a , и точки с координатой 2 x : 2 2 2 x 0 x 2 1 x V –V x = 2x Из двух последних уравнений после преобразований имеем 2 2 0 2 1 V +V V Ответ 2 2 0 2 1 V +V V Задача 6.2. Двигаясь равноускоренно, тело проходит за 5 с расстояние 30 см, аза следующие 5 с – 80 см. Определить начальную скорость и ускорение тела. Дано x мм Решение Уравнение движения тела 2 0 0 a t r = r + V t + 2 , с учётом начальных условий 0 x = 0 , 0x 0 V = V , x a = a , получим зависимость Рисунок 10 Рисунок 11 13 координаты тела от времени 0 at x = V t + 2 . Рассмотрим точку 1. В момент времени 1 t = t координата точки равна 2 1 1 0 1 at x = V t + 2 , в момент времени 2 t = t 2 2 2 0 2 at x =V t + 2 . Получили систему уравнений с неизвестными 0 V и a , решая которую получим ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 x t -x t см с t t (t -t ) м Ответ: 0,01 мс, 0,02 м/с 2 Задача 6.3. Автомобиль, трогаясь с места и двигаясь равноускоренно, первый километр прошел за 6 мин. За какое время он проедет второй километр пути Дано км = 1000 м = 6 = 360 с 1 мин , 2 1 - x x = x = 1 км = 1000 м ∆ Δt-? Решение. Движение автомобиля прямолинейное равноускоренное. Совместим начало оси Х с начальной точкой движения. Начальная координата, проекция начальной скорости на ось 0x V по условию задачи, проекция ускорения на ось О a =a x . Таким образом, координата автомобиля зависит от времени по закону t x = 2 . Натра- ектории движения автомобиля нас будут интересовать две точки 1 и 2. Обозначим интервал времени, в течение которого автомобиль проходит второй километр пути Δt . Тогда показание часов в точке 2 будет равно Δ 2 1 t = t + t , а координата точки 2 будет равна Δ 2 1 x = x + x . Тогда для точки 1 имеем 2 1 1 a t x = а для точки 2: ( ) 2 Δ 1 2 a t + t x = 2 . Выполнив преобразования, получим Δ 1 Δ 1 1 x + x t = t –1 149,4c x Ответ 149,4 с. 6.2. Двигаясь равноускоренно безначальной скорости, тело, пройдя некоторое расстояние, приобрело скорость мс. Чему была равна скорость тела, когда оно прошло половину этого расстояния {10 мс 6.3. Тело, двигаясь равноускоренно с начальной скоростью 1 мс, приобретает, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 мс. Какова была скорость тела, когда оно прошло половину этого расстояния. {5 мс 6.4. Пуля, летящая со скоростью 141 мс, попадает в дерево и проникает на максимальную глубину 6 см. Определить скорость пули на глубине 3 см. Движение пули считать равнозамедленным. {100 мс 6.5. При торможении от скорости 40 км/ч до полной остановки автомобиль прошел путь 16 м. Какой путь пройдет этот автомобиль на той же дороге при снижении скорости от 100 км/ч до 60 км/ч? Считать, что ускорение при торможении постоянно и одинаково в обоих случаях. {64 м 6.6. С какой скоростью надо бросить камень вдоль горизонтальной поверхности катка, чтобы он, скользя с ускорением 0,5 мс, остановился на расстоянии 100 мот начального положения {10 мс 6.7. Через 4 с после начала торможения скорость автомобиля была вдвое меньше начальной. Через сколько секунд от начала торможения, скорость автомобиля будет в четыре раза меньше начальной. {6 c 6.8. При взлете разбег самолета длится 25 с. Определить путь, пройденный самолетом по взлетной полосе, если, пройдя ¾ длины разбега, самолет приобрел скорость 51 мс. Ускорение самолета считать постоянным м Рисунок 12 14 6.9. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, за первые 2 с прошлом, аза следующие 2 с прошлом. Определить начальную скорость и ускорение тела. {10 мс, 2 мс 6.10. При равноускоренном движении тела безначальной скорости путь, пройденный телом за ю секунду больше пути, пройденного за ю секунду нам. Определить ускорение тела. {2,5 мс 6.11. Запятую секунду равнозамедленного движения тело проходит путь 5 ми останавливается. Определить начальную скорость и ускорение тела. {50 мс, 10 мс 6.12. Тело, двигаясь равноускоренно, за первые 5 с своего движения прошло расстоянием, аза первые 10 с – расстоянием. Определить начальную скорость тела. мс 6.13. З первую секунду равноускоренного движения тело проходит путь равный м, аза вторую - м. Определить модуль начальной скорости тела. мс 6.14. Тело, скатывающееся с наклонной плоскости с некоторой начальной скоростью, за первые с проходит 2 м, а в последующие три секунды 4 м. Считая движение равноускоренным, определите начальную скорость тела. {1/3 мс 6.15. Тело, движущееся прямолинейно, пройдя путь 3 м приобретает скорость 4 мс, а пройдя еще 4 м приобретает скорость 6 мс. Определить начальную скорость тела, считая движение равноускоренным. {1 мс 6.16. Шарик, пущенный вверх вдоль наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длиной L каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за τ с, второй за 3τ с. Найти скорость шарика в конце первого отрезка пути. {5L/6τ} 6.17. Автомобиль, трогаясь с места и двигаясь равноускоренно, первый километр прошел за 6 мин. За какое время он проедет второй километр пути {2,49 мин 6.18. Тело, двигаясь из состояния покоя, проходит 10 ми приобретает скорость 2 мс. Чему будет равна скорость тела, после того как тело пройдет еще 20 м. Ускорение остается все время постоянным. {3.46 мс 6.19. На последнем километре пути скорость поезда уменьшилась на 10 мс. Определить изменение скорости на предпоследнем километре пути. Движение по прямой равнозамедленное. {4 мс Задача 7.1. Пущенное вверх по наклонной плоскости тело через время 4 с оказалось ниже своего первоначального положения на расстоянии 16 м вдоль плоскости. В этот момент значение скорости тела было равным 10 мс. Определить ускорение тела и значение начальной скорости. Построить графики движения. Дано = 4 c , 1 v =10 / с м , L=16 м ; 0 V -Решение. Направим ось ОХ вверх вдоль наклонной плоскости. Начало оси выберем в первоначальной точке движения. При движении по наклонной плоскости вектор ускорения направлен вниз вдоль наклонной плоскости (см. рис 13). Начальные условия x = 0 0 , V = V 0X 0 , проекция ускорения на ось ОХ a = -a Тогда проекции на эту ось кинематического уравнения движения и его скорости имеют вид 2 0 at x = V t - 2 , x 0 V = V - at . В интересующей нас точке 1: 1 t = t , x = x = - L 1 , x 1 V = -V . Кинематические уравнения в точке 1: 2 1 0 1 at – L = V t - 2 , 1 0 1 -V = V - at . Решая эту систему уравнений, находим 0 1 1 V +V 2 a = = см мс t . Если подставить числа, то кинематические уравнения движения будут выглядеть так = 2t - 1,5t , x V = 2 - 3t Графики этих функций представлены на рисунке 14. Вершина параболы на графике x = x(t ) соответствует координате Рисунок 13 15 2 0 V x 0, ми моменту времени 0 t V a 0, 67 c ′ Ответ 3 мс, 2 мс. Задача 7.2. Тело начинает соскальзывать по наклонной плоскости и за 10 с проходит путь, равный 2 м. Считая движение равноускоренным, определить модуль ускорения тела и его скорость в этот момент времени. Дано 10 t c = , 1 м Решение Движение прямолинейное равноускоренное, описывается уравнениями 2 0 0 at r r V t 2 = + + (1) 0 V V at = + (2) Вектор ускорения направлен вниз вдоль наклонной плоскости. Начальная скорость равна нулю (в условии сказано тело начинает со- Рисунок 14 Рисунок 15 16 скальзывать … »). Направим ось координат ОХ вниз вдоль наклонной плоскости (см. рис, начало оси выберем в начальной точке движения, начало отсчета времени совместим с началом движения. Тогда начальные условия для нашей задачи будут иметь вид 0 x 0 = , 0x V 0 = , x a a = . (3) Проецируя (1) и (2) на ось ОХ, с учетом значений начальных условий (3) получим кинематические уравнения движения нашего тела 2 at x 2 = , (4) x V at = . (5) Нас интересует точка 1 с координатой 1 x x = , в которой тело находится в момент времени 1 t t = и имеет скорость x 1 V V = . Подставим эти значения в уравнения (4) и (5) и получим систему уравнений 2 1 1 at x 2 = , (6) 1 1 V at = . (7) Из (6) находим ускорение 1 2 1 2x a t = . (8) Подставим (8) в (7) и найдем