1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния

• Название: 1. Основные понятия и определения теории автоматического управле ния
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 4.71 Mb.
• Имя файла: Metod_SUHTP_280302_2017.pdf
• Тип: Документы; #816961
• страница: 21 из 27

Тема: Структурные схемы САУ. Преобразование структурных схем.
Цель занятия: освоить компетенции ОК-10, 11; ПК-1, 2, 6.
1. Теоретическая часть
1. Основные характеристики звеньев САУ
Систему автоматического управления можно представить в виде соединения звеньев. Для анализа работы САУ необходимо иметь зависимости, связывающие входные и выходные сигналы звеньев. Эти зависимости определяются с помощью дифференциальных уравнений.
Рассмотрим простейший случай линейного звена непрерывного действия, у которого все процессы описываются с помощью линейных дифференциальных уравнений. Связь между выходной (Y) и входной (X) величинами линейного звена или линейной системы выражается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами :
x
a
dt
x
d
a
dt
x
d
a
y
b
dt
y
d
b
dt
y
d
b
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
0 1
1 1
0 1
1 1















(2.1)
Для описания свойств звеньев более удобно пользоваться не непосредственно дифференциальными уравнениями, а следующими

6 коэффициентами или функциями, вытекающими из уравнения (2.1) и также полно определяющими связь между входной и выходной величинами звеньев: передаточной функцией; переходной характеристикой (функцией); комплексным коэффициентом передачи (ККП).
Для определения передаточной и переходной функций звена наиболее целесообразно использовать преобразование Лапласа, которое основано на двух следующих формулах:
- прямого преобразования Лапласа
 
 
 
 






0
dt
e
t
x
p
X
t
x
L
pt
;
(2.2)
- обратного преобразования Лапласа
 


 
 












j
j
pt
dp
e
p
X
j
t
x
p
X
L
2 1
1
(2.3)
Здесь L и L
-1
- обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа.
Преобразованная по Лапласу величина называется изображением и обозначается через X(p) и Y(p) соответственно для входной и выходной величин.
Под «p» подразумевается комплексная частота p=

+j

. Если p=j

(

=0), преобразование Лапласа превращается в его частный случай - преобразование
Фурье.
В справочниках по математике имеются таблицы преобразования Лапласа для различных функций, встречающихся в практических задачах. Основные формулы из этих таблиц приведены в приложении 1.
Передаточной функцией линейного звена W(p) называется отношение изображения выходной величины Y(p) к изображению входной величины X(p) при нулевых начальных условиях, т.е. при отсутствии запаса энергии в звене:

7
 
 
 
p
X
p
Y
p
W

(2.4)
Рассматривая линейное дифференциальное уравнение (2.1) и находя изображение для левой и правой частей уравнения, получаем
 
 
 
 
 
 
p
X
a
p
X
p
a
p
X
p
a
p
Y
b
p
Y
p
b
p
Y
p
b
n
n
n
n
m
m
m
m
0 1
1 0
1 1













.(2.5)
Отсюда
 
 
 
m
m
n
n
p
b
p
b
p
b
b
p
a
p
a
p
a
a
p
X
p
Y
p
W












2 2
1 0
2 2
1 0
(2.6)
Переходная или временная характеристика (функция) звена h(t) представляет собой реакцию на выходе звена , вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия
 






0
,
1
,
0
,
0
t
t
t
x
Изображение этой функции (приложение 1)
 
p
p
X
1

Поэтому в соответствии с (2.4) получаем
   
   
 
p
p
W
p
W
p
X
p
Y
p
H




(2.7)
Переходя от изображения к оригиналу, определяем выражение для переходной характеристики
 
 








p
p
W
L
t
h
1
(2.8)
Это выражение подчеркивает наличие однозначной связи между переходной и передаточной функциями.
Переход от передаточной функции к комплексному коэффициенту передачи (ККП) осуществляется заменой pна j

в выражении передаточной функции.

