ВТА и Численные Ряды. 3 Семестр. 1. Определение двойного интегр и его основ свойства. Теорема о среднем. Классы интегрир функций двух переменных. Пусть произвольная функция f(X,y) определена всюду на замкнутой квадрируемой области D.
 Скачать 1.15 Mb.
|
U n ’ = n=1 a n x n-1 n (2) и n=0 x0 ∫ x U n (t)dt= n=0 a n *(x n+1 -x 0 n+1 )/n+1 (3). Тогда радиусы сходимости рядов (1)-(3) равны. Док-во. 1. Пусть радиус сходимости ряда (1), тогда по формуле Коши-Адамара: R ‘ =1/(lim n √n|a n |)=1/(lim n √|a n |)= R при n→∞. Т.к. n √n →1 2. R ‘’ = 1/(lim n √(a n /n+1))=R, т.к. n √1/n+1 →1 Теор. Пусть R>0 – радиус сходимости степенного ряда f(x)= n=0 a n x n (1). Тогда : f(x) имеет на интервале (-R;R) производные всех порядков, которые находятся из ряда (1) почленным дифференцированием f ’(x)= n=1 (a n x n )’= n=1 a n nx n-1 (4) x принадлежащего (-R;R) (те. внутри интервала сходимости) степенной ряд можно интегрировать, те. x0 ∫ x f(t)dt= n=0 x0 ∫ x (a n x n )dt= n=0 a n *(x n+1 -x 0 n+1 )/n+1 (где x,x o принадлежат (Степенные ряды, получающие из ряда (1) почленным дифференцированием и интегрированием имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (1). Док-во. Согласно лемме ряды (4) и (5) имеют радиус сходимости R. всякий степенной ряд видав том числе и (4), (5) с радиусом сходимости R, равномерно сходятся на отрезке 30 Разложение вряд Тейлора функций е х ,cos(x),sin(x) (Всё в окрестности 0) 1) f(x) = e x , x 0 = 0 f (n) (x) = e x , для x ]-h, h[, h>0. 0 < f (n) (x) < e Для данной функции выполнены достаточные условия разложимости ф-ии вряд Тейлора (Tеорема (достаточное условие Пусть f(x) и все ее произв равностепенно ограничены нате и x ]x 0 – h, x 0 + h[ вып нер-во: |f n (x) M| (1). Тогда на этом интервале f(x) разложима вряд Тейлора, те. f(x) = n=0 [f n (x 0 )/n!](x- x 0 ) n )) выполняются для x 0 = 0 e x в окрестности 0 раскл на любом конечном промежутке, те. на всей вещественной оси. Т.к. f (n) (0) =1 => e x = n=0 (x n /n!) (1) 2) f(x) = Sin(x) f (n) (x) = Sin(x + n( /2)) n : |f (n) (x)| 1 – на всей вещественной оси Sin(x) = n=0 [((-1) n x 2n+1 )/(2n+1)!] (2) 3) f(x) = Cos(x) Аналогично Cos(x) = n=0 [((-1) n x 2n )/(2n)!] (3) 31. Разложение вряд Тейлора функций In (1 + х, (1 + х) = ln(1+x) ln(1+x) = x - (x 2 /2) – (x 3 /3) + … + (-1) n+1 (x n /n) + r n (x) r n 0 при n на ]-1;1[ ln(1+x) = n=1 (-1) n+1 (x n /n) 2) f(x) = (1+x) m (1+x) m = 1 + mx + [(m(m-1)x 2 )/(2!)] + … + [(m(m-1)(m- 2)…(m-n+1)x n )/(n!)] + r n (x) (1+x) m = n=0 [(m(m-1)(m-2)…(m-n+1)x n )/(n!)]. 32. Пространство кусочно-непрерывных функций с квадратной метрикой. Ортогональные и ортонормированные системы. Ряды Фурье поданной ортогональной системе. Опр. Лин пр-во R наз евклидовым (нормированным, если вып след два требован: 1) известно правило, по кот. любым двум элем. f и g пр-ва R став в соотв. число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (f, g); 2) указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам 1°- (f, g) = (g, f) - переместительное свойство. 2°- (f+g, h} = (f, h) + (g, h) распределительное свойство. 