5.1. Лекция Случайные величины.. 1. Случайные величины. Определение
 Скачать 111.29 Kb.
|
|
1. Случайные величины. Определение. Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно. Можно дать ещё одно определение случайной величины: случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов, которые заранее не могут быть учтены. Примеры случайных величин: число студентов на занятии; количество детей родившихся за сутки; время ожидания автобуса на остановке; рост любого встреченного на улице человека. Случайные величины могут быть двух видов: дискретные и непрерывные. 2. Дискретные случайные величины.Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной. Случайная дискретная величина Х считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать и вероятности появления каждого из этих значений. Эти соотношения между возможными значениями х i и вероятностями их появления pi называются законом распределения случайной дискретной величины. Приведем примеры на дискретные случайные величины. Пример 1.Идёт охота на дикого зверя с помощью ловушки. Вероятность попасть в ловушку для волка – 0.3, для медведя – 0.5, для лисы и зайца – 0.6. Найти закон распределения случайной величины Х - числа попавших в ловушку зверей. Решение. Случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3 (в ловушку попал один зверь, два, три, ни одного). Рассчитаем вероятности по теоремам алгебры событий: р1=0,3; q1=0,7; р2=0,5; q2=0,5; р3=0,6; q3=0,4; р(х=0)=р1р2р3=0.7*0.5*0.4=0.14; р(х=1)=р 1q2q3+q1p2q3+q1 q2p3=0.41; Р(х=2)=0.36; Р(х=3)= 0.09. Тогда закон распределения имеет вид:
Проверка:   =1 , 0,14+0,41+0,36+0,09=1.Пример 2. В книге кулинарных рецептов имеется 6 рецептов приготовления первого блюда, 4 – второго блюда. Пять раз подряд выписывают наудачу взятые рецепты. Случайная величина Х – число рецептов первых блюд. Составить закон распределения величины Х. Решение. Случайная величина Х может принимать значения Х=1, 2, 3, 4, 5. Для расчета вероятностей применим классическое определение вероятности (p(A)=m/n) и формулы комбинаторики:  ;  Закон распределения имеет вид:
3. Непрерывные случайные величины. Случайной непрерывной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства; время ожидания автобуса на остановке; рост любого встреченного человека. Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения вероятностей F(x), либо функцией плотности распределения вероятностей f(x). Функция распределения F(x) – это функция определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее  Свойства функции распределения F(x): 1. F(x) – неубывающая функция. 2.  3.  Функция плотности распределения f(x) – это функция, равная первой производной от функции распределения  Свойства плотности распределения f(x) 1. Плотность распределения – неотрицательная функция.  2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.  3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b. Пример 3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения  Найти дифференциальную функцию (плотность вероятностей). Решение. 1) Перейдём от функции F(x) к функции f(x) по определению  то есть найдём производную от функции F(x). Получим  Пример 4. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:  Найти: коэффициент а, вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до  составить функцию распределения F(x). Решение. а) Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством   Тогда функция примет вид:  б) Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле:   в) Для перехода от функции f(x) к функции F(x) используем свойство 3 функции распределения  и формулу перехода  Тогда,  |