ВТА и Численные Ряды. 3 Семестр. 1. Определение двойного интегр и его основ свойства. Теорема о среднем. Классы интегрир функций двух переменных. Пусть произвольная функция f(X,y) определена всюду на замкнутой квадрируемой области D.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
0. Аксиома 1: , причём только при ; 2. , где ; 3. ; 4. 39. Теорема о разложении функции в тригонометрический ряд Фурье. В этой теореме участвуют две формулы S n (x 0 ) = (1/ )*[ - f(x)*[(Sin(n+1/2)(x 0 -x))/(2Sin((x 0 -x)/2))]dx] (6)- интеграл Дирихле - = - 0 + 0 = (1/ )*[ 0 [f(x 0 -t)+f(x 0 +t)]*[(Sin(n+1/2))/(2Sin(t/2))]dt] (7) Th. (Достаточное условие разлож. Вряд Фурье) Если ф-ия f(x) с T = 2 кусочно непрерывна и кус. диф. на [- ; ], то ее ряд Фурье сходится в каждой точке x 0 числовой прямой и имеет сумму S n (x 0 ) = S 0 = [f(x 0 +0)+f(x 0 -0)]/2 Док-во:Равенство (7) те интеграл Дирихле имеет место для f(x) отвечающей условиям Th. в частности для f(x) 1. Тогда из (7) получим 1 = (2/ )*[ 0 [(Sin(n+1/2)t)/(2Sin(t/2))]dt] (8). Умножим обе части на S 0. S 0 = (1/ )*[ 0 [f(x 0 +0)+f(x 0 -0)]*[(Sin(n+1/2)t)/(2Sin(t/2))]dt] Вычтим полученный результат из (7): S n (x 0 ) - S 0 = (1/ )*[ 0 [ f(x 0 +t) + f(x 0 -t) - f(x 0 +0) - f(x 0 -0)]*[(Sin(n+1/2)t)/(2Sin(t/2))]dt] Достаточно доказать что при n инт. в правой части 0. (1/ )*[ 0 g(t)(Sin(n+1/2)t)dt] (9). Где g(t) = [[(f(x 0 +t) - f(x 0 +0))/t] – [(f(x 0 -t) - f(x 0 -0))/-t]]*[(t/2)/(Sin(t/2))] (Если доказать что) – кус непр то по лемме Римана предел) = 0 при t Ясно что в прмеж [0; ] непр всюду за искл быть может конечн числа точек, где может иметь точки разрыва первого рода. Исследуем поведение g(t) при t +0 lim[(t/2)/(Sin(t/2))] = 1 при t +0 39. Рассмотрим выражение в [] (в ф-ле 10). 1) x 0 – внутр точка прмеж непрерывности f(x 0 +0) = f(x 0 -0) = f(x 0 ) Каждое из слагаемых в [] будет иметь вид [(f(x 0 +t) - f(x 0 +0))/t] и [(f(x 0 -t) - f(x 0 -0))/-t] (11) Каждое из этих выр f '(x 0 ), а [] 0. 2) x 0 – точка излома и одновр непр. В этом случае (11) справедливы, причем 1 прав произв в x 0 ; 2 лев произв в Значения произв конечны и различны. 3) x 0 – т-ка разрыва первого раода. Здесь мы получим аналогичный результат, стой лишь разницей, что в соотношении (11) вместо f'(x 0 ) будет f'(x 0 -0), и f'(x 0 +0). Таким образом мы доказали, что в случае конечный предел limg(t) = K при t +0, положим в т-ке t=0 g(0) =K Тогда мы получим непр ф-ии g(t) в t=0 g(t) явл ку непр на [0; ] согл лемме Римана инт в прав части (9) 0 при n lim[S n (x 0 ) – S 0 ] = 0 S n (x 0 ) S n 40. Представление функции интегралом Фурье. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций. Пусть f(x) кус непр на промеж и абсол инт на всей прямой, значит - + |f(x)|dx – существует. Пусть A > 0 - произв число, x 0 - произв т-ка. Рассмотрим интеграл I(A, x 0 ) = (А (1) Пусть задано B > 0, и ф-ия f(U) принадл классу C 0 на, тогда исп теорему об инт по параметру инт зав от парам с конучными пределами (1/ ) 0 A dz -B +B f(U)Cosz(U-x 0 )dU = (1/ ) -B B f(U)dU 0 A Cosz(U-x 0 )dz = (1/ ) -B B f(U)[(SinA(U- x 0 ))/(U-x 0 )]dU (U x 0 ) (2) Замечание Если f(U) кус непрер, то данные преобраз мы можем сделать для каждого участка непрерывности. - + f(U)Cosz(U-x)dU - Этот инт явл равном сход по парам Z, т.к. мажорируется интегралом - + | f(U) |dU. Следовательно инт завис от парам -B +B f(U)Cosz(U-x 0 )dU при B +∞, к своему пределу это главные значения. Данный инт, в следств того что он мажорируется стремится к своему пределу равномерно. Перейдем к пределу в (2) при B + . В лев части этого 40. равенства в силу равном сходимости под знаком интеграла, откуда получим I(A, x 0 ) = (1/ ) - + f(U)[(SinA(U- x 0 ))/(U-x 0 )]dU – это и эсть то самое выраж, которое мы хотели получить. Его можно преобразовать U - x 0 = t : I(A, x 0 ) = (1/ ) 0 + [f(x 0 +t) + f(x 0 -t)]((SinAt)/t)dt (3) Интеграл Фурье для четных и нечетных функций. Запишем формулу (1) в следующем виде f(x) = (1/ ) 0 + Coszxdz - + f(U)CoszUdU f(x) + (1/ ) 0 + Sinzxdz - + f(U)SinzUdU 1) f(x)– четная VP - + f(U)CoszUdU = 2* 0 + f(U)CoszUdU VP - + f(U)SinzUdU = 0 f(x) = (2/ ) 0 + Coszxdz 0 + f(U)CoszUdU (7) аналогично для нечетного. f(x) = (2/ ) 0 + Sinzxdz 0 + f(U)SinzUdU (8) Пусть теперь ф-ия f(x) задана на [0, + ], тогда продолжая эту ф-ию четным или нечетным образом на левую часть полупрямой, мы получим интеграл Фурье либо в виде (7) либо (8). 41. Комплексные формы записи интеграла Фурье. Пусть вып услов представлени ф-ии f(x) интегралом Фурье Кус непр, абс интегр) f(x) – всюду неправ точках разрыва ее знач будет f(x 0 ) = [f(x 0 +0) + f(x 0 -0)]/2 Тогда для точки x будет справедл форма Фурье f(x) = (1/ ) 0 + dz - + f(U)Cosz(U-x)dU (1) Внутри интегр - четная ф-ия относ z Весь интегр можно переписать в виде f(x) = (1/2 ) - + dz - + f(U)Cosz(U-x)dU (2) Т.к. выполн. нер-во |f(U)Sinz(U-x)| |f(U)|, а - + |f(U)|dU сходится согласно мажорантному признаку Виерштрасса - + f(U)Sinz(U-x)dU – сход равномерно на всей оси OZ. Для M > 0 -M M dz - + f(U)Sinz(U-x)dU = 0 (4) M + Рассм (4) в смысле главного значения VP - + dz - + f(U)Sinz(U-x)dU = 0 (5) Умножим этот интеграл на (1/2i) и сложим с интегралом (2) f(x) = (1/2 ) - + dz - + f(U)[Cosz(U-x) + iSinz(U-x)]dU По формуле Эйлера f(x) = (1/2 ) - + dz - + f(U)e iz(u-x) dU (6) – это и есть комплексная форма записи интеграла Фурье. 