8
Под ККП звена W(j

) понимается отношение комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
m
n
n
j
ВХ
j
ВЫХ
j
b
j
b
j
b
b
j
a
j
a
j
a
a
e
A
e
A
j
X
j
Y
j
W
ВХ
ВЫХ


























2 2
1 0
2 2
1 0
,
(2.9) где модуль ККП равен отношению амплитуд выходного и входного сигналов для данного значения частоты (амплитудно-частотная характеристика)
 
 
 
 




ВХ
ВЫХ
A
A
j
W
W


,
(2.10) аргумент ККП равен разности фаз этих же сигналов
(фазочастотная характеристика)
 
 
 
 







ВХ
ВЫХ
j
W



arg
, (2.11)
Комплексный коэффициент передачи может быть представлен в виде суммы действительной (Re) и мнимой (Jm) составляющих:
 
 
 
 
 





jV
U
j
W
j
W
j
W




Jm
Re
,
(2.12)
Имея ККП, можно построить амплитудно-фазовую характеристику звена.
Для этого в выражениях (2.9) или (2.12) следует изменять частоту от нуля до бесконечности и построить на комплексной плоскости годограф вектора ККП
(рисунок 2.1), называемый амплитудно-фазовой характеристикой.
Между W(

),

(

), U(

) и V(

) существует связь (рисунок 2.1):
 
 
 



2 2
V
U
W


,
(2.13)
Рисунок 2.1 - Годограф вектора ККП
(амплитудно-фазовая характеристика)

9
 
 
 




U
V
arctg

,
(2.14)
   
 




cos
A
U

,
(2.15)
   
 




sin
A
V

,
(2.16)

10
2. Типовые звенья САУ
Используя приведенные выше характеристики, можно на основании идентичности передаточных функций или ККП реальных звеньев все их многообразие свести к ограниченному числу звеньев, которые назовем типовыми.
В качестве типовых звеньев САУ выбраны наиболее простые звенья, в которых процессы описываются дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка. При этом замену реального звена типовым осуществляют так: если передаточные функции реального и типового звеньев совпадают, то они являются взаимозаменяемыми; более сложные реальные звенья заменяются, если возможно, последовательным или параллельным соединением типовых звеньев.
Рассмотрим типовые звенья, которые описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка
 
 
 
 
,
0 1
0 1
0 1
0 1
p
X
a
p
pX
a
p
Y
b
p
pY
b
x
a
dt
dx
a
y
b
dt
dy
b






(3.1) и соответствующей передаточной функцией
 
 
 
p
b
b
p
a
a
p
X
p
Y
p
W
1 0
1 0




(3.2)
Для различных типовых звеньев коэффициенты передаточной функции a
0
,
a
1
, b
0
, b
1
принимают различные, в том числе и нулевые значения.
Различают следующие 4 типовых звена:
 безынерционное (усилительное) W(p)= a
0
/b
0
, a
1
=b
1
=0;
 инерционное (апериодическое) W(p)= a
0
/(b
0
+b
1
p), a
1
=0;
(3.3)
 интегрирующее W(p)= a
0
/b
1
p, a
1
=b
1
=0;
 дифференцирующее W(p)= a
0
p/b
0
, a
0
=b
1
=0;

11
Из числа более сложных звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями 2-го порядка, в качестве типового берется только одно, отвечающее случаю a
1
=a
2
=0. В соответствии с этим из передаточной функции
 
2 2
1 0
2 2
1 0
p
b
p
b
b
p
a
p
a
a
p
W





(3.4) получаем
 
2 2
1 0
0
p
b
p
b
b
a
p
W



(3.5)
Такое звено называется колебательным.
Примеры некоторых звеньев, их частотные и переходные характеристики приведены в приложении 2.
2. Практическая часть
Задание 1
По приведенным уравнениям составить структурную схему
Задание 2
Составить структурную схему САУ с учетом звеньев.
Найти общую передаточную функцию.

12
Задание 3
Исследовать систему управления технологическим оборудованием в химико- технологической промышленности по заданной структурной схеме (см. приложе- ние 1).
1. Составить структурную схему САУ с учетом звеньев.
2. Указать элементы сравнения, сумматор и обратные связи.
3. Найти общую передаточную функцию.
Записать характеристическое уравнение разомкнутой и замкнутой системы и по нему определить устойчивость системы по одному из критериев Гурвица, Рауса,
Михайлова (на выбор).
Практическое занятие 2
Раздел 2. Автоматические системы регулирования.
Тема: Анализ автоматической системы регулирования. Критерии устойчиво-
сти САР
Цель: формирование у студентов компетенций ОК-10, 11; ПК-1, 2, 6.
1.Теоретическая часть
-
+
+
W
1
(p)
W
2
(p)
W
3
(p)
W
6
(p)
W
4
(p)
W
5
(p)
X
вх
(p)