3°. ( f, g) = (f, g) для любого вещественного числа 4°. (f, f) > 0, если f 0, (f, f) = 0, если f = 0. Классическим примером бесконечномерного евклидова пространства является пространство всех кусочно-не- прерывных на некотором сегменте ах функций. Кусочно-непрерывная на сегменте а, b] функция f(x) такая функция, которая непрерывна всюду на сегменте аза исключением, быть может, конечного числа точек x i (i =1, 2,… , n), в которых она имеет разрыв первого рода, причем в каждой точке разрыва x i эта функция удовлетворяет условию f(x i ) = [f(x i - 0) + f(x i + 0)]/2. Опр. Последовательность 1 , 2 , … , n называется ортонормированной системой, если входящие в эту последовательность элементы попарно ортогональны и имеют норму, равную единице ║ i ║=1. (А элементы ортогональны, когда их скалярное произведение равно 0) Опр. Назовем рядом Фурье элемент f по ортонормированной системе { k } ряд видав котором через f k обозначены постоянные числа, называемые коэффициентами Фурье элемента и определяемые равенствами f k = (f, k ), где k = 1,2, … k=1 n f k k – n-ая частичная сумма ряда Фурье. Опр1. Ортонорм сист { k } наз замкнутой, если для любого элемента f данного евкл пр-ва R и для люб полож числа найдется такая лин комбин конечного числа элементов { k }, отклон которой от f (по норме пр-ва R) меньше Опр2. Ортонорм сисит { k }, наз полной , если, кроме нулевого элемента не сущ никакого др элем f данного евкл пр-ва, который был бы ортогон ко всем элем k системы { k }. 33. Тригонометрические ряды Фурье, формулы для коэффициентов. Ряды Фурье четных и нечетн. функций. Опр. Тригон. Рядом Фурье ф-ии f кусочно непр на отр [- ; ], наз ряд Фурье тригонометр ОНС: (1/(2 ) 1/2 ), (Cosx/ 1/2 ), (Sinx/ 1/2 ), … , (Cosnx/ 1/2 ), (Sinnx/ 1/2 ), Пользуясь общим определением ряда Фурье тригоном ряд Фурье может быть записан в виде f 0 (1/(2 ) 1/2 ) + n=1 (f n (Cosnx/ 1/2 )+f(Sinnx/ 1/2 )) (1) f 0 = - f(x)(1/(2 ) 1/2 )dx ; f n = - f(x)(Cosnx/ 1/2 ) ; f n = - f(x)(Sinnx/ 1/2 ) Нов дальнейшем мы будем пользоваться иной формой записи ряда Фурье f(x) a 0 /2 + n=1 (a n Cosnx + b n Sinnx) (2) a 0 = (1/ ) - f(x)dx (a 0 =f 0 *1/(2 ) 1/2 ) a n = (1/ ) - f(x)Cosnxdx (a n = f n / 1/2 ) b n = (1/ ) - f(x)Sinnxdx (b n = f n / 1/2 ) Здесь a 0 , a n , b n – коэфициенты Фурье Замечание для ряда (2) нер-во Бесселя запис след образом k=1 f 2 k || f || 2 a 0 /2 + n=1 (a 2 n + b 2 n ) (1/ ) - f 2 (x)dx (3). Теорема. Если f(x) четная, интегрруемая на [-L,L] то соответствующий ряд Фурье имеет вид f(x) a 0 /2 + n=1 a n Cos( nx/L) (3), где a n = (2/L) 0 L f(x)Cos( nx/L)dx Если f(x) – нечетная, то f(x) n=1 b n Sin( nx/L) (4) ; b n = (2/L) 0 L f(x)Sin( nx/L)dx Док-во1)пусть f(x) четное, тогда f(x) Cos( nx/L) также четная, а f(x)Sin( nx/L) нечетная, поэтому согласно ((( если -L L f(x) dx={2* 0 L f(x)dx, если f(x)-четная;0-если f(x)- нечетная) мы имеем a n = (1/L) -L L f(x)Cos( nx/L)dx= (2/L) 0 L f(x)Cos( nx/L)dx , в тоже время b n = (1/L) -L L f(x)Sin( nx/L)dx =0. нечетная то f(x) Cos( nx/L) нечетная, а f(x)Sin( nx/L) четная, тогда a n = (1/L) -L L f(x)Cos( nx/L)dx=0, b n = (2/L) 0 L f(x)Sin( nx/L)dx 34. Разложение функций вряд Фурье по косинусами по синусам на интервале. есть в лекции 1) Пусть f(x) задана на [0,L]. Доопределим ее на [–L,0] продолжив четным образом. В результате на отрезке [–L,L] будем иметь функцию, если 0 n=1 a n Cos( nx/L), n=0,1,…; a n =(2/L) 0 L f(x)Cos( nx/L)dx f(x) n=1 a n Cos( nx/L) на [0,L] 2) Доопределим задан. функцию на [–L,0[, продолжим ее нечетным образом f*(x)={f(x), если 0 n=1 b n Sin( nx/L), n=0,1,…; b n =(2/L) 0 L f(x)Sin( nx/L)dx, n=1,2,… 35. Экстремальные свойства частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя. k=1 C k k (10’) произв лин комбин первых n элементов ОНС { k } Sn = k=1 n f k k (10) n- ная частичная сумма ряда Фурье k=1 n f k k (9) частичная сумма ряда Фурье Опр. Отклонением по норме элем g от f наз величина || f-g ||,т.