ВТА и Численные Ряды. 3 Семестр. 1. Определение двойного интегр и его основ свойства. Теорема о среднем. Классы интегрир функций двух переменных. Пусть произвольная функция f(X,y) определена всюду на замкнутой квадрируемой области D.
 Скачать 1.15 Mb.
|
(t); y= (t); a 1 = P( k , k )(x k -x k-1 ) 1 = Q( k , k )(y k -y Пусть =max{ l k } – характеристика разбиения L. Определение 1. Число J 1 (J 2 ) называется пределом интегральной сумм 1 ( 2 ) при ->0, если такое, что при и независимо от выбора промежуточных точек N k ( k , k ) выполняется неравенство | 1 -J 1 |< (| 2 -J 2 |< ). Определение 2. L P(x,y)dx ( L Q(x,y)dy). Их сумма называется общим интегралом 2 рода и обозначается как L [P(x,y)dx +Q(x,y)dy]. Замечание Криволинейный интеграл 2 рода зависит от направления, поэтому AB P(x,y)dx= - BA P(x,y)dx. Интеграл можно рассматривать ив пространстве. Замечание Для пространственной кривой вводится аналогично 3 криволинейных интеграла 2 рода и общий интеграл имеет вид AB Pdx+Qdy+Rdz Теорема Пусть праметрически заданная кривая L: {x= (t); y= (t); a P(x,y)dx= a b [P( (t), (t))* ’(t)]dt ; L Q(x,y)dy= a b [Q( (t), (t))* ’(t)]dt (Доказательство. заметим, что x k =t k-1 tk ’(t)dt. 1 = k=1 n {[P( ( k ), ( k ))]* tk-1 tk ’(t)dt, k [t k-1 ,t k ]; J 1 = a b [P( (t), (t))* ’(t)]dt = k=1 n {t k- 1 tk [P( (t), (t))* ’(t)]dt}. | 1 -J 1 |=| k=1 n {t k-1 tk {[P( ( k ), ( k ))- P( (t), (t))}* ’(t)dt|< * k=1 n {t k-1 tk | ’(t)|dt}= *M k=1 n {t k-1 tk dt}= * k=1 n {t k-1 tk | ’(t)|dt}= * a b ’(t)dt= *M(a-b) B силу произвольности >0 при ->0 1 ->J 1 . док-во аналогично. Свойства Криволинейного интеграла 2 рода аналогичны свойствам криволинейного интеграла 1 рода. 1. L [ f(x,y)+ g(x,y)]dl= L f(x,y)dl+ L g(x,y)dl. 2. AB f(x,y)dl= AC f(x,y)dl+ CB f(x,y)dl, C L=AB. 3. L |f(x,y)|dl | L f(x,y)dl|. Если f(x,y) непрерывна на L, то для M L справедливо равенство L f(x,y)dl=f(M)*l Связь между криволинейным интегралом 1 ирода Пусть на кривой L взята некоторая точка M. Из точки M проведем касательную к кривой L, которая создаст углы и между касательной и осями координат ОХ и О. Тогда dx=cos dl, dy=cos dl (дифференциал дуги в точке Ми с +Qcos dl]= L F(x,y)dl. для пространственной кривой L [Pdx +Qdy+Rdz] = с +Qcos dl +Rcosɣdl] (с- направляющие косинусы кривой L 9. Формула Грина. L- замкнутая крива АВ, точки A и совпадают. Введем понятие ориентированной кривой. Определение 1. Пусть простая замкнутая кривая L является границей плоской области G. Если при обходе кривой (при возрастании параметра t) область G остается слева (обход совершается против часовой стрелки, то такая ориентация кривой называется положительной (в противном случае - отрицательной. Определение 2. Криволинейной трапецией называется область D, ограниченная двумя отрезками, параллельными оси x и y и двумя простыми кусочно-гладкими кривыми, взаимно не пересекающимися. Теорема (формула Грина Пусть 1) плоская область, ограниченная простым кусочно-гладким контуром L. 2) Эту область можно разбить наконечное число криволинейных трапеций. 3) В замкнутой области G заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда справедлива формула L+ [Pdx +Qdy] = G [( Q/ x)-( P/ y)]dxdy (1). Доказательство частный случай Пусть G- криволинейная трапеция, относительно оси x и y, ограниченная кривой L 1 : {x=a; x=b; y= 1 (x); y= 2 (x) или кривой L2: {y=c; y=d; x= 1 (x); x= 2 (x) (данные представления равнозначны. Вычислим двойной интеграл G ( P/ y)dxdy= a b dx 1(x) 2(x) ( P/ y)dy. По формуле Ньютона- Лейбница: 1(x) 2(x) ( P/ y)dy=P(x,y) y= 1(x) | y= 2(x) =P(x, 2 (x))- P(x, 1 (x)). Теперь окончательное выражение для интеграла запишется как G ( P/ y)dxdy= a b P(x, 2 (x))dx - a b P(x, 1 (x))dx. Замечая, что a b P(x, 2 (x))dx= M7M6M5M4 P(x,y)dx и a b P(x, 1 (x))dx= M8M1M2M3 P(x,y)dx, атак же то, что M8M7 P(x,y)dx=0 и M3M4 P(x,y)dx=0 приходим к выводу, что G ( P/ y)dxdy= - M8M1M2M3 Pdx - M3M4 Pdx - M4M5M6M7 Pdx - M7M8 Pdx= - L+ Pdx (2). Аналогичным образом доказывается, что G ( Q/ x)dxdy = L+ Qdy (3). Вычитая (2) из (3) получим искомое выражение (Доказательство (общий случай Докажем теорму для общего случая. Пусть область G разбита на подобласти кусочно гладкой кривой и подобласти G 1 и ориентированы одинаково относительно кривой L. В этом случае L Pdx= L1 Pdx+ L2 Pdx. Пусть область общего вида. Разобьем ее на области общего вида (криволинейные трапеции. Для этих областей Gi [( Q/ x)- ( P/ y)]dxdy= Li+ [Pdx +Qdy]. Сосчитав все интегралы, атак же пользуясь его аддитивностью получим, что G [( Q/ x)- ( P/ y)]dxdy= i Gi [( Q/ x)-( P/ y)]dxdy= L+ [Pdx +Qdy]. 