3 задача. Закон распределения p xx i, Yy j
 Скачать 492.32 Kb.
|
 Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения: P(X=xi, Y=yj) = pij, i=1,2...,n, j=1,2..,m
События (X=xi, Y=yj) образуют полную группу событий, поэтому сумма всех вероятностей pij(i=1,2...,n, j=1,2..,m), указанных в таблице, равна 1. Зависимость случайных величин X и Y. Находим ряды распределения X и Y. Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X.
Математическое ожидание M[X]. M[x] = 0*0.4 + 2*0.4 + 4*0.2 = 1.6 Дисперсия D[X]. D[X] = 02*0.4 + 22*0.4 + 42*0.2 - 1.62 = 2.24 Среднее квадратическое отклонение σ(x).  Пользуясь формулой ∑P(xi,yj) = qj (i=1..m), находим ряд распределения Y.
Математическое ожидание M[Y]. M[y] = (-2)*0.2 + 0*0.4 + 1*0.4 = 0 Дисперсия D[Y]. D[Y] = 22*0.2 + 02*0.4 + 12*0.4 - 02 = 1.2 Среднее квадратическое отклонение σ(y).  Поскольку, P(X=0,Y=-2) = 0.1≠0.4•0.2, то случайные величины X и Y зависимы. Условный закон распределения X. Условный закон распределения X(Y=-2). P(X=0/Y=-2) = 0.1/0.2 = 0.5 P(X=2/Y=-2) = 0.1/0.2 = 0.5 P(X=4/Y=-2) = 0/0.2 = 0 Условное математическое ожидание M[X/Y=-2). M[X/Y=y] = 0*0.5 + 2*0.5 + 4*0 = 1 Условная дисперсия D[X/Y=-2). D[X/Y=y] = 02*0.5 + 22*0.5 + 42*0 - 12 = 1 Условный закон распределения X(Y=0). P(X=0/Y=0) = 0.1/0.4 = 0.25 P(X=2/Y=0) = 0.2/0.4 = 0.5 P(X=4/Y=0) = 0.1/0.4 = 0.25 Условное математическое ожидание M[X/Y=0). M[X/Y=y] = 0*0.25 + 2*0.5 + 4*0.25 = 2 Условная дисперсия D[X/Y=0). D[X/Y=y] = 02*0.25 + 22*0.5 + 42*0.25 - 22 = 2 Условный закон распределения X(Y=1). P(X=0/Y=1) = 0.2/0.4 = 0.5 P(X=2/Y=1) = 0.1/0.4 = 0.25 P(X=4/Y=1) = 0.1/0.4 = 0.25 Условное математическое ожидание M[X/Y=1). M[X/Y=y] = 0*0.5 + 2*0.25 + 4*0.25 = 1.5 Условная дисперсия D[X/Y=1). D[X/Y=y] = 02*0.5 + 22*0.25 + 42*0.25 - 1.52 = 2.75 3. Условный закон распределения Y. Условный закон распределения Y(X=0). P(Y=-2/X=0) = 0.1/0.4 = 0.25 P(Y=0/X=0) = 0.1/0.4 = 0.25 P(Y=1/X=0) = 0.2/0.4 = 0.5 Условное математическое ожидание M[Y/X=0). M[Y/X=x] = (-2)*0.25 + 0*0.25 + 1*0.5 = 0 Условная дисперсия D[Y/X=0). D[Y/X=x] = 22*0.25 + 02*0.25 + 12*0.5 - 02 = 1.5 Условный закон распределения Y(X=2). P(Y=-2/X=2) = 0.1/0.4 = 0.25 P(Y=0/X=2) = 0.2/0.4 = 0.5 P(Y=1/X=2) = 0.1/0.4 = 0.25 Условное математическое ожидание M[Y/X=2). M[Y/X=x] = (-2)*0.25 + 0*0.5 + 1*0.25 = -0.25 Условная дисперсия D[Y/X=2). D[Y/X=x] = 22*0.25 + 02*0.5 + 12*0.25 - 0.252 = 1.19 Условный закон распределения Y(X=4). P(Y=-2/X=4) = 0/0.2 = 0 P(Y=0/X=4) = 0.1/0.2 = 0.5 P(Y=1/X=4) = 0.1/0.2 = 0.5 Условное математическое ожидание M[Y/X=4). M[Y/X=x] = (-2)*0 + 0*0.5 + 1*0.5 = 0.5 Условная дисперсия D[Y/X=4). D[Y/X=x] = 22*0 + 02*0.5 + 12*0.5 - 0.52 = 0.25 Ковариация. cov(X,Y) = M[X*Y] - M[X]*M[Y] cov(X,Y) = (-2)*0*0.1 + 0*0*0.1 + 1*0*0.2 + (-2)*2*0.1 + 0*2*0.2 + 1*2*0.1 + 0*4*0.1 + 1*4*0.1 - 1.6*0 = 0.2 Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0. Коэффициент корреляции.   Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:  Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:  Найдем необходимые числовые характеристики. Выборочные средние: X = -2(0.1 + 0.1) + 0(0.1 + 0.2 + 0.1) + 1(0.2 + 0.1 + 0.1) = 0 Y = 0(0.1 + 0.1 + 0.2) + 2(0.1 + 0.2 + 0.1) + 4(0.1 + 0.1) = 1.6 Дисперсии: σ2x = -22(0.1 + 0.1) + 02(0.1 + 0.2 + 0.1) + 12(0.2 + 0.1 + 0.1) - 02 = 1.2 σ2y = 02(0.1 + 0.1 + 0.2) + 22(0.1 + 0.2 + 0.1) + 42(0.1 + 0.1) - 1.62 = 2.24 Откуда получаем среднеквадратические отклонения: σx = 1.095 и σy = 1.497 и ковариация: Cov(x,y) = -2•0•0.1 + 0•0•0.1 + 1•0•0.2 + -2•2•0.1 + 0•2•0.2 + 1•2•0.1 + 0•4•0.1 + 1•4•0.1 - 0 • 1.6 = 0.2 Определим коэффициент корреляции:   Запишем уравнения линий регрессии y(x):  и вычисляя, получаем: yx = 0.17 x + 1.6 Запишем уравнения линий регрессии x(y):  и вычисляя, получаем: xy = 0.0893 y - 0.14 Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (0; 1.6) и точки расположены близко к линиям регрессии. |