е.если f и g опр на [a,b], то || f-g || = ( a b [f(x) – Основная ТеоремаСреди всех сумм вида (10’) наименьшим отклонением от f по норме данного евкл пр-ва имеет n- ная частичная сумма (9) ряда Фурье ф-ии f. Док-во:Рассмотрим квадрат нормы, пользуясь аксиомами скалярного произведения, а также учитывая, что { k } – ортонорм сист ф-ий. || k=1 n C k k – f || 2 = ( k C k k – f, k C k k – f) = k C 2 k ( k , k ) – 2 k C k (f, k ) + (f, f) = k C 2 k – 2 k C k f k + || f || 2 = C 2 k - 2 k C k f k + k f 2 k + || f || 2 - k f 2 k = k (C k - f k ) 2 - k f 2 k + || f Мы восп: ( k , n ) = 1 при k=n, = 0 при k k) После этих преобраз мы имеем выражение || k=1 n C k k – f || 2 = k (C k - f k ) 2 - k f 2 k + || f || 2 (В левой части стоит квадрат отклонения суммы (10) от f по норме. Миним квадрат отклонения будет тогда, когда || k=1 n C k k – f || 2 = 0 C k = f Таким образом если мы хотим данную ф-ию f представить в виде многочлена f k=1 n C k k и при этом потреб наим отклонения по норме ф-ии f отданного многочлена то коэф C k должны быть коэфициентами Фурье ф-ии f поданной ОНС { k }. Следствие. Для Для f R, ОНС { k }, { C k }, n : || f || 2 - k=1 n f 2 k || k=1 n C k k – f || 2 (12) Это нер-во из (11) т.к. лев часть (11) неотрицательна. Следствие. Тождество Бесселя Для f R, ОНС { k }, n справедливо тождество Бесселя || k=1 n C k k – f || 2 = || f || 2 + k=1 n f 2 k (13) Для док-ва дост в (11) положить C k = f Неравенство Бесселя) Для f R, ОНС { k } справедливо нер-во Бесселя k=1 f 2 k || f || 2 (14) Док-во:Лев часть тожд Бесселя (13) неотрицательна, поэтому неотрицательна и правая часть k=1 n f 2 k || f || 2 это означает, что ряд k=1 f 2 k имеет огранич послед частичных сумм, кроме того этот ряд состоит из неотриц элементов послед частичн сумм монотонно возрастает ряд сходится. Переходя в нерве (15) примы получим нер- во (14) 36. Сходимость ряда Фурье в среднеквадратичном. Равномерная сходимость. Пусть каждая ф-ция последовательности {f n (x)} интегрируема на [a,b]. Пусть также функция f(x) , являющаяся предельной ф-цией, тоже интегрируема на [a,b]. Тогда ф-ция (f(x) – f n (x)) 2 = f 2 (x) – 2*f(x)*f n (x)+f 2 n (x) будет также интегрируема на этом отрезке. Опр1. Говорят, что последовательность {f n (x)} сходится в среднем или в среднеквадратичном) функции f(x) на [a,b] , если lim a ∫ b (f n (x)- f(x)) 2 *dx = 0 при n ─>∞. Т.к. (f n (x)-f(x)) 2 это норма, то это означает сходимость по норме. Опр2. Говорят, что функциональный ряд n=1 ∑ ∞ U n (x) сходится в среднем функции f(x) на [a,b] , если послед-ть его частичных сумм {S n (x)} сходится в среднем к его сумме S(x) на [a,b]. Если последовательность или ряд сходятся в среднем на [a,b] , то он сходится в среднем на любом Є . Признак абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье Th. (достаточные условия равномерной сходимости) Пусть функция f(x) непрерывна на [-π;π] , имеет на этом отрезке кусочно-непрерывную производную , и удовлетворяет условию : f(π)=f(-π) . Тогда тригонометрический ряд Фурье ф-ции f(x) сходится к этой ф-ции на [-π;π] равномерно, причем также равномерно сходится и ряд , составленный из модулей элементов этого ряда Фурье. Док-во: доказательства теоремы достаточно доказать , что к функции f(x) сходится равномерно ряд : |a 0 |/2 + n=1 ∑ ∞ (|a n *cos(nx)| + |b n *sin(nx)|) (1) . Воспользуемся мажорантным признаком Вейерштрасса (МПВ) : 1) | a n *cos(nx)| ≤ |a n | 2) | b n *sin(nx)| ≤ |b n | Для доказательства