10. Условие того, что дифференциальная форма от двух переменных является полным дифференциалом, и криволинейный интеграл на плоскости не зависит от пути интегрирования. Определение связной областью называется связная область, ограниченная N контурами. Теорема. Пусть P(x,y) и Q(x,y) непрерывны и определены в ограниченной односвязной замкнутой области D. Тогда имеют место следующие утвеждения: 1) L ( )[Pdx +Qdy]=0. 2) L [Pdx +Qdy] не зависит от пути интегрирования. 3) Pdx +Qdy - полный дифференциал некой однозначной функции U: dU= Pdx +Qdy. 4) В области D: Q/ x= P/ y. Доказательство Будем проводить по схеме 1=>2=>3=>4=>1. 1) 1=>2. Если L [Pdx +Qdy]=0, тоне зависит от пути интегрирования. Рассмотрим замкнутую область ACBH. ACBH [Pdx +Qdy]=0; ACBHA [Pdx +Qdy]= ACB [Pdx +Qdy]+ BHA [Pdx +Qdy]= ACB [Pdx +Qdy] - AHB [Pdx +Qdy]=0 => ACB [Pdx +Qdy]= AHB [Pdx +Qdy]. 2) 2=>3. Пусть L [Pdx +Qdy] не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что Pdx +Qdy=dU. Зафиксируем точку А, а точку B сделаем произвольной. AB [Pdx +Qdy]=U(B)=U(x,y). U/ x=P, U/ y=Q вычислим U/ x=lim[(U(x+ x,y)- U(x,y))/ x]=lim( U/ x) при x->0 есть интеграл от выражения Pdx +Qdy взятый по пути, соединяющем точки B(x,y) и B 1 (x+ x,y). Т.к. по условию этот интеграл не зависит от кривой, то это путь - отрезок прямой. U/ x=(1/ x) BB1 [Pdx +Qdy]= (1/ x) BB1 Pdx+ по теореме о среднем (0< <1). Таким образом U/ x=lim[P(x+ x,y)]=P(x,y) при x->0. Аналогично доказывается, что U/ x=Q(x,y). 3) 3=>4. Из того, что Pdx +Qdy=dU следует, что U/ y=Q и U/ x=P. Поскольку P и Q непрерывные функции, то Q/ x= 2 U/ y x= P/ y= 2 U/ x y теорема о смешанном произведении. 4) 4=>1. Пусть в области D выполнено условие Q/ x= P/ y и L- произвольный простой замкнутый контур. По формуле Грина L ( )[Pdx +Qdy]=0= G [( Q/ x)- ( P/ y)]dxdy. Замечание Если D не является односвязной областью, то последнее условие не выполняется. Замечание 2. Если контур не является самопересекающейся кривой, то D можно разбить на 2 подобласти. 11. Определение поверхностного интеграла 1 рода, его свойства, вычисление. Пусть имеется некоторая кусочно-гладкая квадрируемая поверхность S, ограниченная гладким контуром. Разобьем поверхность S с помощью сетки кусочно-гладких кривых на части S i . Обозначим площадь ой части через S i . В каждой части S i выберем точку M i с составим интегральную сумму = i=1 n f(M i ) S i (1). Пусть =max{diam(S)}. Определение 1. Число J называется пределом интегральной суммы (1) при - >0, если такое, что при и независимо от выбора точек M i выполняется неравенство Определение 2. Если при ->0 существует (независимо от выбора точек M i и разбиения поверхности S) конечный предел J интегральной суммы (1), то этот предел называется поверхностным интегралом 1 рода по поверхности S и обозначается как S f(x,y,z)dS= S f(M)dS. Свойства. Непосредственно доказываются следующие свойства 1. S [ f(M)+ g(M)]dS= S f(M)dS+ S g(M)dS. 2. S f(M)dS= S1 f(M)dS + S2 f(M)dS, S 1 +S 2 =S. Если на поверхности S: m S< S f(M)dS S. Если на поверхности S: f(M) f(M)dS < S g(M)dS 5. S |f(M)|dS | S f(M)dS|. теорема о среднем:если f(x,y,z) непрерывна,то найдется (x ,y ,z ) S f(x,y,z)dS=f(x ,y ,z )* S. Теорема Пусть 1) гладкая поверхность, ограниченная кусочно- гладким контуром. 2) f(x,y,z) непрерывная функция по поверхности S. 2) Существует интеграл S f(x,y,z)dS. Тогда имеет место следующее равенство S f(x,y,z)dS= f(x(U,V),y(U,V),z(U,V))[EG- F 2 ] 1/2 dUdV, где область на плоскости переменных U и V, которой соответсвуют точки поверхности S при заданных отображениях класса C 1 : {x=x(U,V); y=y(U,V); z=z(U,V), E=( x/ U) 2 +( y/ U) 2 +( z/ U) 2 ; G=( x/ V) 2 +( y/ V) 2 +( z/ V) 2 ; Доказательство Пусть разбиению поверхности S на части S i соответствует разбиение области на части i . Пусть и ' - характеристики разбиения поверхности S и области соответсвенно. Тогда из-за непрерывности функции f, при ->0 ' также стремится к нулю ( '->0). Разложим S и на Si и i. В области S i выберем точку (x i ,y i ,z i ), которой будет соответсвовать точка (U i ,V i ) в области : {x i =x(U i ,V i ); y i =y(U i ,V i ); z i =z(U i ,V i ). Составим интегральную сумму = i=1 n f(x i ,y i ,z i ) S i , где S i =[EG- F 2 ] 1/2 dUdV - элемент площади поверхности S. Применим теорему о среднем прим далее в теореме "ср." обозначает усредненное значение ив лекциях обозначается соответствующей буквой с чертой наверху S i =[EG-F 2 ] 1/2 | (Uср.i,Vср.i) G i , где (Uср.i,Vср.i) i , а [EG-F 2 ] 1/2 - непрерывная функция. Рассмотрим разность интегральной суммы *= i=1 n f(x(U i ,V i ), y(U i ,V i ), z(U i ,V i ))[EG- F 2 ] 1/2 | (Uср.i,Vср.i) * G i и интегральной суммы : | - *|=| i=1 n {f(…)([E сp. G cp. -F ср. 2 ] 1/2 - [EG-F 2 ] 1/2 ) G i }|. Функция непрерывна в замкнутой области , значит она непрерывна ив самой области. Тогда для найдется такое разбиение T( ) с характеристикой ', что |[E сp. G cp. -F ср. 2 ] 1/2 - [EG-F 2 ] 1/2 |< . Т.