скорость тела в точке 1: 1 1 1 2x V t = . (9) Подставим числовые значения в расчетные формулы (8) им см 4 с , = Ответ: 0,04 мс 0,4 мс. Задача 7.3. Тело, которому была сообщена начальная скорость 10 мс, движется после этого вдоль прямой с постоянным ускорением 2 м/с 2 и направленным противоположно начальной скорости. Определить путь, пройденный телом за 8 сдвижения. Дано мс, мс Решение. Движение прямолинейное равнопеременное. Описывается уравнениями. (а) Начальные условия 0 x 0 = , 0x 0 V V = , x a a = − . Спроеци- руем (1) и (а) на ось Х с учетом значений начальных условий получим 2 0 at x V t 2 = − , (2) x 0 V V at = − . (3) Для нахождения пути проследим за движением тела. Изначальной точки тело движется замедленно, его скорость уменьшается, ив точке 2 (см. рисунок) скорость становится рав- Рисунок 16 17 ной нулю. Затем тело движется в обратном направлении. В момент времени 1 t 8 тело находится в точке 1. Значение пути зависит оттого, куда движется тело в этот момент. Если скорость его в точке 1 направлена вправо, то путь, пройденный телом к этому моменту равен координате точки 1, то есть 1 s x = . Если же скорость тела направлен влево – это означает, что тело возвращается из точки 2 и путь, пройденный им к этому моменту равен 2 2 1 2 1 s x x x 2x x = + − = − ( ) . (4) Определим координату, и скорость тела в момент времени 1 t 8 c = : 2 1 1 0 1 at x V м, (5) 1x 0 мс − . Проекция скорости тела в точке 1 отрицательна, это значит, что тело в этот момент движется влево. Следовательно, путь определяется формулой (4). Для нахождения 2 x рассмотрим момент времени 2 t , когда тело находится в точке 2. Скорость тела в этот момент равна нулю. Запишем кинематические уравнения движения для этой точки 2 2 2 0 2 at x V t 2 = − , 0 2 0 V at = − . Из этой системы уравнений находим 2 0 2 V x 2a = . (6) Подставим (5) ив) получим 2 2 0 1 0 1 V at s V м Ответ 34 м. 7.4. Пущенное вверх по наклонной плоскости тело через время 10 с оказалось ниже своего первоначального положения на расстоянии 20 м вдоль плоскости. В этот момент значение скорости тела было равным 12 мс. Определить значение начальной скорости. {8 мс 7.5. По наклонной доске пустили снизу вверх небольшой шарик. В точке L, находящейся на расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды через си через с после начала движения. Определить величину скорости шарика в точке L. {0,15 мс 7.6. По наклонной доске скользит вверх небольшой шарик. В точке, находящейся на расстоянии 30 см от начальной точки, шарик побывал дважды через 1 си с после начала движения. Определить расстояние от начальной до верхней точки траектории. {0,4 м 7.7. Тело, которому была сообщена начальная скорость 5 мс движется после этого вдоль прямой с постоянным ускорением 2 мс, направленном противоположно начальной скорости. В некоторый момент времени модуль скорости тела в 3 раза больше начальной. Определить путь, пройденный телом к этому моменту. {62,5 м 7.8. Тело, которому была сообщена начальная скорость 12 мс, движется после этого вдоль прямой с постоянным ускорением, направленным противоположно начальной скорости, и равным 3 мс. Определить путь, пройденный телом за 6 сдвижения м 7.9. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью 10 мс и постоянным ускорением 5 мс, направленном в сторону, противоположную начальной скорости. Определить, во сколько раз путь, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль её перемещения спустя 5 с после начала движения. {2,6} 7.10. Тело, которому сообщена начальная скорость 4 мс движется вдоль прямой с постоянным ускорением 2 мс, направленным противоположно начальной скорости. В некоторый момент времени величина его скорости становится в 2,5 раза больше начальной скорости. Определить путь, пройденный телом к этому моменту времени. {29 м Задачи с использованием графиков Задача 8.1. Мотоциклист и велосипедист движутся по прямолинейному участку дороги навстречу