42. Преобразование Фурье. Синус- и косинус- преобразование Фурье. f(x) = (1/ ) 0 dz - + [f(U)CoszUdU] (8) f(x) = (1/2 )VP - + dz - + [f(U)e iz(U-x) dU] (6) Положим в последнем интеграле Ф) = (1/(2 ) 1/2 ) - + [f(U)e izU dU] (9) Ф) = (1/(2 ) 1/2 )VP - + [ Ф dz] (10) Опр1. Ф-ия Ф которая ставится в соответствие f по формуле Ф) = (1/(2 ) 1/2 ) - + [f(U)e ixU dU] (11) наз. преобразованием Фурье ф-ии f, и обозначается символом F[f] или f Опр2. Ф-ия Ф, которая ставится в соответствие ф-ии f по формуле Ф) = (1/(2 ) 1/2 )VP - + [ f(U)e -ixU dU] (12) наз. обратным преобразованием Фурье, и обозначается символом F -1 [f] или f. Замечание Прямое и обратное преобразования Фурье – есть взаимообратные ф-ии: F -1 [F[f]] = F[F -1 [f]] = f Линейность преобразований Фурье. 42. Если для ф-ий f 1 ,f 2 прям. и обр. преобр. Фурье, то для 1 , 2 прям. и обр. преобр. Фурье, для ф-ии (f 1 1 + f 2 2 ), причем F(f 1 1 + f 2 2 ) = 1 F[f 1 ] + 2 F[f 2 ]. Следует из линейных св-в интеграла. Синус- и Косинус- преобразования Фурье. Пустьf(x),определена на [0, + ] и представлена интегралом Фурье для ее четного продолжения f(x) = (2/ ) 0 + [Coszxdz[ 0 + f(U)CoszUdU]] (7) Введем обозначения F e (z) = ((2/ ) 1/2 ) 0 + f(U)CoszUdU (15) f(x) = ((2/ ) 1/2 ) 0 + F e (z)Coszxdx (16) - называется Косинус- преобразованием Фурье для ф-ии f. Аналогично, с помощью нечетного преобразования f получим интеграл Фурье в виде f(x) = (2/ ) 0 + [Sinzxdz[ 0 + f(U)SinzUdU]] (8) F s (z) = ((2/ ) 1/2 ) 0 + f(U)SinzUdU (17) f(x) = ((2/ ) 1/2 ) 0 + F s (z)Sinzxdx (18) Ф-ия F s наз. Синус- преобразованием Фурье ф-ии f. Заметим, что (16) и (18) дают и обратные преобразования Фурье (они симметричны. 43. Интегральный признак сходимости Коши- Маклорена для рядов с неотрицательными членами. Th Пусть f(x) определена при любом x ≥ m , и пусть она неотрицательна и монотонно убывает (m – фиксир-й номер. Тогда ряд ∑ f(n) {n:m,…,∞} =f(m)+f(m+1)+… (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл n + f(x)*dx Док-во: не уменьшая общности, докажем Th для m=1. Пусть x [ k ; k+1] , те. : k ≤ x Тогда f(k+1)≤f(x)≤f(k) (неравенства выполняются в следствии монотонности f(x)). k k+1 f(k)dx ≥ k k+1 f(x)dx ≥ k k+1 f(k+1)dx, f(k)*1 ≥ k k+1 f(x)*dx Суммируя это нер-во от k=1 дополучим Обозначим через S n ряд k=1 ∑ n f(x) Тогда выполняется ≥ 1 ∫ n+1 f(x)*dx ≥ S n+1 ─ f(1) (3) { т.к. ∑f(k+1)=f(2)+f(3)+…+f(n+1)=[f(1)+f(2)+…+f(n+1)]- f(1) } Обозначим {a n } ≡ 1 ∫ n+1 f(x)dx , тогда S n ≥ a n ≥ S n+1 – f(1) (4) => , что посл-ть a n неубывающая для её сход-ти необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна. Для сходимости (1) необходимо и достаточно, чтобы {S n } была ограниченна, но из (4) => , что ограниченна {a n } , те. 43. тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл 1 ∫ +∞ f(x)dx (т.к. lim a n = 1 ∫ +∞ f(x)dx) # ПРИМЕР Исследовать на сходимость ряд ∑ (1/n α ) Пусть α>1: f(x)=1/x α 1 ∫ +∞ (1/x α )dx сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1 44. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. Оценка остатка ряда Лейбница. Абсолютно условно сходящиеся ряды. Знакопеременные ряды Пусть члены ряда n=1 ∑ +∞ Un с изменением номера принимают как положительные, таки отрицательные значения. Такие ряды называются знакопеременными. Знактчередующийся ряд Рассмотрим знакопеременный ряд такой, у которого «+» и «-» члены чередуются n=1 ∑ +∞ [(-1)^(n+1)]*Un (для любого n : Un > 0 (Un < 0)) Ряд Лейбница Опр. Рядом Леибница наз знакочередующийся ряд ∑[(-1) (n+1) ]*Un для любого n: Un > 0) , члены которого, взятые по модулю, образуют невозрастающюю бесконечно малую последовательность, те. :1) для любого n : Un ≥ Un+1 > 0 (2) 2) lim Un = 0 при n─>∞ (3) Th Лейбница : Ряд Лейбница сходится. Док-во: Рассмотрим четные частичные суммы ряда Лейбница :S 2k = n=1 ∑ 2k [(-1)^(n+1)]*Un , те. S 2k = (U 1 -U 2 ) + (U 3 -U 4 ) + … +(U 2k-1 – U 2k ) здесь Un ≥ Un+1} => выражения в скобках неотрицательны Это означает, что последовательность четных частичных сумм монотонно возрастает ; кроме того , частичные суммы S 2k можно записать : S 2k =U 1 -(U 2 -U 3 )-…-((U 2k-2 ) –(U 2k-1 ))-U 2k . Здесь выражения в скобках ≥ 0, U 2k >0. => S 2k < те. {S 2k } ограниченна сверху. Т.к. 44. эта последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится . Пусть limS 2k = S при k─>∞. Покажем, что нечетные частичные суммы ряды Лейбница сходится к тому же пределу действительно S 2k+1 = S 2k +U 2k+1 . Но, т.к. ряд сходящийся и , =>, выполняется признак сходимости, то при k ─> +∞ U 2k+1 ─> 0, => S 2k+1 ─>S.# оценка остатка ряда Л-ца) Любая частичная сумма Sn ряда Л-ца отличается от его суммы S на величину, меньшую члена ряда U n+1 , те. | R n | = | S-S n | < | U n+1 | . Док-во : Докажем сначала, что для рядов Л-ца справедливо для любого k : S 2k ≤ S ≤ S 2k+1 .Т.к. S – это lim монотонно возрастающей посл-ти {S 2k }, то S 2k ≤S. В тоже время S 2k+1 =S 2k-1 +(- 1) 2k+1 *U 2k + (-1) 2k+1+1 *U 2k+1 == S 2k-1 – (U 2k -U 2k+1 ) => S 2k+1 ≤ S 2k-1 , это означает , что { S 2k-1 } монотонно убывает. Т.к. S=lim { S 2k+1 } , от S – это есть еще и предел { S 2k-1 }, поэтому S ≤ S 2k-1 и S ≤ S То. S 2k ≤ S ≤ S 2k-1 (*) также) Далее, S-S 2k ≤ S 2k+1 – S 2k = U 2k+1 => S - S 2k ≤ U 2k +1 . Из (*) => , что S 2k-1 – S ≤ S 2k-1 – S 2k = U 2k (S 2k – S ≤ S 2k-1 – S ≤ S 2k-1 – S 2k = U 2k ) , => S - S 2k ≤ U 2k +1 => S 2k - S ≤ U 2k => | S - S n | ≤ U n +1 . # Абсолютно и условно сходящиеся ряды Опр1. Ряд ∑U n (1) наз абсолютно схд-ся если сходится ряд ∑|U n | (2). Th Если ряд сход-ся абсолютно, то он сход-ся . Док-во: по критерию Коши : для того, чтобы (1) сходился , надо, чтобы для любого ε > 0 нашелся такой номер N(ε) такой, что для любого n ≥ N и любого p N (это мн-во натуральных чисел) : | k=n+1 ∑ n+p U k | < ε .Т.к. (2) сход-ся , тона тех же условиях k=n+1 ∑ n+p | U k | < ε. Т.к. | k=n+1 ∑ n+p U k | < k=n+1 ∑ n+p | U k | < ε, => ряд (1) сходится (по критерию Коши) # Опр2. Ряд ∑U n наз сход-ся условно, если он сходится, а ряд ∑|U n | – расходится |