к. f действует в непрерывной замкнутой области, то она ограничена в этой области. Отсюда получаем, что lim( - *)=0 при '->0 => - > *. 12. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства, вычисление. Связь с интегралом первого рода. Пусть гладкая, двусторонняя поверхность. В каждой точке поверхности можно указать единичный вектор нормали к поверхности n. Вектор-функция n(M), задающая нормаль в каждой точке, называется непрерывным полем нормали. Задать непрерывное поле нормали-значит задать ее поверхность. В любой точке поверхность определяется как вектор-функция координат F(x,y,z)=P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k, где непрерывные функции координат. Разобьем поверхность S с помощью сетки кусочно-гладких кривых на части S i , в каждой части которой выберем точку M i . Пусть F n (M i ) - проекция вектора F на n в точке M i , тогда пользуясь определением скалярного произведения F n (M i )=(F(Mi),n(Mi))=Pcos +Qcos +Rcos . Составим интегральную сумму = i=1 n (F(Mi),n(Mi)) S i (1). Определение 1. Число J называется пределом интегральной суммы (1) при ->0, если такое, что при и независимо от выбора точек M i выполняется неравенство Определение 2. Если при ->0 существует (независимо от выбора точек M i и разбиения поверхности S) конечный предел J интегральной суммы (1), то этот предел называется поверхностным интегралом 2 рода по поверхности S и обозначается как S [Pdydz+Qdzdx+Rdxdy]= S [Pcos +Qcos +Rcos ]dS= S (F,n)dS. Свойства. Непосредственно доказываются следующие свойства Поверхностный интеграл огорода зависит от выбора стороны поверхности (значения косинусов меняют свой знак на противоположный) S+ (F,n)dS= - S- (F,n)dS. Понятие поверхностного интеграла распространяется также на кусочно-гладкую поверхностьФ. Связь между поверхностыми интегралами ого и огорода После выбора стороны поверхностный интеграл огорода можно рассматривать как интеграл первого рода от функций М, f(M)cosY(M), f(M)cosX(M), причем можно использовать формулу для вычисления поверхностного интеграла огорода Ф. 13. Теорема (формула) Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной формах. Теорема Пусть в замкнутой ограниченной области G заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), непрерывные на G вместе ос своими частными производными 1 порядка. Тогда имеет место следущее тождество G ( P/ x+ Q/ y+ R/ z)dxdydz= S (Pcos +Qcos +Rcos )dS или G divadxdydz= S adS, те интеграл по области от дивергенции векторного поля a=(P,Q,R) равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область. Доказательство Пусть область в пространстве XYZ. Предположим, что на плоскости XY существует такая квадрируемая область Г, что граница области G состоит из двух поверхностей S 1 и S 2 задаваемых соответственно явными представлениями z= (x,y) и z= (x,y), где функции (x,y) и (x,y) неперрывны на замкнутой области Г. Рассмотрим, например, интеграл G ( R/ z)dxdydz. Пользуясь введенными обозначениями, представим его как G ( R/ z)dxdydz= Г Г, (x,y))]dxdy= S2 [R(x,y,z)]dxdy+ S1 [R(x,y,z)]dxdy= S2 Rdxdy+ S1 Rdxdy+ S0 Rdxdy= S Rdxdy. Совершенно аналогично доказывается, что G ( P/ x)dxdydz= S Pdydz и G ( Q/ y)dxdydz= S Qdzdx. Складывая эти три тождества получим искомую формулу. Теорема (формула) Стокса, ее запись в координатной и векторной формах. Формула Стокса выражает связь между интегралами по поверхности и кривой, ограничивающей данную поверхность. Пусть ограниченная кусочно-гладкая поверхность с кусочно гладкой границей L. Определение Окрестностью поверхности S называется любое открытое множество V, содержащее эту поверхность. Теорема Пусть в некоторой окрестности кусочно-гладкой поверхности заданы функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), непрерывные вместе со своими частными производными 1 порядка. Тогда имеет место следущее тождество