друг другу со скоростями 10 мс и 5 мс соответственно. В начальный момент расстояние между ними 18 равном. Определить время и место их встречи в какие моменты времени расстояние между ними равном пути, пройденные мотоциклистом и велосипедистом к моменту их встречи. Задачу решить аналитически и графически. Дано V 1 = 10 мс, V 2 = 5 мс, L 0 = 210 мм встр - ? t встр - ? t′ - ? t′′ - ? S 1 - ? S 2 - ? Решение. Свяжем систему отсчета с землей, приняв за начало координат местонахождения мотоциклиста в начальный момент времени. Обозначим мгновенные координаты мотоциклиста и велосипедиста и 2 x соответственно начальные координаты 01 x и 02 x ; проекции скоростей и 2X V . Учитывая, что 01 02 0 1X 1 2X 2 x 0 x L V V V V = = = = итак как ускорения мотоциклиста и велосипедиста равны нулю, уравнения зависимости их координат от времени выглядят следующим образом и 2 0 2 x L V t = − . (1) В момент встречи 1 2 встр x x и встр t t = , те. 1 встр 0 2 встр V t L V t = − , откуда 0 встр 1 2 L 210 t 14 c V V 10 5 = = = + + . Подставляя полученное значение в любое уравнение (1) получим координату места встречи 1 0 встр 1 2 V L x 140 м V V = = + Определим моменты времени, в которые расстояние между мотоциклистом и велосипедистом равно 1 L . Расстояние между телами равно модулю разности их координат. В нашем случае 1 1 2 1 0 2 L x x V t L V t = − = − + , это уравнение эквивалентно совокупности уравнений и ( ) 1 1 0 2 L V t L V t ′ ′ = − − + , откуда 0 1 1 2 L L t 6 c V V − ′ соответствует заданному расстоянию между мотоциклистом и велосипедистом до встречи) и 0 1 1 2 L L t 22 c V V + ′′ соответствует заданному расстоянию между мотоциклистом и велосипедистом после встречи. Определим пути 1 S и 2 S , пройденные мотоциклистом и велосипедистом до встречи 1 0 1 1 встр 1 2 V L S V м 2 0 2 2 встр 1 2 V L S V t 70 м V V = = = + Графики зависимости координат мотоциклиста и велосипедиста от времени изображены на рисунке. Эти зависимости имеют вид прямых, наклоненных коси времени под углами соответственно 1 α и 2 α , причем 1 1X 1 tg V V α и 2 2X 2 tg V V α = = − . 8.2. Построить графики движений двух тел, описываемых уравнениями x 1 = -1 + 2t см их см, водной системе координат и по графикам определить, через сколько времени с момента t=0 координаты этих Рисунок 17 Рисунок 18 19 тел станут одинаковыми и какой она будет. Время выразить в секундах, а координату х — в сантиметрах. Зависимость координаты тела от времени задана уравнением X = 1 + 2t - 2,5t 2 . Определить величину ускорения тела и величину его скорости через 2 с после начала движения. {5 мс 8 мс 8.4. Используя графики зависимости проекции скорости тела от времени v x =v x (t ) (см. рис 19) построить графики зависимости проекции ускорения от времени a x =a x (t ) и определить путь, пройденный телом. Движение прямолинейное вдоль оси X. Ответам б) 110 м в) 89,1 мг м. Графики представлены на рисунке. Рисунок 19 Рисунок 20 20 8.5. Используя график зависимости проекции ускорения от времени (рисунок 21) определить среднюю скорость движения тела, если начальная скорость в обоих случаях равна нулю. Движение прямолинейное вдоль оси X. Ответа мс б) 3,5 мс. Движение тела под действием силы тяжести. Одним из видов равнопеременного движения является движение под действием силы тяжести, которое, независимо от направления движения, происходит с одними тем же ускорением, направленным вертикально вниз. Для описания этого движения выбирают прямоугольную систему координат и применяют уравнения равнопеременного движения. Замечание при решении задач этого раздела принимать мс и силу сопротивления воздуха не учитывать. Движение по вертикали. Задача 9.1. С высоты h=4 м над поверхностью Земли бросили камень вертикально вверх с начальной скоростью V 0 =10 м/с. . Определить: максимальную высоту, на которую поднимется камень, время полета камня и скорость с которой он упадет на Землю. Определить путь, пройденный телом. Дано |