1. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела
 Скачать 0.52 Mb.
|
Интегрирование методом подстановки.Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла. Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами. Пример. Найти неопределенный интеграл . Решение. Введем новую переменную . Выразим х через z: Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл: Из таблицы первообразных имеем . Осталось вернуться к исходной переменной х: Интегрирование по частям.Интегрирование по частям основано на представлении подынтегрального выражения в виде произведения и последующем применении формулы . Этот метод является очень мощным инструментом интегрирования. В зависимости от подынтегральной функции, метод интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз подряд до получения результата. Для примера найдем множество первообразных функции арктангенс. Пример. Вычислить неопределенный интеграл . Решение. Пусть , тогда Следует отметить, что при нахождении функции v(x) не прибавляют произвольную постоянную С. Теперь применяем формулу интегрирования по частям: Последний интеграл вычислим по методу подведения под знак дифференциала. Так как , то . Поэтому Следовательно, где . 25. Дробно-рациональная функция. Типы простейших алгебраических дробей и их интегрирование. Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой , где и – целые числа, , , коэффициенты многочленов – действительные числа, , . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя () или неправильной в противном случае (). Из неправильной рациональной дроби можно "исключить целую часть", т.е. представить неправильную рациональную дробь в виде суммы целой рациональной дроби (многочлена) и правильной рациональной дроби. 1 тип. — заданные числа 2 тип. — заданные числа 3 тип. — заданные числа Квадратный трехчленне имеет действительных корней. Интегрирование проводится путем выделения полного квадрата в знаменателе:и последующей заменойт.е. Первый интеграл при помощи заменыприводится к табличному (ОК № 15, формула 2), второй является табличным (формула 15). Пример: 4 тип.— заданные числа не имеет действительных корней. Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где — заданные числа трехчленне имеет действительных корней. Тогдапредставляется в виде суммы простейших дробей 1—3 типов: где— неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя кДоказательство представлено в [3.С.354]. Примеры: 1) 2) 3) Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере. Пример: Поскольку(см. пример в п. 16.1.1), то Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших: (16.1) Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1): Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя: Окончательно имеем 26. Интегральная сумма Римана. Определенный интеграл Римана. Интегрируемые функции. Геометрическая интерпретация определенного интеграла. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) задана всюду на отрезке [ a, b ] и задано разбиение Т, то всякая сумма: называется интегральной суммой Римана функции f. 1) Любая функция, ограниченная и непрерывная в некотором промежутке, является интегрируемой на этом промежутке. К классу интегрируемых функций относятся также функции, ограниченные на промежутке интегрирования и имеющие на этом промежутке конечное число точек разрыва первого рода. 2) Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция c f(x), где c – константа, интегрируема на этом промежутке. 3) Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то и функция | f(x) | интегрируема на этом промежутке. 4) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на промежутке [a,b], то и их сумма, разность и произведение интегрируемы на этом промежутке. 5) Если функция f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка. 6) Если функция f(x) интегрируема в каждой части некоторого промежутка, то она интегрируема и на всем промежутке. 7) Если значения интегрируемой функции изменить в конечном числе точек на конечные величины, то интегрируемость функции не нарушится. Применительно к функции f(x) , которая не определена в конечном числе точек промежутка [a,b], это означает, что ни существование интеграла , ни его величина не зависят от значений, приписанных функции f(x) в точках ее разрыва. Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.). |