L ( )[Pdx+Qdy+Rdz]= S |cos , cos , cos ; / x, / y, / z; P, Q, R|dS или L adr= S rotadS, те. циркуляция векторного поля a=(P,Q,R) по контуру L равна потоку вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром L. Обход контура соответствует выбранной поверхности. Доказательство. Рассмотрим криволинейный интеграл L P(x,y,z)dx= L1 P(x,y,z(x,y))dx (1), где L 1 -проэкция кривой L, ограничивающей поверхность, на плоскость XY. К правому интегралу в формуле (1) применим формулу Грина формула Грина G [( Q/ x)-( P/ y)]dxdy= L+ [Pdx +Qdy]; в нашем случае Q=0. P=P(x,y,z(x,y)): L1 P(x,y,z(x,y))dx= - D ( P(x,y,z(x,y)/ y)]dxdy, P/ y= P/ y+( P/ z)( z/ y). Отсюда получаем, что L1 P(x,y,z(x,y))dx= - D [ P/ y+( P/ z)( z/ y)]dxdy=- S [ P/ y+( P/ z)( z/ y)]cos dS=(c учетом того, что ( z/ y)cos = -cos ) = - S [( P/ y)cos -( P/ z)cos ]dS. Те. для функции P получим выражение L Pdx= S [( P/ z)cos - ( P/ y)cos ]dS. Аналогично путем проектирования поверхности на другие плоскости получим L Qdy= S [( Q/ x)cos - ( Q/ z)cos ]dS и L Rdz= S [( R/ y)cos - ( R/ x)cos ]dS. Складывая три равенства получим S [( R/ y- Q/ z)cos + ( P/ z- R/ x)cos + ( Q/ x- P/ y)cos ]dS откуда и получается искомая формула, записываемая в виде символического определителя. Замечание Неоднозначно проектируемую поверхность можно разбить на части, которые будут проектироваться однозначно. Градиент скалярного поля и его свойства. Вычисление градиента в декартовых координатах. Пусть D- область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в D задано скалярное поле, если каждой точке области D ставится в соответствие некая функция U(M). Определение 1. Градиентом скалярной функции u(M), определенной и дифф в некоторой области D, называется вектор gradu={ u/ x; u/ y; u/ z}. =( / x)i+( / y)j+( / z)k={ / x; / y; / z}; gradu= u. Если есть функция u, то произв по направлению l={cos ; cos ;cos }, те. Пр l gradu*|l|= Пр l gradu Определение 2. Градиентом скалярной функции u в точке M называется вектор, который характеризует наибольшую скорость изменения u в точке M. Операции над скалярным полем 1. Grad(u+v)=gradu+gradv. 2. Grad(u/v)=(vgradu-ugradv)/v 2 . 3. Grad(u*v)=vgradu+ ugradv. 4. Grad(c*u)=cgradu, c=const. 5. Gradf(u)=f '(u)*gradu, дифференцируемая функция. Вычисление в декартовых координатах Пусть u=u(g 1 ,g 2 ,g 3 ). Вычислим компоненту градиента u в базисе (e 1 ,e 2 ,e 3 ). По направлению e 1 : u=u(M 1 )-u(M)= u(M), de 1 = e 1 (gradu) 1 =(gradu,e 1 )=lim u/de 1 =lim u/(H 1 *dy 1 )= /(H 1 * y 1 ), { e 1 0}… gradu=(1/H 1 )*( u/ g 1 )*e 1 +(1/H 2 )*( u/ g 2 )*e 2 +(1/H 3 )*( u/ g 3 )* e 3 . H 1 -H 3 – коэфф Ламэ, отвеч коорд g 1 , g 2 , g 3 16. Векторное поле градиента, потенциальные поля, условия потенциальности. Говорят, что в области D задано векторное поле, если вставится в соответствие по некоторому закону вектор F(M). F(M) = { F x (x,y,z), F y (x,y,z), F z (x,y,z) }= F x i + F y j + F z k Определение 1. Векторное поле называется полем класса C n , если его составляющие F x , F y , F z Пусть u(M) – дифференцируемое скалярное поле. Построив в каждой точке M этого поля вектор gradu, мы получим векторное поле скалярной величины u. Определение 2. Векторное поле F(M) называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторой скалярной функции u. То есть F=gradu. U(M) - потенциал поля. Теорема Для того, чтобы векторное поле A C 1 было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы rotA=0. Доказательство. 1. Необходимость Пусть u(x,y,z) – потенциал векторного поля A. u C 2 . Т.к. A=gradu, то A x = u/ x…A z = u/ z. Найдём х-овую составляющую ротора (rotA) x = A z / y- A y / z= 2 u/( z y)- 2 u/( y z)=0. Аналогично (rotA) y =0, (rotA) z =0. 17. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля, ее вычисление в декартовых координатах. Пусть в области D задано некоторое непрерывное векторное поле A(M)= A x (x,y,z)i+A y (x,y,z)j+A z (x,y,z)k. Возьмем в этом векторном поле некоторую поверхность S и выберем ее определенную сторону. Пусть n(M)={cos ,cos ,cos } – поле единичных векторов нормалей к поверхности, соответствующей выбранной стороне, тогда поверхностный интеграл огорода или S (A,n)dS или S A n dS называется потоком вектора A через поверхность S в указанную сторону. Пусть дано векторное поле A(M)={A x ;A y ;A z } класса C 1 , пусть в этом поле задана область V, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью S. Пусть n – внешняя нормаль поверхности S, тогда по