13 1.1. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ.
Прямой метод анализа устойчивости систем, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью определения корней (вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения пер- вой и второй степени). Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически мало пригодны. Что же касается уравнений более высоких степеней, то для них вообще невозможно написать общие выражения для корней через коэффициенты характе- ристического уравнения. Поэтому весьма важное значение в инженерной практике приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помо- щью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива или нет сис- тема, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и струк- турные изменения в системе.
1.2. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ САУ
Алгебраический критерий Гурвица.
Этот критерий позволяет, не решая уравнения, сказать, где на комплексной плос- кости расположены его корни.
Традиционно коэффициенты характеристического уравнения переобозначают с возрастающим номером:
0 1
1 1
0







n
n
n
n
С
p
С
p
С
p
С
(4.1.7)
Из коэффициентов характеристического уравнения n-го порядка строится снача- ла главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписываются все коэффициенты характеристиче- ского уравнения от С
1 до С
п
в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от

14 главной диагонали дополняются коэффициентами характеристического урав- нения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз — ко- эффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффици- ентов с индексами больше n (где п — порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули:
Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем опре- делитель Гурвица низшего порядка
Номер определителя Гурвица зависит от номера коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель.
Определение: чтобы САУ была устойчива; необходимо и достаточно, чтобы опре- делитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента С
0 характеристического уравнения, т. е. были положитель- ными, так как всегда С
0
можно выбрать положительным.
Таким образом, при C
0
> 0 для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Условие нахождения системы на границе устойчивости –

n
= 0. Но

n
= C
n

(n-
1)
= 0, следовательно, если C
n
= 0, то наблюдается апериодическая граница устой-

15 чивости (нулевой корень – астатическая система), а если

(n-1)
= 0, то – колеба- тельная граница устойчивости (комплексные корни).
Критерий Рауса.
Как и критерий Гурвица, этот критерий представляет собой систему неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического урав- нения замкнутой системы. Он представляет собой некоторое правило (алгоритм).
Мнемоническое правило связанно с составлением таблицы Рауса.
Составляем таблицу Рауса.
Коэффициент
k

Номер строки
Номер столбца
1 2
3 4
5 1
С
0
С
2
С
4
С
6
…
2
С
1
С
3
С
5
…
1 0
2
,
1 1
,
1 3
C
C
C
C



3
С
1,3
С
2,3
С
3,3
…
3
,
1 1
3
,
1 2
,
1 4
C
C
C
C



4
С
1,4
С
2,4
С
3,4
…
4
,
1 3
,
1 5
C
C


5
С
1,5
С
2,5
С
3,5
…
…
6
С
1,6
…
…
В первой строке таблицы записывают коэффициенты С
i
характеристического уравнения, имеющие четный индекс (С
0
, C
2
,
С
4
, ...), а во второй строке — коэффи- циенты характеристического уравнения с нечетными индексами (C
1
, С
3
, С
5
, ...). В последующие строки вписывают элементы определенные по формуле
1
,
1 2
,
1
,







i
k
i
i
k
i
k
C
C
С

,
(4.1.8)

16 где коэффициент
1
,
1 2
,
1



i
i
i
C
C

;
i
k
C
,
– элемент таблицы; i – индекс, означающий но- мер строки таблицы; k – индекс, обозначающий номер столбца таблицы. Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического уравнения +1, т. е.
(
1

n
). После заполнения таблицы по ней можно судить об устойчивости систе- мы.
Сформулируем критерий Рауса: для того, чтобы система автоматического управ- ления или регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы эле- менты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е. были поло- жительными, так как всегда можно сделать С
0
>0: С
0
>0, С
1
>0, С
1,3
>0, …, С
1,n+1
>0.
Так как форма алгоритма, с помощью которого составляют таблицу Рауса, очень удобна для программирования на ЭВМ, то критерий Рауса широко применяют при исследовании с помощью ЭВМ влияния на устойчивость либо коэффициентов ха- рактеристического уравнения, либо отдельных параметров системы.
Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, т. к., во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции разомкнутой системы W(p); во- вторых, анализ устойчивости можно выполнить и по экспериментально опреде- ленным частотным характеристикам; в третьих, с помощью частотных характери- стик можно судить о качестве переходных процессов в системах.
Критерий устойчивости Михайлова
В 1938 г. советский ученый А. В. Михайлов предложил графический критерий ус- тойчивости, суть которого заключается в следующем. Критерий позволяет судить об устойчивости системы регулирования по характеру поведения годографа ее ха- рактеристического уравнения.