теоремы достаточно доказать сходимость ряда n=1 ∑ ∞ (|a n | + |b n |) (2) Найдем производную f ‘(x) : в точках , где f ‘(x) не существует , определим ее произвольно . Разложим f ‘(x) вряд Фурье, обозначим коэффициенты ряда через α n , β n α n = (1/π)* -π ∫ π f ’(x)*cos(nx)*dx = { cos(nx)=u , f ’(x)*dx=d(f(x))=dv } = = (1/π)*[(f(x)*cos(nx)) -π | π + n* -π ∫ π f(x)*sin(nx)*dx] = 0 + n*(1/π)* -π ∫ π f(x)*sin(nx)*dx = n* b n Аналогично : β n = (1/π)* -π ∫ π f ’(x)*sin(nx)*dx = -n*a n . => |a n | + |b n | = |α n |/n + |β n |/n , и для доказательства сходимости ряда (2) нам нужно доказать сходимость ряда : n=1 ∑ ∞ ( |α n |/n + |β n |/n ) (3) . Напишем тождественное равенство : (|α n | - 1/n) 2 = |α n | 2 – - (2/n)*|α n | + 1/n 2 ≥ 0 => |α n |/n ≤ (α n 2 + 1/n 2 )/2 . Аналогично |β n |/n ≤ (β n 2 + 1/n 2 )/2 . => мы получили , что : |α n |/n + |β n |/n ≤ (α n 2 + β n 2 )/2 + 1/n 2 . Ряд n=1 ∑ ∞ [(α n 2 + β n 2 )/2] сходится в силу равенства Парсеваля для кусочно- непрерывной функции f ‘(x) по норме , а n=1 ∑ ∞ 1/n 2 – это числовой сходящийся ряд (по интегральному признаку Коши-Маклорена). => n=1 ∑ ∞ [(α n 2 + β n 2 )/2 + 1/n 2 ] сходится , значит и сходится ряд (3) по МПВ. # Замечание Если f(x) , удовлетворяющую услевиям теоремы , периодически с периодом 2*π продолжить на всю числовую ось, то тригонометрический ряд Фурье будет сходится к такой функции на всей числовой оси 37. Замкнутые ортогональные системы функций. Условие Парсеваля. Замкнутость тригонометр. системы. Опр1. ОНС { k } наз. замкнутой, если ∀ f данного евкл. пр- ва R и ∀ >0 найдется такая лин. комбин. конечного числа элементов { k }, отклон. которой от f (по норме пр-ва R) меньше Теорема 10.5. Если ортонормированная система k } является замкнутой, то для любого элемента f рассматриваемого евклидова пространства неравенство Бесселя переходит в точное равенство k=1 f 2 k = || f называемое равенством Парсеваля. Доказательство. Фиксируем произвольный элемент f рассматриваемого евклидова пространства и произвольное положительное число . Так как система { k } является замкнутой, то найдется такой номер n и такие числа С, C 2 , ... , С, что || k=1 n С k f k -f|| 2 = || f || 2 < . это означает, что для произвольного >0 найдется номер n, для которого || f || 2 - k=1 n f 2 k < (Для всех номеров, превосходящих указанный номер неравенство (10.25) будет тем более справедливо, ибо при возрастании n сумма, стоящая в левой части (10.25) может только возрасти. Итак, мы доказали, что для произвольного > 0 найдется номер n, начиная с которого справедливо неравенство (10.25). это означает, что ряд k=1 n f 2 k сходится к сумме f Теорема 10.10. Тригонометрическая система { k } (10.11) является замкнутой те. для любой кусочно-непрерывной на сегменте [ , ] функции f(x) и любого положительного числа найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что || f(x) – T(x) || = ( - [f(x) – T(x)] 2 dx) 1/2 < 38. Полные ортогональные системы функций. Теорема о полноте замкнутых ортогональных систем. Опр2. Ортонорм сисит { k }, наз полной , если, кроме нулевого элемента не сущ никакого др элем f данного евкл пр-ва, который был бы ортогон ко всем элем k системы { k }. Th3. Всякая замкнутая ОНС является полной. Док-во: Пусть k } – замкнутая ОНС, пусть f R , который ортогон. по всем элементам k , те. для k : (f, k ) = 0 требуется доказать, что f Очевидно, что f k = ( k , f ) = 0, в силу равенства Парсеваля: k=0 f 2 k = || f || 2 || f || 2 = 0. причем по аксиоме f = |