формуле Остроградского, если положить P=A x , Q=A y , R=A z. Поток векторного поля A через поверхность S вовне можно преобразовать в тройной интеграл S A n dS= S [(A x cos +A y cos +A z cos ]dS= v ( A x / x+ A y / y+ A z / z)dx dydz. Определение 1. Стоящая под знаком интеграла функция называется дивергенцией или расходимостью векторного поля A и обозначается. Таким образом формула Остроградского в векторной форме выглядит так S A n dS= v divAdV Пусть А – векторноеполе класса С. Поставим в соответствие каждой пространственной области V, ограниченной кусочно-гладкой областью S, скалярную величину S A n dS, те. Ф(V)(аддитивная функция) S A n Ф) Определение 2. Дивергенцией векторного поля A в точке M V называется производная функции Ф S A n dS по обьему в этой точке, те. lim S A n dS/ V, V M (ΔV 0) Дивергенция в декартовых координатах. Дивергенция некоторого векторного поля A в точке M определяется формулой divA=lim S A n dS/ V, V M. Пусть V – обьем бесконечно малого параллелепипеда. Рассмотрим вектор A в базисе (e 1 , e 2 , e 3 ); A= A 1 e 1 +A 2 e 2 +A 3 e 3 . Вычислим поток A через поверхность параллепипеда. Поток через грани / q 1 (A 1 H 2 H 3 )dq 1 dq 2 dq 3 ; / q 2 (A 2 H 3 H 1 )dq 1 dq 2 dq 3 ; / q 3 (A 3 H 1 H 2 )dq 1 dq 2 dq 3 ; поделим их сумму ( поток через параллелепипед) на V= H 1 H 2 H 3 dq 1 dq 2 dq 3 , получим дивергенцию в криволинейных координатах divA=(1/(H 1 H 2 H 3 ))*[ ( A 1 H 2 H 3 )/ q 1 + (A 2 H 3 H 1 )/ q 2 + (A 3 H 1 H 2 )/ q 3 ] 18. Циркуляция векторного поля и ротор векторного поля. Вычисление ротора в декартовых координатах. Определение 1. Пусть L-кусочно-гладкая замкнутая кривая, заданная в области G. Криволинейный интеграл L A x dx+A y dy+A z dz называется циркуляцией векторного поля A={A x ;A y ;A z } по кривой L и обозначается L A r dl, где касательная составляющая A к кривой L. L Adr, dr={dx;dy;dz}. Пусть в области G некоторая поверхность S ограничена замкнутым контуром L, тогда по формуле Стокса, если P=A x , Q=A y , R=A z C 1 , циркуляция векторного поля по контуру L может быть преобразована в поверхностный интеграл Правая часть – поток через поверхность S вектора ( A z / y- A y / z)i+( A x / z- A z / x)j+( A y / x- A x / y)k (1) Вектор (1) называется ротором или вихрем векторного поля A и обозначается rotA: rotA=|i,j,k; / x, / y, / z;A x ,A y ,A z |; Ротор в декартовых координатах Нормальная составляющая ротора (rotA) n = lim L A r dl / S S M = lim L (Adr)dl/ S (rotA) 1 = 1/H 2 H 3 [ (A 3 H 3 )/ q 2 - (A 2 H 2 )/ q 3 ] и т.д. rotA = |e 1 /H 2 H 3 , e 2 /H 3 H 1 , e 3 /H 1 H 2 ; / q 1 , / q 2 , / q 3 ; A 1 H 1 , A 2 H 2 , A 3 H 3 | 19. Оператор Гамильтона (Набла, дифференциальные операции второго порядка, связь между ними. Оператор Лапласа, его вычисление в декартовых координатах. Оператор Набла ={ / x; / y; / z} имеет двоякую природу - с одной стороны это вектора с другой стороны вектор, который требует дифференцирования. Оператор Набла действует только на аргумент, который стоит после него. Оператор, действующей на произведение и(или) частное двух функций проявляет двойственную природу и действует в соответствии с правилами дифференцирования. gradu= u, divA=( ,A), rotA=[ ,A]. Дифференциальные операции второго порядка rotgradu=[ , u]= [ , ]u=0; div rotA= [ ,A]= [ , ]A=0, rotrotA=[ ,[ ,A]]= ( ,A)-( , )A=graddivA- A A = ( 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2 ){A x , A y , A z } = { 2 A x / x 2 + 2 A x / y 2 + 2 A x / z 2 ; 2 A y / x 2 + 2 A y / y 2 + 2 A y / z 2 ; 2 A z / x 2 + 2 A z / y 2 + 2 A z / z 2 } Оператор Лапласа divgrad – оператор Лапласа и обозначается =( , ); ( , u) = ( , )u = u; =( , )={ / x; / y; / z}*{ / x; / y; / z}= 2 / x 2 + 2 / y 2 + 2 / z 2 ; u = 2 u/ x 2 + 2 u/ y 2 + 2 u/ z 2 – оператор Лапласа Оператор Лапласа в декартовых координатах. u=divgradu Gradu=1/H 1 * u/ q 1 *e 1 +1/H 2 * u/ q 2 *e 2 +1/H 3 * u/ q 3 *e 3 divA = div{ A 1 , A 2 , A 3 } = 1/H 1 H 2 H 3 * [ (A 1 H 2 H 3 )/ q 1 + (A 2 H 3 H 1 )/ q 2 + (A 3 H 1 H 2 )/ q 3 ] u=divgradu=1/(H 1 H 2 H 3 )*[ / q 1 *((H 2 H 3 /H 1 )*( u/ q 1 ))+ / q 2 * ((H 3 H 1 /H 2 )*( u/ q 2 ))+ / q 3 *((H 1 H 2 /H 3 )*( u/ q 3 ))] 20. Определение равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Пусть последовательность {f n (x)} сходится на множестве X к своей предельной функции f(x). Определение 1. Говорят, что последовательность {f n (x)} сходится к f(x) равномерно на множестве X, если ε>0 N(ε), что n N и x X