17
Если характеристическое уравнение замкнутой САУ имеет вид
0 1
1 1
0







n
n
n
n
С
p
С
p
С
p
С
(4.1.9)
Из характеристического многочлена D(р), представляющего собой левую часть уравнения (4.1.9), получим функцию мнимого аргумента. Для этого, представив левую часть этого уравнения в виде функции от р:
n
n
n
n
С
p
С
p
С
p
С
p
D







1 1
1 0
)
(
(4.1.10) и заменив операторное число р на j

, где
1


j
– мнимая единица, получим уравнение комплексного вектора
n
n
n
n
С
j
С
j
С
j
С
j
D







)
(
)
(
)
(
)
(
1 1
1 0




(4.1.11)
В геометрической интерпретации
)
(

j
D
представляет собой вектор в плоскости комплексного переменного. При изменении угловой частоты колебаний

вектор
)
(

j
D
поворачивается относительно начала координат, меняя при этом свою длину. Кривая, описываемая концом вектора на комплексной плоскости при изме- нении угловой частоты колебаний от нуля до бесконечности
)
(

j
D
, называется
годографом характеристического уравнения (эта кривая называется кривой Ми- хайлова).
Для построения кривой Михайлова необходимо выделить действительную и мни- мую части
)
(

j
D
:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(






j
e
A
V
j
U
j
D




,
где вещественная частотная часть содержит четные степени
)
(
6 6
4 4
2 2















n
n
n
n
С
С
С
С
U
,
(4.1.12) а мнимая – нечетные

18
)
(
7 7
5 5
3 3
1


















n
n
n
n
С
С
С
С
V
(4.1.13)
Далее, задаваясь разными значениями
,
,
3 2
1



по формулам (4.1.12) и (4.1.13) вычислим координаты точек годографа. При



функция
)
(

j
D
тоже неогра- ниченно возрастает.
Критерий Михайлова формируется следующим образом. Система n-го порядка будет устойчива, если годограф
)
(

j
D
, начинаясь на действительной положитель- ной оси, огибает, против часовой стрелки начало координат, проходя последова- тельно n квадрантов. Для устойчивых САУ кривая Михайлова всегда имеет плав- ную спиралевидную форму, уходящую в бесконечность в квадранте комплексной плоскости, номер которого соответствует степени характеристического уравнения.
Больше, чем n квадрантов, кривая Михайлова вообще не может пройти. Неустой- чивость системы всегда связана с нарушением последовательного обхода квадран- тов кривой Михайлова.
Вывод. Система автоматического регулирования, имеющая характеристический
многочлен D(р), будет устойчива, т. е. чтобы все корни характеристического
уравнения C
0
p
n
+ C
1
p
n-1
+ ... + C
n-1
p + C
n
= 0: имели отрицательные веществен-
ные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий
характеристический многочлен D(p) полное приращение его фазы при изменении

от 0 до

составляло nπ/2, где: n – степень многочлена D(p).
Если полное приращение
)
(



меньше n, — система неустойчива. Это значит, что часть корней D(р) лежит справа от мнимой оси. В этом случае полное прира- щение фазы
)
(



2
)
2
(
2 2
)
(
)
(





k
n
k
k
n






, где k — количество корней, лежащих справа от мнимой оси.

19 1.3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Передаточную функцию замкнутой системы можно найти по передаточной функ- ции разомкнутой системы. Так, если в замкнутой цепи обратной связи включено звено с передаточной функцией
, то на входе системы происходит суммиро- вание входного сигнала с сигналом обратной связи (рис.3.1а). a) б)
Рисунок 3.1 – Замкнутая система
Связь между изображением входной и выходной величины цепей прямой и об- ратной связи при отрицательной обратной связи, характеризуется следующими уравнениями: для прямой связи где
W(p
) – передаточная функция прямой цепи; для обратной связи где
- передаточная функция цепи обратной связи.
Если в уравнение (3.1) подставить значение из (3.2), то получим
(3.1)
(3.2)

20 или откуда можно получить выражение для передаточной функции замкнутой систе- мы
Ча- стн ым случаем является замкнутая система (рис.3.1), не содержащая звеньев в цепи обратной связи. В этом случае цепь обратной связи имеет передаточную функцию, равную единице, и тогда, используя уравнение (3.3), находим
2. Практическая часть
Здание 1
Используя алгебраические критерии, определить устойчивость САУ при замыкании
(3.3)
(3.4)

21
Задание 2
Определить устойчивость системы автоматического управления химико- технологического процесса по критериям Гурвица, Рауса и Михайлова.
Характеристическое уравнение системы:
0 4
3 2
2 3
1 4
0









a
p
a
p
a
p
a
p
a
Коэффициенты характеристического уравнения даны в таблице №1.
Практическое занятие 3