справедливо неравенство |f n (x) – f(x)|< ε Определение 2. Функциональный ряд n=1 U n (x) называется равномерно сходящимся на X, если на этом множестве его последовательность частичных сумм сходится равномерно к f(x). Теорема 1. Для того, чтобы функциональная последовательность {f n (x)} сходилась равномерно на множестве X к своей предельной функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы ε>0 N(ε): n N, p N, x X => |f n+p (x) – f n (x)|< ε. Доказательство Необходимость. Пусть {f n (x)} равномерно сходится к f(x) на множестве X, пусть ε>0 – заданное число, тогда для этого ε N, n N, x X => |f n (x) – f(x)|< ε/2. Если p=1,2,…, тотем более будет выполняться равенство |f n+p (x) – f(x)|< ε/2 Оценим модуль разности |f n+p (x) – f n (x)|= |(f n+p (x) - f(x)) + (f(x)-f n (x))|≤ |f n+p (x) – f(x)| + |f n (x) – f(x)|< ε/2 + ε/2 = ε Достаточность. Пусть выполнено неравенство |f n+p (x) – f n (x)|< ε/2, удовлетворяющее условию теоремы, тогда при любом фиксированном x, исходя из критерия Коши, следует для числовых последовательностей {f n (x)} на множестве X и => предельная f(x) на этом множестве. Т.к. это неравенство справедливо для p, то при p →∞ n N и x X: |f n (x) – f(x)|≤ ε/2<ε. Здесь использована теорема о предельном переходе в неравенствах. Если бы в неравенствах было a n < b n , то lim a n ≤ lim b Теорема 2. Для того, чтобы функциональный ряд n=1 U n (x) равномерно сходился на множестве X к некоторой своей сумме S(x), необходимо и достаточно, чтобы ε>0 N(ε)>0 n N, p=1,2,…, x X => | k=n+1 n+p U k (x)|< ε Доказательство Эта теорема – есть следствие теоремы 1, т.к. под знаком модуля стоит разность частичных сумм. S n+p – S n = k=n+1 n+p U k (x) 21. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда(достаточные условия равномерной сходимости. Теорема.Если функциональный ряд k=1 ∑ ∞ U k (x) определенна множестве X и если существует сходящийся числовой ряд k=1 ∑ ∞ C k такой, что для всех x из множества X и для любого номера k справедливо неравенство │U k (x)│≤ C k (1.2), то функциональный ряд (1.1) сходится равномерно на множестве X . Краткая формулировка функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом. Доказательство. Согласно критерию Коши для числового ряда k=1 ∑ ∞ C k , для любого ε>0 найдется номер N(ε) такой что для всех n≥N(ε) и для любого натурального p =1,2,3… справедливо неравенство k=n+1 ∑ n+p C k <ε (1.3). Из неравенств (1.2) и) и из того, что модуль суммы не превосходит суммы модулей , получим │ k=n+1 ∑ n+p U k (x)│ <ε (для всех n≥N(ε), всех натуральных p и всех x из множества Согласно критерию Коши функциональный ряд (1.1) сходится равномерно на множестве X. 22. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. ТЕОР.Если Un(x) непрер. на Хи ряд n=1 ∑ ∞ U n (x) сходится равномерно на Х,то его сумма S(x)= n=1 ∑ ∞ U n (x) также непрерывна на Х. Док-во пусть х 0€ Х, х- некоторая фикс.точка, докажем что S(x) непрерывна в т. х. выберем произвол. ε >0 пусть частичная сумма S n (x)= k=1 ∑ n U k (x), согласно условию теоремы S n (x) равн.сх-ся к на Х, поэтому N(ε), что | S N (x) – S(x)|< ε для любого n=>N. В частности это будет справедливо и для n=N, | S N (x0) – S N (x)|< ε/3.Фун-ция S N (x) непрерывна в т. х как сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому δ(ε)>0, x X и при условии ρ(x,x 0 )< δ выполняется нер-во: | S N (x0) – S N (x)|< ε/3. сделаем оценку : | S(x) – S(x 0 )|≡ | (S(x)-S N (x)+S N (x) – S N (x 0 ))|≤ | S(x) – S N (x)|+ | S N (x) – S N (x 0 )|+ | S N (x 0 ) – S(x 0 )|< ε/3+ ε/3+ ε/3= ε. => | S(x) – S(x 0 )|< ε. Сумма S(x) непрерывна в т. x 0 => непрерывна на Х. Теор(о непрер. Предельной функции функциональной посл- ти): Если f n (x) непрерывна на Хи послед. f n (x) → → f(x) на Х, то предельная функция f(x) непрерывна на мн-ве Х. В частности имеет место равенство lim x→x0 (lim n→∞ f n (x))= lim n→∞ (lim x→x0 f n (x)) Док-во: В случае равном.сход. пределы пои можно менять местами lim x→x0 (lim n→∞ f n (x))= lim x→x0 f(x)=f(x 0 ), lim n→∞ (lim x→x0 f n (x))= lim n→∞ f n (x)= f(x 0 ). 23 Теорема о почленном интегрировании функционального ряда и предельном переходе под знаком интеграла. Теорема 1 (о почленном интегрировании. Пусть ф-ции U n (x) непрерывны на [a,b] и ряд n=1 ∑ ∞ U n (x) (1) равномерно сходится на этом отрезке. Тогда для любого Є ряд n=1 ∑ ∞ x0 ∫ x U n (t)dt (2) также сходится равномерно на [a,b] , при этом , если S(x) = n=1 ∑ ∞ U n (x) (3) , то x0 ∫ x S(t)dt = n=1 ∑ ∞ x0 ∫ x U n (t)dt (4), или x0 ∫ x ( n=1 ∑ ∞ U n (t))dt = n=1 ∑ ∞ ( x0 ∫ x U n (t)dt) (4’). Доказательство Т.к. ряд (1) сходится равномерно на [a,b], то по теореме о непрерывности суммы функционального ряда его сумма S(x) является непрер. на [a,b], поэтому интегрируема на любом Є . Покажем , что ряд (2) сходится равномерно на [a,b] к функции x0 ∫ x S(t)dt : Пусть S n (x) = k=1 ∑ n U k (x) , и r n (x) = S(x) – S n (x) . тогда для любого x Є [a,b] : | x0 ∫ x S(t)dt - k=1 ∑ n x0 ∫ x U k (t)dt | = | x0 ∫ x S(t)dt - x0 ∫ x ( k=1 ∑ n U k (t))dt | = | x0 ∫ x S(t)dt - x0 ∫ x S n (t)dt | ≤ | x0 ∫ x |S(t) – S n (t)|dt| = | x0 ∫ x | r n (t) |dt | ≤ sup |r n (t)|*| x0 ∫ x dt | ( при |t-x0|≤|x-x0|) ≤ |x - x 0 |* sup |t-x0|≤|x-x0| |r n (t)| ≤ (b-a)*sup [a,b] |r n (x)| Последовательность sup [a,b] |r n (x)| есть числовая последовательность , нов силу равномерной сходимости ряда (1) lim sup |r n (x)| = lim sup | S n (x) – S(x)| = 0 при n─>∞ , => последовательность {C n } (C n = (b-a)*sup [a,b] |r n (x)| ) сходится к нулю при n─>∞. Согласно нашей оценке : | x0 ∫ x S(t)dt ─ k=1 ∑ n x0 ∫ x U k (t)dt | ≤ C n , C n ─> 0 , C n > 0 . По мажорантному признаку Вейерштрасса последовательность в левой части этого неравенства сходится равномерно, причем к нулю это эначит, что n=1 ∑ ∞ ( x0 ∫ x U n (t)dt) сходится равномерно к x0 ∫ x S(t)dt . То. ряд (2) сходится равномерно и имеет место формула (4). Теорема 2 (о предельном переходе Если последовательность непрерывна на [a,b] , ф-ция f n (x) равномерно на этом отрезке сходится к ф-ции f(x), то для любого Є : x0 ∫ x f n (t)dt сходится равномерно кв частности имеет место правило предельного перехода : lim x0 ∫ x f n (t)dt = x0 ∫ x (lim n─>∞ f n (t))dt = x0 ∫ x f(t)*dt при n─>∞. 24. Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда и о предельном переходе под знаком производной. Теорема 1 (о почленном дифференцировании. Пусть 1) Ф-ии U n (x) непр. дифф. на [a,b] 2) n=1 U n (x) ход. хотя – бы водной т-ке x0 [a,b] (1) 3) n=1 U’ n (x) ход. равномерно на [a,b] (2). Тогда (1) сход . равномерно на [a,b] , а его сумма S(x) = n=1 U n (x) (3) непр. дифф. и имеет место ф-ла: S’(x) = n=1 U’ n (x) (4) те. возможно почленное дифф. ряда (( n=1 U n (x))’ = n=1 U’ n (x) (4’)) Доказательство. Пусть (x) = n=1 U’ n (x) (5) Т.к. по условию этот ряд сход . равномерно его можно почленно интегр. x0 x (t)dt = n=1 x0 x U’ n (t)dt = n=1 (U n (x) - U n (x 0 )) x [a,b] (6). По теореме о почленном интегрировании функции ряда (Теорема 1 (о почленном интегрировании. Пусть ф- ции U n (x) непрерывны на [a,b] и ряд n=1 ∑ ∞ U n (x) (1) равномерно сходится на этом отрезке. Тогда для любого Є ряд n=1 ∑ ∞ x0 ∫ x U n (t)*dt (2) также сходится равномерно на [a,b] , при этом , если S(x) = n=1 ∑ ∞ U n (x) (3) , то x0 ∫ x S(t)*dt = n=1 ∑ ∞ x0 ∫ x U n (t)*dt (4) ) n=1 (U n (x) - U n (x 0 )) (7) – сходится. По условию данной теоремы n=1 (U n (x 0 )) (8) – также сходится . Поэтому сходится сумма рядов (7) и (8), те. n=1 (U n (x)) (9) Сумму этого ряда обозначим через S(x). Таким образом (6) можно переписать x0 x (t)dt = n=1 U n (x) - n=1 U n (x 0 ) S(x) - S(x 0 ) (10) ф-ия в левой части этого равенства имеет производную. (t) непрерывна ввиду равномерной сход.ряда (t) = n=1 U’ n (x), поэтому производная и правой части (10) (t) = S’(x) (11). Согласно равенству (5) n=1 U’ n (x) = S’(x). Как мы показали n=1 x0 x U’ n (t)dt = n=1 (U n (x)) - n=1 ( U n (x 0 )). Здесь первый ряд сходится равномерно, а ряд n=1 ( U n (x 0 )) - это числовой ряд, поэтому) тоже сходится равномерно на [a,b]. Теорема 2 (о предельном переходе Пусть посл. непр. дифф. ф-ий на [a,b] f n (x) (12) сход. хотя бы водной т-ке x 0 [a,b], а f’ n (x) равном сходна, тогда (12) сход. равномерно на [a,b] к некоторой ф-ии f(x) и ее предел f(x) есть непр. дифф. на этом отрезке ф-ия и имеет место равенство lim[df n (x)/dx] при n = (d/dx)(lim f n (x) при n ) = (d/dx)f(x) x [a,b]. 25. Теорема Абеля об абсолютной сходимости степенного ряда. Область и радиус сходимости степенного ряда. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида n=0 ∞ a n (x-x 0 ) n =a 0 +a 1 (x-x 0 ) +a 2 (x- x 0 ) 2 +..+a n (x-x 0 ) n +.. (1) , где a 0 ,a 1 ,a 2 ,..,a постоянные, вещественные числа, называемые коэффициентами этого ряда. Чаще числовой ряд записывают в виде n=0 ∞ a n Составим с помощью коэффициентов ряда (1) следующую числовую последовательность n ) 1/n } (2) Теорема Абеля(об абсолютной сходимости степенного ряда если степенной ряд n=0 a n x n (1) сходится в т. х, то он сходится абсолютно) на интервале -│х 0 │<│x│<│x 0 │. Док-во. По условию числовой ряд n=0 a n x n 0 (2)-сход-ся по необходимому признаку сх-ти, его n-ый член a n x n 0 0 при n =>{ a n x n 0 }- является ограниченной, это значит что найдется М n: │ a n x n 0 │≤M. Поэтому для ого члена ряда (1) справедлива оценка :│ a n x n │=│ a n x n 0 │*│ x М x /x 0 │ n , если то ряд n=0 │ x /x 0 │, явл-ся сходящимся как геометрическая прогрессия q=│ x /x 0 │<1. Следствие. Если степенной ряд (1) расходится в точке х, то он расходится и при всех удовлетворяющих условию. Определение. Велечина R≥0,такая,что при всех x, |x| Коши-Адамара). Рассмотрим ряд (1) n=0 ∑ ∞ a n x Составим из его коэффициентов след. последовательность : { n √|a n |}, |a 1 | , √|a 2 | , 3 √|a 3 | , n √|a n | …(2) Эта последовательность может быть ограниченной и неограниченной. В случае её ограниченности существует конечный верхний предел. Обозначим этот предел через L: L=lim n→∞ n √|a n | который неотрицателен. Теорема Коши-Адамара. Если : 1) то R=+∞ (ряд сходится при любых х) 2) L≠0, ≠∞ то R=1/L 3) то R=0 (ряд сходится только в точке х) Те. имеет место следующая формула Коши-Адамара: R=1/L=1/ (lim n→∞ n √|a n |). Док-во. 1) Пусть L=0; Т.к. послед) состоит из неотрицат. элементов, то этот предел единственный →последоват.(2) беск малая. Данный предел является верхним. ε>0 N(ε) : n≥N : n √|a n |≤ ε. Пусть x≠0- фиксир. число. Возьмём n≥N : n √a n x n =|x| n √|a n |<|x|*(1/2|x|)=1/2<1. По признаку Коши ряд расходится в точке х≠0,причём абсолютно. В точке х ряд также сходится, поэтому L=0→R=+∞. 2) Пусть L принадлежит ]0;+ ∞ [. а Ряд (1) сходится абсолютно(по принципу Коши) при всех х, удовлетворяющих условию |x|<1/L б Ряд (1) расходится(не выполняется признак сходимости) при всех х, удовлетворяющих условию |x|>1/L , R=1/L 3) Пусть L=+∞ (те. послед. (2) не ограничена),тогда x≠0 =|x| n √|a n |= n √|a n x n | - также неограниченная последовательность. Следовательно существует беск. многочленов неогранич. последовательности, удовлетворяющие условию : n √|a n x n |>1 или |a n x n |>1 x≠0 ряд (1) расходится → R=0 27. Степенной ряд Тейлора. Теорема единственности. Определение 1. Пусть функция) определена в некоторой окрестности точки хи имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд n=0 ∞ [f (n) (x 0 )/n!](x-x 0 ) n (1) называется рядом Тейлора f(x) в точке х 0 Определение 2. Будем говорить, что функция f(x) на интервале (-R,R) (на множестве {x}) может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд сходящийся к f(x) на указанном интервале (указанном множестве. Справедливы следующие утверждения 1) Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в степенной ряд на указанном интервале (-R,R), необходимо, чтобы эта функция имела на этом интервале непрерывные производные любого порядка. 2) Если функция f(x) может быть на интервале (-R,R) разложена в степенной ряд, то лишь единственным образом. Док-во. Пусть функция может быть разложена на интервале в степенной ряд (1). Дифференцируя указанный ряд почленно n раз (что заведомо можно сделать внутри интервала, получим f (n) (x)=a n n!+a n+1 (n+1)!x+… . Отсюда при x=0 найдем f (n) (0)=a n n! или a n =f (n) (0)/n! (1) . Таким образом, коэффициент степенного ряда (1), в который может быть разложена функция f(x) , однозначно определяется формулой (1). 3) Если функция f(x) может быть разложена на интервале (-R,R) в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора функции f(x) . 4) Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена вряд Тейлора на интервале (-R,R) (на множестве {x}), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указанном интервале 28. Критерий разложимости функции вряд Тейлора. Достаточные условия разложимости Критерий разложимости. Для того чтобы f(x) могла быть разложена вряд Тейлора на нек. интервале необходимо, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к 0. Док-во. Если x 0 -центр разложения f(x) = S n (x) + r n (x) и S n (x) = k=0 n [f k (x 0 )/k!](x-x 0 ) k , что чтобы limS n (x) при n = f(x) необх и дост, чтобы x данному интервалу : lim r n (x) при n = 0. Tеорема (достаточное условие разложимости функции Пусть f(x) и все ее произв равностепенно ограничены нате и x ]x 0 – h, x 0 + h[ выполнялось нер-во: |f n (x) M| (1). Тогда на этом интервале f(x) разложима вряд Тейлора, те. f(x) = n=0 [f n (x 0 )/n!](x- x 0 ) n , |x-x 0 | |